8-6静电场的环路定理电势能

1、18-6 8-6 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能一一 静电场力所作的功静电场力所作的功静电场第三讲静电场第三讲二二 静电场的环路定理静电场的环路定理三三 电势能电势能8-7 8-7 电势电势一一 电势电势二二 点电荷电场的电势点电荷电场的电势三三 电势的叠加原理电势的叠加原理四四 电势的计算电势的计算28-6 8-6 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能一一 静电场力所作的功静电场力所作的功1 1 点电荷电场中移动试验电荷点电荷电场中移动试验电荷q q0 0点电荷点电荷q q的电场强度为：的电场强度为：2014rqEer 正点电荷正点电荷q q固定于原点固定于原点o

2、o，试验电荷试验电荷q q0 0在在q q的电场中，由的电场中，由A A点沿任意路径点沿任意路径ACBACB到达到达B B点。点。0qEABCoqr3020002001411()44BABArlrrrABqqWWrrqqrqqrrrdddcosrellr ddd0qldEABCrBoqrArrdr 则在则在q q0 0从从A A移至移至B B点的过程点的过程中，电场力作的总功为：中，电场力作的总功为：002014rqqWq Elelrdddq q0 0移过元位移移过元位移 时，电场力作的元功为：时，电场力作的元功为：ld4可见：可见：W W与与q q0 0在的始末位置有关，与路径无关。在的始末

3、位置有关，与路径无关。2 2 任意带电体的电场任意带电体的电场( (视为点电荷的组合视为点电荷的组合) )0011()4ABqqWrr000()iillliiWqElqElqEldddiiEE由电场强度叠加原理知：由电场强度叠加原理知： 因为上式中每一项都与路径无关，所以它因为上式中每一项都与路径无关，所以它们的代数和也必然与路径无关。们的代数和也必然与路径无关。53 3 结论：结论： 一试验电荷一试验电荷q q0 0在静电场中从一点沿任意路径在静电场中从一点沿任意路径运动到另一点时，静电场力对它所作的功，仅与运动到另一点时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷试验电荷q q0 0及路径的起点和

4、终点的位置有关，而及路径的起点和终点的位置有关，而与该路径的形状无关。与该路径的形状无关。 说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。6二二 静电场的环路定理静电场的环路定理q q0 0沿闭合路径沿闭合路径l l移动一周，电场力作功为：移动一周，电场力作功为：00llWq ElqEldd又由静电场力作功特点知：又由静电场力作功特点知：W=0W=000lqEld则：则：0q 0lEl d0此即静电场的环路定理此即静电场的环路定理 式中式中 称为电场强度矢量环流。称为电场强度矢量环流。lEld 静电场的环路定理表述了静电场的另一性质：静电场的环路定理表述了静电

5、场的另一性质： 无旋性，即电场线不闭合。无旋性，即电场线不闭合。EA700ABABWq ElqElABdd三三 电势能电势能因为静电场是保守场，所以可以引入势能概念。因为静电场是保守场，所以可以引入势能概念。将将q q0 0由由A A点移到点移到B B点时，静电场力所作的功为：点时，静电场力所作的功为：由保守力与势能的关系知：由保守力与势能的关系知：()WEEABpBpA0ABEqElEpApBd则：则：0()ABqElEE pBpA d0E pB选选B B点为电势能零点，即令：点为电势能零点，即令：00ABABEqElEq ElpApBdd8 电势能的大小是相对的，电势能的大小是相对的， 电

6、势能的差是绝对的。电势能的差是绝对的。 电势能是电场和电场中的电荷共同拥有的。电势能是电场和电场中的电荷共同拥有的。可见：电荷可见：电荷q q在电场中某点的电势能，在数值上在电场中某点的电势能，在数值上 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所就等于把它从该点移到零势能处静电场力所 作的功。作的功。0ABEq ElpAd即即98-7 8-7 电势电势一一 电势电势定义：电场中定义：电场中A A点的电势点的电势0EVqpAA0ABABEqElEpp d( (V VB B为参考电势，值任选。为参考电势，值任选。) )ABVElVBAd1 1 电势电势V VA AABVElAd令令 V VB B=0=

7、0，则有：，则有：BAVElAd(B(B点为电势参考点点为电势参考点) )EBA10 电势零点的选取可视问题性质而定。电势零点的选取可视问题性质而定。ABUVVElABABd 电场中电场中A A点的电势在数值上等于把单位正电荷从点的电势在数值上等于把单位正电荷从 点点A A移到无穷远时，静电场力所作的功。移到无穷远时，静电场力所作的功。 源电荷为有限大小，一般以无穷远为电势零源电荷为有限大小，一般以无穷远为电势零点。实际问题中常选择地球电势为零。点。实际问题中常选择地球电势为零。 无限扩展的源电荷无限扩展的源电荷( (如无限长带电圆柱面如无限长带电圆柱面) )只只能选在有限区域内的任一点为电势

