复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

1、新授课:3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则.难点：复数加法、减法的几何意义.知识点：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2 .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.能力点：培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力.教育点：通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，培养学生对数学探索和渴求的思想.在掌握知识的同时，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题考试点：会计算复数的和与差 ；能用复数加、减法的几何意义解决简单问题.易错易混点：复数的

2、加法与减法的综合应用.拓展点：复数与其他知识的综合 .一、引入新课复习引入1 .虚数单位i ：它的平方等于 1,即i21；2 .对于复数z a bi a,b R ：当且仅当b 0时，z是实数a ；当b 0时，z为虚数；当a 0且b 0时，z为纯虚数；当且仅当a b 0时，z就是实数0.3 .复数集与其它数集之间的关系：nz = Q = r = c.4 .复数几何意义：复数z a bi a,b R 复平面内的点Z a,b复数 z a bi a,bc ；-一对应urR复平面内的向量OZ= a,b我们把实数系扩充到了复数系 ，那么复数之间是否存在运算呢 ？答案是肯定的，这节课我们就来研究复 数的加减

3、运算.【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识，使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境，为探究本节课的新知识作铺垫 .二、探究新知探究一：复数的加法1.复数的加法法则我们规定，复数的加法法则如下：设乙 a bi , z2 c di(a,b,c, d R)是任意两个复数，那么：乙 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i提出问题：(1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？(2)当b=0,d0时，与实数加法法则一致吗 ？(3)它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法 ？学生明确：(1)仍然是个复数，且是一个

4、确定的复数；(2) 一 致；(3)实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】 加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.2 .复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？对任意的z1, z2, z3 C ,有Zl Z2 Z2 Zl (交换律)，(Zi Z2) Z3 Zl(Z2 Z3)(结合律)【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，学生先独立思考，然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力

5、.3 .复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗 ？、广 uuu uuur设OZ1 ,OZ2分别与复数 a bi, cuuuUUUU UUUdi对应，则有o乙(a,b),OZ2 (c,d),由平面向重的坐标运算有UJUU UUUU。乙 OZ2 (a c,b d).这说明两个向量 OZU与OZU的和就是与复数(a c)+(b d)i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义 .如图所示:由图可以看出，以0乙、(a c)+(b d)i对应的向量.OZ2为邻边画8行四边形 OZ1ZZ2,

6、其对角线OZ所表示的向量OZU就是复数，训练学生的形象思【设计意图】 通过向量的知识，让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则维能力，也培养了学生的数形结合思想.另外，当两复数的对应向量共线时，可直接运算；当不共线时，可类比向量加法的平行四边形，也培养了学生的类比思想.探究二：复数的减法类比复数的加法法则，你能试着推导复数减法法则吗？1.复数的减法法则我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c di) (x yi) a bi的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差,记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义,有c xa,dy b,因此xa c, y b d,所以x

7、yi (a c) (b d)i ,即(a bi) (c di) (a c) (b d)i.这就是复数的减法法则，所以两个复数的差是一个确定的复数.【设计意图】 复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法 ，是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则 ，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力.2 .复数减法的几何意义uur uuuruuuu uuuuuumr,设。乙,OZ2分别与受数a bi, c di对应，则这两个受数的差 z1z2与向量OZ1OZ2 (即Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何

8、意义.如图所示.【设计意图】两个复数的差Z1-Z2 (即OZ1一OZ2)与连接两个终点 乙，Z2,且指向被减数的向量对应与平面向量的几何解释是一致的；它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合.注意：只有将差向量平移至以原点为起点时，其终点才能对应该复数.三、理解新知1 .复数的加减法法则：设乙 a bi , z2 c di(a,b,c,d R)是任意两个复数，规定:Z1 z2 (a c) (b d)i ;Z z2 (a c) (b d)i .2 .复数加、减法的几何意义：(1 )复数的加法按照向量加法的平行四边形法则；(2 )复数的减法按照向量减法的三角形法则.3

9、.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性：它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来(2)复数白加(减)法实质是：复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减；(3)多个复数相加减：可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减.(4)复平面内的两点间距离公式：d乙z2 .其中乙，z2是复平面内的两点 乙和Z2所对应的复数，d为点乙和点Z2间的距离.即两个复数差的模的几 何意义是：两个复数所对应的两个点之间的距离.【设计意图】 加深对复数加(减)法法则的理解，从不同的角度总结，既学到知识，又学到了数学方法，使知识 更加系统化，学生的思维将上升到一个更高的层面，为准确地运用新知，

10、作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力，使学生对所学的知识有一个整体的认识，解决问题时可以信手拈来.四、运用新知例1.计算：(2 3i) (5 i) ；(2) ( 1 ,2i) (1 .2i)；(2 3i) (5 2i) ；(4) (5 6i) ( 2 i) (3 4i)；解：(1)( 23i)(5 i)( 2 5)(31)i32i ；(2) ( 1 . 2i) (12i)( 11)(,2,2)i0;(3) (23i)(5 2i)(25)( 32)i3 5i；(4) (56i)( 2 i)(34i)(523)( 61 4)i11i.【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行，就是将它们的实部

