测试技术 第一章 信号及其表述

1、第一章 信号及其表述什么是信号？为什么要分析信号？n信号是信息的载体，信息是信号所载的内容。 如人体的健康信息可通过体温、血压、心跳等信号反映出来。n信号与信息是互相联系的，但信号不等于信息。信号与信息是互相联系的，但信号不等于信息。 如炎症、白血病都可以引起体温升高。1 信号的分类信号的分类：n确定性信号和随机信号n连续和离散n输入（激励）信号和输出（响应）信号1.确定性信号和非确定性信号n见P5n确定性信号确定性信号：能用数学关系式表达的信号。n非确定性信号确定性信号（随机信号）：无法用明确的数学关系式表达的信号。n谐波信号（简谐信号）：正弦信号。n准周期信号：由多个频率成分叠加的信号，但

2、叠加后不存在公共周期。如：n一般非周期信号：指瞬变信号，见P13及图1.7n平稳随机信号：统计特征参数不随时间变化的随机信号。n非平稳随机信号：统计特征参数随时间变化的随机信号。tttf sin2sin)(2.连续信号和离散信号n连续信号：独立变量（如时间t）是连续的。n离散信号：.离散的。n下图是典型的连续信号和离散信号。（分别是模拟信号和数字信号）2周期信号与离散频谱一、周期信号的分解1、傅立叶级数的三角函数形式任何一个周期信号x(t)，当其满足Dirichlet条件，即：a）在一个周期内，x(t) 是绝对可积的。即 应为有限值。 b），的极值数目是有限的。如图3-2 b） c），是连续的

3、或者具有有限个第一类间断点。（在间断点有两个不同的有限的极值）011)(Tttdttx则该周期信号可分解为一个收敛的三角级数：1000)sincos()(nnntnbtnaatx ttdntxtdtntxTbttdntxtdtntxTatdtxdttxTaTTnTTnTT002/2/00002/2/0002/2/00sin)(1sin)(2cos)(1cos)(2)(21)(1000000（常数）T0周期0角频率n=1，2，3，n=1时，称为信号的基波n=2时，二次谐波这里 an是n的偶函数，即a-n=an； bn是n的奇函数，即b-n=-bn上式展开后为tbtatbtatbtaatx0303

4、0202010103sin3cos2sin2cossincos)(上式还可表示为：振幅相角（证明：用两角差三角函数展开）100)cos()(nnntnAatxnnnnnnnnnnnnAbAaabbaAsincosarctan22或者用下式表示： 这里 一个周期信号可由一直流分量和无限个谐波分量叠加而成。100)sin()(nnntnAatxnnnbaarctan例：将方波信号展开成三角形式的傅立叶级数。000220)(TtTATtAtf解： 奇数时当偶数时当nnAnnnAtdtntfTbtdtntfTadtdtTdttfTaTnTnTTTT 40)cos1 (2sin)(20cos)(201)

5、(10000000000000220000 n=1，3，5， 这里 10000)2cos(14.)5sin513sin31(sin4)(ntnnAtttAtf 2)arctan(22nnnnnnnabbbaA谐波合成示意图见下： 在时间域下画出傅立叶级数的图形是困难的，意义也不够清晰，所以引入了频谱图。周期方波信号的时、频域表述如图1-5周期方波时域、频域图如下：n信号的频谱图：幅频谱图：振幅为纵坐标，频率为横坐标相频谱图：相位，n例：画出 的频谱ttttx3532234sincossin)( 2、复指数形式的傅立叶级数（为运算方便）欧拉公式： )(21sin)(21cossincossinc

6、os jjjjjjeejeejejen将欧拉公式代入三角形式的付氏级数得：以下是将三项用统一的形式表示n令： （a-n=an；b-n=-bn） 110002121ntjnnnntjnnnejbaejbaatx)()()(1000)sincos()(nnntnbtnaatx00212121aCjbajbaCjbaCnnnnnnnn )()()( n则：n令第二项中的n=-n，n则11000)(ntjnnntjnneCeCCtx ntjnnntjnnntjnneCeCeCCtx000110)( n这里，说明：周期函数x(t)可用一系列具有正、负复指数项之和表示，每一谐波就是由级数中的一对正、负复指

