(单辉祖)工程力学课件ppt 第13章 应力状态分析

1、第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析 13-1 13-1 引言引言13-2 13-2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析13-3 13-3 极值应力和主应力极值应力和主应力13-4 13-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律13-6 13-6 复合材料应力应变关系简介复合材料应力应变关系简介材料力学材料力学13-113-1 引言三、应力状态的分类三、应力状态的分类二、二、研究应力状态的方法研究应力状态的方法一、一点的应力状态一、一点的应力状态第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析一、一点的应力状态a ammAFFFa aA

2、FAaann1cos22sin2 2aaaa AFN 杆件受力后，其内任一点在各个截面上的应力状况的集合，杆件受力后，其内任一点在各个截面上的应力状况的集合，称为该点的应力状态称为该点的应力状态13-1 13-1 引言引言二、研究应力状态的方法1单元体单元体单元体单元体围绕构件内一点所截取的微小正六面体。具有以下特点围绕构件内一点所截取的微小正六面体。具有以下特点1)1)单个面上的应力均布，用箭头表示方向单个面上的应力均布，用箭头表示方向2)2)平行面上的应力大小相同、方向相反平行面上的应力大小相同、方向相反3)3)单元体三个相互垂直面上的应力已知单元体三个相互垂直面上的应力已知13-1 13

3、-1 引言引言二、研究应力状态的方法2单元体上的应力分量单元体上的应力分量1)单元体各面上的应力分量共有单元体各面上的应力分量共有九九个个2)应力分量的应力分量的角标规定角标规定xOzydzdxdyXYZO y yz yx yz y yx z zy zx z zy zx xy x xz xy x xz第一角标表示应力作用面第一角标表示应力作用面面的方位用其法线方向表示面的方位用其法线方向表示第二角标表示应力平行的轴第二角标表示应力平行的轴两角标相同时，只用一个角两角标相同时，只用一个角标来表示。标来表示。13-1 13-1 引言引言二、研究应力状态的方法4)切应力互等定理切应力互等定理yxxy

4、xzzxzyyz ，XYZO z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xz y y独立分量有独立分量有六六个个13-1 13-1 引言引言二、研究应力状态的方法AF/A 0 xxOzyAFy 0 zzxxzzyyzyxxy 013-1 13-1 引言引言二、研究应力状态的方法3截取单元体的方法、原则：截取单元体的方法、原则：1)1)用三个坐标轴用三个坐标轴( (笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构 件形状而定件形状而定) )在一点截取，因其微小，统一看成微在一点截取，因其微小，统一看成微 小正六面体小正六面体2)2)单元体各个面

5、上的应力已知或可求单元体各个面上的应力已知或可求13-1 13-1 引言引言二、研究应力状态的方法FFAF/A AFFAAA一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面13-1 13-1 引言引言二、研究应力状态的方法MeMe横截面、周向面、直径面各横截面、周向面、直径面各一对一对BMMe /WpBFCABBCAzAWM zCCIMy A ( ) SzCCzF SI bbISFzzQB max 13-1 13-1 引言引言二、研究应力状态的方法FMeMe横截面、周向面、直径面各一对，横截面、周向面、直径面各一对，从上表面截取从上表面截取CC , SM, T FzWM CzWM pWT CpWT

6、 CzWM pWT 13-1 13-1 引言引言三、应力状态的分类1主应力、主单元体、主平面的概念主应力、主单元体、主平面的概念1)1)主平面：主平面：单元体上切应力为零的平面单元体上切应力为零的平面2)2)主单元体：主单元体：各面均为主平面的单元体，主单元体上各面均为主平面的单元体，主单元体上有三对主平面有三对主平面旋转旋转yxz 2 3 1 x z xy xz zx zy yz yx y3)3)主应力：主应力： 主平面上的正应力，用主平面上的正应力，用 1、 2、 3表示，有表示，有 1 2 3xyz4)4)围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主要目围绕一点至少存在一个主单元体，应力分

