七年级下期数学6.3实践及探索(2)(等积变形问题)

1、学学. .科科. .网网第二课时知识技能目标知识技能目标1.1.使学生能够找出简单应用题中的已知数、未知数和相等使学生能够找出简单应用题中的已知数、未知数和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；2.2.使学生掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤是：使学生掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤是：(1)(1)弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；目中的一个未知数；(2)(2)找出

2、能够表示应用题全部含义的一个相等关系；找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(3)(3)根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出程；根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出程；(4)(4)解这个方程，求出未知数的值；解这个方程，求出未知数的值；(5)(5)写出答案（包括单位名称）写出答案（包括单位名称）过程性目标过程性目标1.1.使学生体验到列方程解应用题的实质就是使学生体验到列方程解应用题的实质就是分析找出实际问题中的相等关系，并将相等分析找出实际问题中的相等关系，并将相等关系中的数量用代数式的形式表示出来，相关系中的数量用代数式的形式表示出来，相等关系就被转换成方程这样，一个实际问

3、等关系就被转换成方程这样，一个实际问题的求解问题就被转换成代数中的方程的求题的求解问题就被转换成代数中的方程的求解问题；解问题；2.2.使学生体验到等积类应用题的相等关系是：使学生体验到等积类应用题的相等关系是：变形前的体积变形后的体积等体积变形变形前的体积变形后的体积等体积变形问题往往用到一些体积公式，要熟记这些公问题往往用到一些体积公式，要熟记这些公式式1 1、列一元一次方程解应用题的基本步骤有、列一元一次方程解应用题的基本步骤有哪些哪些?2 2、长方形的周长、长方形的周长= 长方形的面积长方形的面积= 长方形的体积长方形的体积= 正方形的体积正方形的体积= 圆的周长圆的周长= 圆的面积圆

4、的面积= 圆柱体的体积圆柱体的体积= 例例5.用一根长为用一根长为6060厘米的铁丝围成一个长方形，厘米的铁丝围成一个长方形，（1 1）使长方形的宽是长的）使长方形的宽是长的2/3 2/3 ，那么这个长方形，那么这个长方形的长和宽分别是多少？的长和宽分别是多少？（2 2）使长方形的宽比长少）使长方形的宽比长少4 4厘米，求这个长方形厘米，求这个长方形的面积是多少？的面积是多少？ (3)比较比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小所得两个长方形面积的大小.还能还能围成面积更大的长方形吗围成面积更大的长方形吗?围成的长方形的周长围成的长方形的周长= 。在（在（1）问中）问中：.如果设长为如果设长

5、为xcm，则宽为，则宽为 ，那么周长，那么周长= ；相等关系:列方程:提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发现数量关系。现数量关系。x=x=1818长方形的周长长方形的周长= = 2(2(长长+ +宽宽) ).如果设宽如果设宽 为为xcm，则长为，则长为 ，那，那么周长么周长= 。你认为怎样设更简便？选择你喜欢的一种设未知你认为怎样设更简便？选择你喜欢的一种设未知数的方式，据此列方程并求解。数的方式，据此列方程并求解。相等关系:列方程:中中问

6、什么设什么，我们把这种设未知数的方法问什么设什么，我们把这种设未知数的方法叫做直接设元法叫做直接设元法。中选取一个和问题有关的量作为未知数，再中选取一个和问题有关的量作为未知数，再通过这个未知数求出所要求的量通过这个未知数求出所要求的量我们把这种我们把这种设未知数的方法叫做间接设元法设未知数的方法叫做间接设元法。要灵活运用要灵活运用两种两种设元法设元法。（2 2）使长方形的宽比长少）使长方形的宽比长少4 4厘米，求这个长方形的面积是厘米，求这个长方形的面积是多少？多少？设长方形的长为设长方形的长为x x厘米，则宽为厘米，则宽为 厘米，厘米，( (x x4)4)根据题意，得根据题意，得: :2(

7、2(x xx x4)4)6060解这个方程解这个方程, , 得得: :x x1717x x4 4=13=13所以所以这个长方形的面积是这个长方形的面积是: :S S13131717221221平方厘米平方厘米如果直接设长方形的面积为如果直接设长方形的面积为x厘米，你能列厘米，你能列出方程吗？可以动手试一试。出方程吗？可以动手试一试。(3)比较比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小所得两个长方形面积的大小.还能围还能围成面积更大的长方形吗成面积更大的长方形吗?（1 1）S S18181212216216平方厘米平方厘米（长为（长为1818，宽为，宽为1212）（2 2）S S1 17 71

