复利现值、终值、年金现值终值公式、实例

1、某投资项目预测的净现金流量见下表(万元)，设资金基本贴现率为10%,则该项目的净现金值为()万元年份012345678910各年末净现金流量-50060100100100100100100100100100解:本例因为涉及到年金当中的递延年金，所以将年金系列一起先介绍，然后解题年金，是指一定时期内每次等额收付款的系列款项， 通常记作A。如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及 零存整取或整存零取储蓄等等。年金按每次收付发生的时点不同， 可 分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等。结合本例，先介 绍普通年金与递延年金，其他的在后面介绍。一、普通年金，是指从第一期起，在一

2、定时期内每期期末等额发生的 系列收付款项，又称后付年金。1 .普通年金现值公式为：_12P A (1 i) A (1 i)A (1 i) (n 1)A (1 i)n Ai式中的分式1 (1 i) n称作“年金现值系数”，记为(P/A, i, n), i可通过直接查阅“1元年金现值表”求得有关的数值，上式也可写作:P=A (P/A, i, n).2.例子：租入某设备，每年年末需要支付租金 120元，年复利利率为10%,则5年内应支付的租金总额的现值为:P A 1（1 i） 120 1（1 10%）120 3.7908 455 （元）i10%二、递延年金，是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而隔

3、若干期（假设为S期，SA1）,后才开始发生的系列等额收付款项。它是 普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。2 .递延年金现值公式为：1 (1 i) n 1 (1 i) siiA (P/A,i,n) (P/A,i,s)(1)A (P/A,i, n s) (P/F,i,s)(2)1 (1 i) (n s)A 1 (1i)(1 i)i上述（1）公式是先计算出n期的普通年金现值，然后减去前 期的普通年金现值，即得递延年金的现值，公式（2）是先将些递延年金视为（n-s）期普通年金，求出在第 s 期的现值，然后再折算为第零期的现值。3 .例子：某人在年初存入一笔资金，存满5年后每年年末

4、取出1000 元，至第10年末取完，银行存款利率为10%。则此人应在最初一次 存入银行的钱数为： 方法一：1 (1 i) n 1 (1 i) sP A ( A (P/A,i,n) (P/A,i,s)ii10001 (1 10%) 10 1 (1 10%) 510%10%1000 (P/A,10%,10) (P/A,10%,5)= 1000X(6.1446-3.7908产2354 (元)方法二：是先将些递延年金视为（n-s）期普通年金，求出在第s期 的现值，然后再折算为第零期的现值。A 1 (1 i) (n s) (1 i) sA (P/A,i,n s) (P/F,i,s)1000 1 (1 1

5、0%)(105)(1 10%)5 10 (P/A10%,10 5) (P/F,10%5)= 1000X 3.7908X 0.6209= 2354 (元)三、本例的分析及解答:从表中可以看出，现金流量是每年年末的净现金流量，从第 2年开始到第10年，每年年末的净现金流量相等，这符合递延年金的定义，那么从第2年到第10年的每年年末的净现金流量的现值要按递延年金来计算。第0年的年末净现金流量为-500,说明是第1年年初一次性投入500万元，第1年年末的净现金流量为60万元，按复利现值的公式来计算。从本例中，建设期为 0年，经营期为10年,年利率为10%,那么本例的投资的净现值计算为:NPVm Ntn

6、Ptt 1 (1 R)t n t 1 (1 R)t 160(10 1)(1 10%) 1 100 1 (1 10%) (1 10%) 1 500i60 (P/F,10%,1) 100 (P/A,10%,10 1) (P/F,10%,1) 500=60 X 0.9091 + 100X 5.7590 X 0.9091-500= 578.09669-50078.09669 (万元)四、其他年金普通年金1.终值公式为：(1 i)n 1 i式中的分式(1 i)n 1称作“年金终值系数”，记作为(F/A, i, n), i可通过直接查阅“1元年金终值表”求得有关的数值，上式也可写作:F=A (F/A, i

7、, n)例：假设某项目在5年建设期内每年年末从银行鳍100万元，借款年利率为10%,则该项目竣工时就付本息的总额为：5,F 100 (1 10%)-1 =100X (F/A, 10%, 5) =100X6.1051=610.5110%(万元)2 .年偿债基金的计算(已知年金终值，求年金 A)偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或者积聚 一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。它的计算实际上是年金终值的逆运算。A F n(1 i) 1式中的分式一称作”偿债基金系数”，记为(A/F, i, n), (1 i) 1可通过直接查阅“偿债基金系统表”或通过年金终值系数的倒数推算出来，上