7、数项所组成。)arctan(ReImarctan)(Im)(ReImRe)(1)sin)(cos(221)(21222/2/02/2/00000000nnnnnnnnjnnnTTtjnTTnnnabCCCCCeCCjCdtetxTdttnjtntxTjbaCn它是一个复数（欧拉公式）例1.2：将前例所示方波展开成指数形式的傅立叶级数。解：由欧拉公式知：)()()( 222000212000000110jnjnTTtjnTtjnTtttjnneenjAdtedteTAdtetxTAC1)2sin()2cos()1()sin()cos(2 njnenjnejnnjn为奇数、.53122 nnAjj

8、nACnnn频谱图如图这里因为引入-n而出现-n 0，但并不表示存在负频率7531135122000,)( nenAjenAjneCtxtjnntjnnntjnn为奇数周期信号频谱的特点：离散性：即它是由不连续的线条组成。谐波性：每条谱线只出现在基波频率的整数倍上。收敛性：振幅随谐波次数增高而逐渐减小。n注意：离散性、谐波性、收敛性是一切周期信号频谱的特点。频谱满足这些特性的信号一定是周期信号。n但由任意频率的正弦分量合成的信号不一定是周期信号。即：频谱是离散的，不一定是周期信号。如： 是非周期信号，但频谱是离散的tttf002sinsin)( 二、非周期信号的描述n非周期信号可看成周期T0

9、的周期信号。 离散频谱变为连续频谱。 dT002谱线间隔：1、傅立叶变换n复指数形式的傅立叶级数如下：n将Cn代入上式得：2200000)(1)(TTtjnnntjnndtetxTCeCtxnTTtjntjnedtetxTtx2200000)(1)(n当周期T0 时，则：n = 0 n = nd dTdT2220000dedtetxtxtjtj)(21)(nTTtjntjnedtetxTtx2200000)(1)( 个数轴上成为连续变量个数轴上成为连续变量对应的点连续分布在整对应的点连续分布在整离散变量离散变量000n令非周期信号进行傅氏变换，也要满足Dirichlet条件，绝对可积表现为收敛

10、。X()为频谱函数（复函数），量纲为单位频率的振幅。 时域），（频域傅立叶反变换频域），（时域傅立叶变换1)(21)()()(FFdeXtxdtetxXtjtjdttx )(| X()|幅值谱密度函数，（偶函数）代表信号中各频率分量的相对大小 () 相位，（奇函数）相位。 （时域） （频域）)()()(jeXX)()(Xtx1-FF人体中的傅立叶变换n耳蜗构造如右图2. 典型信号的频谱举例1）矩形窗函数（图1.8）的频谱解：频谱图见图1.8 22222112222SaeejdtedtetxXtxjjtjtjsinsin)()()()(/Fn其幅频谱为n 相频谱为)()(2 SaX,)()(,)

11、(,)(2101412212240 nnnnn2）单位脉冲函数 （t）及其频谱定义定义 一个矩形脉冲如下图，其面积为1，当0时，就为 （t）函数。即： 且： 见图1.14 000)(ttt 1)( dtt （t）函数的频谱见图1.1610 dttdtetdtettjtj)()()()(F3、傅立叶变换的主要性质1）奇偶虚实性质 X(f)的实部是的偶函数，虚部是奇函数。 若x(t)为实偶函数，则:ImX(f)=0, X(f)=ReX(f) 为实偶函数。 若x(t)为实奇函数，则:ReX(f)=0, X(f)=ImX(f) 为虚奇函数。 参见图1.6)(Im)(Re)()()(fXjfXfXffX

12、tx 的复变函数是的傅立叶变换2）线性性若Fx x1(t)=X X1(f), Fx x2(t)=X X2(f), 、为任意常数，则：证明：（根据定义）见图)()()()(2121fXfXtxtx1-FF3）对称性若Fx(t)=X X(f)，则以t为自变量的函数X X(t)的傅氏变换为x( f)即： FX(t)= x( f)证： Ff(t)=F() 将 t 换成 -t将 t 换成，将 换成 t 则： FF(t)= 2 f(-)傅傅立立叶叶反反变变换换 deFtftj)(21)( deFtftj)(21)()()()(-tFdtetFftjF 2121例：F (t)= () = 1， 则： F (