8、13 3221221平方厘米平方厘米（长为（长为1717，宽为，宽为1313）长为长为1616，宽为，宽为1414S S1 16 61 14 422224 4平方厘米平方厘米长为长为1515，宽为，宽为1515S S1 15 51 15 522225 5平方厘米平方厘米当当x x1515时，面积最大，达到时，面积最大，达到225225平方厘米平方厘米 问：问：(1)(1)、(2)(2)中的长方形的长、宽是怎样变化中的长方形的长、宽是怎样变化的的? ?你发现了什么你发现了什么? ? 通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，并且

9、长和宽的差越小，长方形的面积越大，积也发生变化，并且长和宽的差越小，长方形的面积越大，当长和宽相等，即成正方形时面积最大。当长和宽相等，即成正方形时面积最大。实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。1.请指出下列过程中请指出下列过程中,哪些量发生变化哪些量发生变化,哪些量保哪些量保持不变持不变?(1)把一小杯水倒入另一只大怀中把一小杯水倒入另一只大怀中;(2)用一根用一根15cm长的铁丝围成一个三角形长的铁丝围成一个三角形,然后然后

10、把它改围成长方形把它改围成长方形.(3)用一块橡皮泥先做成一个立方体用一块橡皮泥先做成一个立方体,再把它改再把它改做球做球.例例6.6. 有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为边的长分别为6cm6cm，2cm2cm，高和长方形的宽都等于，高和长方形的宽都等于3cm3cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标标x x的长度是多少？的长度是多少？分析分析 本题有本题有什么什么相等关系：相等关系：长方形的面积梯形的面积长方形的面积梯形的面积解这个方程，得解这个方程，得：6 6x x4 4，x x2 2答：答

11、：x x的长度为的长度为2cm2cm说明说明 图形面积之间相等关系常作为列方程的依图形面积之间相等关系常作为列方程的依据据.,符合题意经检验例例7 7 有有A A、B B两个圆柱形容器，如图，两个圆柱形容器，如图，A A容器内的底面积是容器内的底面积是B B容器内的底面积的容器内的底面积的2 2倍，倍，A A容器内的水高为容器内的水高为10cm10cm，B B容器容器是空的，是空的，B B容器的内壁高度为容器的内壁高度为22cm22cm若把若把A A容器内的水倒容器内的水倒入入B B容器，问：水会不会溢出？容器，问：水会不会溢出？分析分析： A A容器内的水倒入容器内的水倒入B B容器后，如果

12、水高容器后，如果水高不大于不大于B B容器的内壁的高度，水就不会溢出，容器的内壁的高度，水就不会溢出，否则，水就会溢出因此只要求出否则，水就会溢出因此只要求出A A容器内的容器内的水倒入水倒入B B容器后的水高容器后的水高本题有如下的数量关系：本题有如下的数量关系：A A容器内的底面积容器内的底面积B B容器内的容器内的底面积的底面积的2 2倍倍(1)(1)倒前水的体积倒后水的体积倒前水的体积倒后水的体积(2)(2)设设B B容器内的底面积为容器内的底面积为a a，那么，那么A A容器内的底面积为容器内的底面积为2 2a a，设，设B B容器的水高为容器的水高为x xcmcm，解解 ：设设A

13、A容器内的水倒入容器内的水倒入B B容器后的高度为容器后的高度为x xcmcm，根据题意，得根据题意，得2 210101 1x x，解得解得x x20(cm)20(cm)因为因为20222022，即，即B B容器内的水高度不大于容器内的水高度不大于B B容器的内壁容器的内壁的高度，所以水不会溢出的高度，所以水不会溢出课堂练习课堂练习（组织学生讨论，寻找本题的（组织学生讨论，寻找本题的“等等量关系量关系”） 用一块橡皮泥捏出的各种形状的用一块橡皮泥捏出的各种形状的物体，它的体积是不变的。物体，它的体积是不变的。等量关系是：圆柱的体积长方体的体积。等量关系是：圆柱的体积长方体的体积。1.一块长、宽