8、式也可写作：A=F (A/F, i, n)或者A=F1/ (F/A, i, n)例：假设某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款年复利率为10%,则为偿还该借款应建立的偿债基金应为：10%A 1000 =1000X0.2154= 215.4 (万兀)(1 10%)4 1或 A=1000X1/ (F/A, 10%, 4)尸1000X(1/4.6410)=215.4(万元)3 .年资本回收额的计算(已知年金现值P,求年金A)1 (1 i) n式中的分式 in称作“资本回收系数”记为记为(A/P, i, n), 1 (1 i)可通过直接查阅“资本回收系统表”或通过年金现值系数的倒数

9、推算出来，上式也可写作：A=P (A/P, i, n)或者A=P1/ (P/A, i, n)例：某企业现在借得1000万元的贷款，在10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为：12%A 1000 =1000X0.1770=177 (万兀)1 (1 12%) 10或 A=1000X1/ (P/A, 12%, 10) =1000X (1/5.6502)=177 (万元)即付年金即付年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金，它与普通年金的区别仅在于付款时间的不 同。1 .由于付款时间的不同，n期即付年金终值比n期普通年金的终值 多计算一期利息。因此，在n期普

10、通年金终值的基础上乘上(1+i)就是 n期即付年金的终值。(1 i)n 1(1 i)n 1 1F A ()(1 i) A A ) 1iin 1式中 U1 1称作“即付年金终值系数”，它是在普通年金终 i值系数的基础上，期数加1,系数值减1所得的结果。通常记为(F/A, i, n+1) -1,这样，通过查阅“一元年金终值表”得到 n+1期的值， 然后减去1便可得对应的即付年金终值系数的值。上式也可写作：F=A (F/A, i, n+1) -1例：某公司决定连续5年于每年年初存入100万元作为住房基金，银行存款利率为10%。则该公司在第5年末能一次取出本利和为：F= A (F/A, i, n+1)

11、 -1=100X (F/A, 10%, 5+1) -1= 100X(7.7156-1)=672 (万元)2 .由于付款时间的不同，n期即付年金现值比n期普通年金的现值 少折现一期。因此，在n期普通年金现值的基础上乘上(1+i)就是n期 即付年金的现值。1 (1 i) n1 (1 i) (n 1)P A ( ) (1 i) A ( )1ii式中1 (1 i) (n 1) 1称作“即付年金现值系数”，它是在普通年金 i现值系数的基础上，期数减1,系数值加1所得的结果。通常记为(P/A, i, n-1) +1,这样，通过查阅“一元年金现值表”得到 n-1 期的值，然后加上1便可得对应的即付年金现值系

12、数的值。上式也可写作：P=A (P/A, i, n-1) +1永续年金永续年金，是指无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。存本取息可视为永续年金的 例子。也可将利率较高、持续期限较长的年金视同永续年金。由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。公式为：1t i (1 i)t例：某人持有的某公司优先股，每年每股股利为 2元，若此人想长期持有，在利率为10%的情况下，请对该股票投资进行估价。这是一个求永续年金现值的问题，即假设该优先股每年股利固定 且持续较长时期，计算出这些股利的现值之和，即为该股票的估价。P=A/i=2/10%=20 (

13、元)五、名义利率与实际利率的换算当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每年只复利一次的利率才是实际利率。公式：i=(1+r/m)m-1式中：i为实际利率，r为名义利率，m为每年复利次数。例：某企业于年初存入10万元，在年利率为10%,半年复利一次 的情况下，到第10年末，该企业能得到多少本利和？依题意，P=10, r=10%, m=2, n=10则：i=(1+r/m)m-1= i=(1+10%/2)2-1 = 10.25%F=P(1+i)n=10X (1+10.25%)10=26.53 (万元)这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不便于查 表。可以把利率变为r/m,期数相应变为mxn,则有:F=P(1+r/m) m n=10X(1+10%/2)20=10X (F/P,5%,20)=26.53 (万元)复利终值公式；F=P(1+i) n现值公式：P=F/(1+i) n = p=s/(1+i)An=s*(1+i)A- n普通年金终值公式：(1 i)n 1F A i现值公式：_12P A (1 i) A (1 i)A (1 i) (n 1) A (1i)1 (1 i) nA - i即付年金的终值。(1