8、零点。能选在有限区域内的任一点为电势零点。2 2 电势差电势差U UABAB= =V VA A- -V VB B 电势是标量，它的单位是伏特简称伏，符号为电势是标量，它的单位是伏特简称伏，符号为V V。11 一般情况下，电势是源电荷和空间位置的函数，一般情况下，电势是源电荷和空间位置的函数， 当电势分布已知时，可以方便地求出电荷当电势分布已知时，可以方便地求出电荷q q在电在电 场中某点的电势能和在电场中移动电荷场中某点的电势能和在电场中移动电荷q q时静电时静电 场力作的功。场力作的功。000WqVqVqUABABBAEqVpAA 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势差是绝对的，与电势

9、零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关。电势大小是相对的，与电势零点的选择有关。 静电场中静电场中A A、B B两点电势差两点电势差U UABAB，在数值上等于把，在数值上等于把 单位正电荷从单位正电荷从A A点移到点移到B B点时，静电场力所作的功。点时，静电场力所作的功。12q q0 0时，时，V V0 0；q q0 0时，时，V V0 022000444rrrqq rqVelrrrdd二二 点电荷电场的电势点电荷电场的电势04rqEer2令：令：V V=0=0，且沿径向积分。，且沿径向积分。EoqrldP04qVr即：即：131 1 点电荷系点电荷系iiEE04iAAi

10、iiiiiVElElqVrAAdd 04iiiqVrA即：2 2 电荷连续分布电荷连续分布04qVrPdqVdd三三 电势的叠加原理电势的叠加原理1q2q3qA1r1E2r3r2E3EPdqdEr14 其步骤为：其步骤为： 将带电体划为许多电荷元将带电体划为许多电荷元d dq q。 d dq q可以是点电荷，也可以是其他典型带电可以是点电荷，也可以是其他典型带电 体，应视问题的具体情况而定。体，应视问题的具体情况而定。 选择电势零点，写出电荷元选择电势零点，写出电荷元d dq q在场点的电势在场点的电势d dV V。 由电势叠加原理求由电势叠加原理求V V。1 1 利用电势叠加原理利用电势叠加

11、原理四四 电势的计算电势的计算计算电势常用的方法有两种。计算电势常用的方法有两种。15例例1 1 正电荷正电荷q q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R R的细圆环上。求圆环的细圆环上。求圆环 轴线上距环心轴线上距环心O O为为x x处点处点P P的电势。的电势。解解 在环上取小段在环上取小段d dl l，电荷元，电荷元2qqllRddd0014142qVrq lrRPddd00114242lllq lqVVlrRrRPdddqoxyzxPrRl d16000044qqxVxRVRxP， ，2204qVxRP即： 由此式可得均匀带电圆由此式可得均匀带电圆 环轴线上的电势分布曲环轴线上的电势分布曲

12、 线如图。线如图。04qRxoV22 1 204()qxR 环心和无穷远处的电势环心和无穷远处的电势220044qqVrx RP172qr r dd220124r rVxr Pdd222RxRxRxx2 均匀带电薄圆盘轴线上的电势均匀带电薄圆盘轴线上的电势qdxPrrd221/2()xrxoR022020124)Rr rVxrxRx P2d(2182 2 由电势的定义求解由电势的定义求解 其步骤为：其步骤为： 确定电场强度确定电场强度 的分布。的分布。 选择电势零点和积分路径，其原则是使计算尽选择电势零点和积分路径，其原则是使计算尽 量简便。量简便。 由由 (B(B点为电势参考点点为电势参考点

13、) )计算计算V VA A 。E0VAVElAd04 VQx( (点电荷电势点电荷电势) )19QRreroABrArrBdr令令V V=0=0，并沿径向积分。，并沿径向积分。任一点任一点P P的电势的电势V VP P例例2 2 均匀带电球壳的电势。均匀带电球壳的电势。 真空中一半径为真空中一半径为R R带电带电Q Q的球壳。试求的球壳。试求(1)(1)球壳球壳外两点间的电势差；外两点间的电势差；(2)(2)球壳内两点间的电势差；球壳内两点间的电势差；(3)(3)球壳外任意点的电势；球壳外任意点的电势；(4)(4)球壳内任意点的电势。球壳内任意点的电势。解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得：20014rr RQEer Rr200(4)( )4Qr RVV RRin 可见，带电球壳为一等势体，即球壳内各处的可见，带电球壳为一等势体，即球壳内各处的 电势与球壳表面的电势相等。电势与球壳表面的电势相等。 由式由式和和可得均匀带电球可得均匀带电球 壳内、外的电势分布曲线如图。壳内、外的电势分布曲线如图。00(2)044QQr RUVVRRABAB 0(3)( )4Qr RV rr roV04QRR0