14、、高分别为一块长、宽、高分别为4厘米、厘米、3厘米、厘米、2厘米的长方体橡皮泥，厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到确到0.1厘米厘米, 取取3.14)243由此可看出未知数是什么？解解:设圆柱的高是设圆柱的高是 厘米厘米,则根据题意则根据题意,得得x24 3 2r x x,解这个方程23.14 1.524x24065. 7x065. 724x4 . 3x.,符合题意经检验答答:圆柱的高是圆柱的高是 3.4 厘米厘米.r=1.5 2.在一个底面直径在一个底面直径5 5厘米、高厘米、高1818厘

15、米的圆柱形瓶内装满厘米的圆柱形瓶内装满水水, ,再将瓶内的水倒入一个底面直径再将瓶内的水倒入一个底面直径6 6厘米、高厘米、高1010厘米的厘米的圆柱形玻璃杯中圆柱形玻璃杯中, ,能否完全装下能否完全装下? ?若装不下若装不下, ,那么瓶内水面那么瓶内水面还有多高还有多高? ?若未能装满若未能装满, ,求杯内水面离杯口距离求杯内水面离杯口距离. .18610Z.x.x. K Z.x.x. K 解这道题的关键是什么解这道题的关键是什么? ?解决解决“能否完全装下能否完全装下”这个问题，实这个问题，实质是比较这两个容器的容积大小，因质是比较这两个容器的容积大小，因此只要分别计算这两个容器的容积，结

16、果发现装不下此只要分别计算这两个容器的容积，结果发现装不下。“那么瓶内水面还有多高那么瓶内水面还有多高”呢呢? ?如果设瓶内水面还有如果设瓶内水面还有x x厘厘米高，那么这里的等量关系是什么米高，那么这里的等量关系是什么? ? 玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积 原来整瓶水的体积。原来整瓶水的体积。 6.1 6.1 第一课时家庭作业第一课时家庭作业 1. 将内直径为将内直径为20 cm的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为、宽、高分别为30 cm、20 cm、80 cm的长方形铁盒中，的长方形铁盒中，正好倒满，求

17、圆柱形水桶的高。正好倒满，求圆柱形水桶的高。(取取3.14) 2. 一标志性建筑的底面呈正方形一标志性建筑的底面呈正方形,在其四周铺上花岗石在其四周铺上花岗石,形成一个宽为形成一个宽为3米的正方形边框米的正方形边框(如图如图).已知铺这个边框恰已知铺这个边框恰好用了好用了192块边长为块边长为0.75米的正方形花岗石米的正方形花岗石,问标志性建筑问标志性建筑底面的边长是多少底面的边长是多少?33x分析分析 用用x x表示中间空白正方形的边长，本题的数量表示中间空白正方形的边长，本题的数量关系是：关系是：阴影部分的面积阴影部分的面积192块边长为块边长为0.75米的正方形花岗石的面积米的正方形花

18、岗石的面积;阴影部分可以分割成阴影部分可以分割成4个长为个长为(x+3x+3)米米,宽为宽为3米的长方形米的长方形.19275. 075. 0334x解得6x 3. 将一个底面直径是将一个底面直径是10厘米、高为厘米、高为36厘米的厘米的“瘦长瘦长”形圆柱锻压成形圆柱锻压成底面直径为底面直径为20厘米的厘米的“矮胖矮胖”形圆柱，高变成了多少？形圆柱，高变成了多少？ 分析：分析：假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有如下的等量关系：个问题中有如下的等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积。设锻压后圆柱的高为设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表

19、：厘米，填写下表：解：设锻压后圆柱的高为解：设锻压后圆柱的高为x厘米，依题意，得：厘米，依题意，得：x2210365解得：解得： x = 9答：锻压后圆柱的高为答：锻压后圆柱的高为9厘米。厘米。5.5.有一批截面是长有一批截面是长1111厘米、宽厘米、宽1010厘米的长方厘米的长方形铁锭，现要铸造一个形铁锭，现要铸造一个42.942.9千克的零件，应千克的零件，应截取多长的铁锭（铁锭每立方厘米重截取多长的铁锭（铁锭每立方厘米重7.87.8克）？克）？4.一书架能放厚为一书架能放厚为6.3cm 的书的书45本本.现在准备放厚现在准备放厚为为2.1cm 的书的书,问能放这种书多少问能放这种书多少 本本?6 6. .一个角的余角比这个角的补角的一半小一个角的余角比这个角的补角的一半小4040，求这个角的度数，求这个角