11、、虚部分别相加、减，实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.变式训练：计算(1 2i) ( 2 3i) (3 4i) ( 4 5)i L (1999 2000i) ( 2000 2001i).解：(解法一)原式 (1 2 3 4 5 6 L 1999 2000) ( 2 3 4 5 6 L 2000 2001)i 1000 1000i.(解法二)(1 2i) ( 2 3i)1 i ；(3 4i) ( 4 5i)1 i ；(1999 2000i) ( 2000 2001i)1 i.将上列1000个式子累加，得1000( 1 i) 1000 1000i.【设计意图】 复数的加减法，相当于多项式加减中

12、的合并同类项的过程；如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算，并带有一定的规律性.uuuuOZ2 ,uuuu uuunuuiu例2. (1)设。乙,OZ2分力I与受数Z 5 3i,Z21 4i对应，计算乙z2,并在复平面内作出。乙UULU UULUU(2)设OZ1,OZ2分力1J与受数z 1 3iz解:图1图24Z2=(5+3i)(1 4i) (5 1)(3 4)i(如图1所示);Z+Z2(1 3i) (2 i) (1 2)(3 1)i4i.(如图2所示).【设计意图】 由复数的几何意义知，复数z2

13、所对应的的点分别为uuuD uuur.乙,Z2. OZ1 OZ2就是表不向重uujir -Z2Z1 ,而uur uuu _OZ1 OZ2可利用平仃四边形法则作出变式训练：已知复数 z1a2 3 (a 5)i, z2a 1 (a2uuuu uuuu2a 1)i(a R)分别对应向量OZ1,OZ2 (O为坐标原点),若向量3詈对应的复数为纯虚数，求a的值.答案：a 1.例3.已知关于x的方程:x2 (6i)x 9ai 0(a R)有实数根b .(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足zbi| 2z0,求z的最小值.解：(1)由题意，得b2(6 i)b 9ai24一0,即(b 6b 9) (a b

14、)i 0.由复数相等的定义得2b2 6b 9解得a b3.设z x yi(x, yR),川2 z0,得(x 3)(y3)i 2z,即(x 3)2 (y 3)24(x y)2,整理得(x 1)2 (y1)28,即复数z在复平面内所对应的点Z(x, y)的轨迹是以C(1,1)为圆心，半径长为2衣的圆.又z的几何意义是Z(x, y)与原点O(0,0)的距离，uum uuuri对应，计算z+z2,并在复平面内作出 OZ1 OZ2 .如图，由平面几何知识知minCA CO 2金 & 应.【设计意图】 在问题(1)中由复数相等的概念，列方程组求出两个参数值，把复数问题实数化，既复习了概念又锻炼了学生的计算

15、能力和解决问题的能力；在问题(2)中由z J(x 0)2 (y 0)2，把z转化为复数z所对应的点与原点的距离 ，解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形，在图形中寻求答案，把数转化成形，利用数形结合思想解决即可.变式训练：复数z的模为1,求z 1 i的最大值和最小值.答案：12+1,、2 1.【设计意图】通过变式训练，便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题，提高学生理解、运用知识的能力.五、课堂小结(一)知识:1 .复数代数形式的加法、减法的运算法则；2 .复数加法、减法的几何意义.3 .几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性：它既与实数运算法则，运算律相同，又与

16、向量完美地结合起来；(2)复数白加(减)法实质是：复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减；(3)多个复数相加减：可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减.(4)复平面内的两点间距离公式：d z1-z2|.其中Zi, z2是复平面内的两点 乙和Z2所对应的复数，d为点乙和点Z2间的距离.即两个复数差的模的几何意义是：两个复数所对应的两个点之间的距离.(二)思想方法：类比的思想、转化的思想、数形结合的思想.【设计意图】 通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用.深化对

17、知识的理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结，并对 所学知识进行提炼升华，使知识系统化.让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进学习目标的完 成.六、布置作业必做题：1 .计算：(1)(2 4i) (3 4i);(2)( 3 4i) (2 i) (1 5i).uuu uuuuur uuu2 .复数6+53 3+4i对应的向量分别是 OA与OB,其中O是原点，求向量AB, BA对应的复数，并指出 其对应的复数位于第几象限.3 .复平面上三点 A,B,C分别对应复数1,2i,5 2i,则由A, B,C所构成的三角形 ABC是 三角形.4 .求

18、复数2 i, 3 i所对应的两点之间的距离.5 .已知复数z满足z+z 2 8i，求复数z.6 .已知平行四边形 OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3 2i, 2 4i ,试求:uuuruuu1) ) AO表示的复数；(2) CA表示的复数；(3) B点对应的复数.答案：1.(1)5;(2) 2 2i .2) 9 i,位于第三象限；9 i,位于第一象限3.直角三角形.4. 55.5. z 15 8i.6. (1) 3 2i ；(2) 5 2i；(3) 1 6i选做题：1.在复平面内，求满足方程z+i z i4的复数z所对应的点的轨迹.2 .复数乙,z2满足乙z21,乙+z2J2,求乙 z .答案：1.提示：方程可以变形为 z ( i) z i 4|,表示到两个定点(0, 1)和(0,1)距离之和等于4的点的 轨迹，故满足方程的动点轨迹是椭圆.2 .提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角线的长度为J2 ,则所求的另一条对角线的长度也等于J.法二：