13、t)= F1= 2 (-) = 2 () （ 函数是偶函数）函数是偶函数）4）尺度改变性质若：则：K0 的实常数见图说明：若f(t)的时间坐标上压缩到1/K倍，则F()频率坐标上扩展K倍，同时幅度缩小到原来的1/K)()( Ftf1 -FF)(1)(KFKKtf 1 -FF5）时移性质若：则：说明信号在时域中延迟一时间t0，则在频域中所有的信号频谱分量相移0t。证明：(令 t = t - t0) )()( Ftf1 -FF0)()(0tjeFttf 1 -FF6）移频性质若：则：实用中常用余弦函数)()( Ftf1 -FF)()(00 Fetftj1 -FF )(21cos jjee n若：则

14、：见图说明时域中f(t)cos 0t 等效于频域中将频谱同时向频率正负方向移动 0 而其频谱结构不变。)()( Ftf1 -FF)()(21cos)(000 FFttf1 -FF7）微分特性若：则：)()( Ftf1 -FF)()()( Fjdttfdnnn1 -FF8）积分特性若：则：)()( Ftf1 -FF)()0()(1)()(1)(0)0()()0()(1)(tftFjtdFFjdttfFFFjdttftt 1 -FFF时，当9）卷积性质n卷积定义： dtyxtytx)()()()(图解卷积 dthethtetr)()()()()(n卷积性质：交换率结合率分配率 )()()()()(

15、)()()()()()()()()()()()(txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtytytx3121321321321 时域卷积定理和频域卷积定理n时域卷积定理设：则：n频域卷积定理设：（同上）则：)()(11 Ftf1 -FF)()(22 Ftf1 -FF)()()()(2121 FFtftf 1 -FF)()()()(21)()(212121fFfFFFtftf 1 -FF三、常用信号的频谱1.单位脉冲函数 （t）及其频谱 （前面讲过）（t）函数的性质抽样性现有任意函数f（t）在t=0处连续，则： 同理：）时，时，当当0)(0()()0()()( ttdttfdtt

16、tf )0()()0(fdttf )()()(00tfdttttf （t）函数的积分等于阶跃函数u（t）)()(tudttt )()(tdttdu (t)函数和其它函数的卷积 这说明任意信号x(t)可以用它和(t)函数的卷积表示。)()()()()()()()()(函数抽样性根据函数是偶函数 txdtxdtxttx)()()(00tfdttttf 抽样性n同理，见图1.15 工程上常用频谱卷积运算：n注意：一定要与（t） 函数的抽样性区分开。)()()(00ttxtttx )()()()()()(00ffXfffXfXffX (t)函数是偶函数 根据傅立叶变换的性质，得： （时移性质） （对称

17、性质）)(0210tteFFftj 0120)(ftjFFett 频谱和tfjett020)( 2.正余弦函数的频谱由欧拉公式和傅立叶变换的频移特性得出，正余弦信号的傅立叶变换为：频谱见图1.19)()(21)2cos()()(21)2sin(000000fffftfffffjtf 3. 指数衰减函数的频谱1）双边指数衰减函数 的频谱解：其傅立叶变换为： 0000taetaetxatat,)(22002 ajdteedteedtetxfXtjattjattj)()(2） 单边指数衰减函数 的频谱n解：其傅立叶变换为： 0000tatetxat,)(221 ajajadteeXtjat)(4.

18、符号函数和单位阶跃函数的频谱1）符号函数 的频谱解： 符号函数可以看成是双边指数衰减函数当a 0时 的极限形式。 00100100taetaetxataata,)(lim,)(lim)( jajXa22220lim)(2）单位阶跃函数的频谱解：单位阶跃函数可以看成是单边指数衰减函数当a 0时 的极限形式。 fjffX 221)()(5.周期单位脉冲序列函数 的频谱 这里Ts为周期解：g(t)是周期信号 由傅立叶级数的复指数形式得 nsnTttg)()( ntjnnseCtg )(抽样性）(1)(1)(12/2/2/2/sTTtjnsTTtjnsnTdtetTdtetgTCssssss ntjnsntjnnsseTeCtg 1)(根据函数的性质： 得：)(020ffetfj nssnssTnfTnffTtgFfG)(1)(1)()( 第一章例题例1：已知双Sa信号试求其频谱。解：令:因f0 0(t)为Sa波形，由对称性得其频谱F0 0()为矩形。由时移特性得：)2()()( tSatSatfccc)()(0tSatfcc )|(|0)|(|1)()(00cctfF