7、析的主要目的就是寻找的就是寻找主单元体主单元体和和主应力主应力13-1 13-1 引言引言三、应力状态的分类2 2应力状态按主应力分类：应力状态按主应力分类：1)1)单向应力状态：单向应力状态： 只有一个主应力不为零的应力状态只有一个主应力不为零的应力状态2)2)平面应力状态：平面应力状态： 只有一个主应力为零的应力状态，也只有一个主应力为零的应力状态，也称称二向应力状态二向应力状态3)3)空间应力状态：空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态，也三个主应力均不为零的应力状态，也称称三向应力状态三向应力状态；4)4)单向应力状态又称简单应力状态；平面和空间应力单向应力状态又称简单应力状态；平

8、面和空间应力 状态又称复杂应力状态。状态又称复杂应力状态。13-1 13-1 引言引言二向和三向应力状态的实例1 1、二向应力状态实例、二向应力状态实例2 2、三向应力状态实例、三向应力状态实例2)从扭转和弯曲看，从扭转和弯曲看，最大应力往往发生在构件的表层最大应力往往发生在构件的表层构件的表面为自由表面，应力为零构件的表面为自由表面，应力为零为一主平面为一主平面从表层取出的单元体为二向应力状态从表层取出的单元体为二向应力状态1)简单拉压简单拉压、扭转扭转、弯曲弯曲单向应力状态或二向应力状态单向应力状态或二向应力状态13-1 13-1 引言引言A外圈滚珠滚珠FA载荷的接触点为载荷的接触点为三向

9、应力状态三向应力状态13-1 13-1 引言引言13-2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析13-3 极值应力和主应力极值应力和主应力一、解析法一、解析法二、图解法二、图解法x xzyy xy yx 第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析一、解析法x xzyy xy yx 一）任一斜截面上的应力一）任一斜截面上的应力二）主平面与主应力二）主平面与主应力三）极值切应力三）极值切应力xyxyyxyxxy x x y y平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析一）任一斜截面上的应力0nF dAaea adAa anaaeta aaba an xxyyx yacosdA asindA dda

10、aaasincoscoscosAAxyx 0 dd aaaacossinsinsinAAyxyyxxy 一、解析法xyxyyxyxxy x x y yabcd平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析一）任一斜截面上的应力0tF ea adAa anaaeta aaba an xxyyx yacosdA asindA xyxyyxyxxy x x y yabcd平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析cos2sin222 sin2cos22xyxyxyxyxyaaaaaaP278: (13-1)P278: (13-2)一）任一斜截面上的应力a a ：以以x轴正向为起线，轴正向为起线，逆时针转至逆

11、时针转至n正向者为正，反之正向者为正，反之为负为负ea aa anxyxyyxyxxy x x y yabcd平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析cos2sin222 sin2cos22xyxyxyxyxyaaaaaa二）主平面与主应力022200 aacossinxyyx tanyxxya 2201. .极值正应力的条件极值正应力的条件2. .主平面的方位主平面的方位0222200 aacossinxyyxddaa0aa 0aaP281: (13-4)主应力就是极值正应力主应力就是极值正应力 002180tan2tanaa 主应力主应力( (即主平面即主平面) )是是相互垂直的相互垂直的

12、090a 0a和和 都是解都是解平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析cos2sin222 sin2cos22xyxyxyxyxyaaaaaa二）主平面与主应力 tanyxxya 2203. .主应力的大小主应力的大小P281: (13-4) 090a 0a2max2min 22xyxyxyP281:(13-3) 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析cos2sin222 sin2cos22xyxyxyxyxyaaaaaa二）主平面与主应力 tanyxxya 2204. .主应力与主平面的对应关系的确定主应力与主平面的对应关系的确定(13-4) (13-3) 22minmax22xyyxy

13、x 90290- 000 a 5445- 000 a有一值：有一值：方法方法1450 ayx max0ayx min0axyxy x xxyyxyx y y反知反知方法方法20amaxmaxminmin与切应力的交点与切应力的交点同像限同像限的的maxa0平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析三）极值切应力sin2cos22xyxy aaa tanyxxya 220022211 aasincosxyyxddaa1aa 1. .切应力发生极值的条件切应力发生极值的条件 tanxyyxa221 2. .极值切应力的方位极值切应力的方位01212aaanantt 0145aa 02acot 029

14、0a ant极值切应力所在平面与主平面的夹角为极值切应力所在平面与主平面的夹角为45xyxy x xxyyxyx y y0amaxmaxminmin平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析(13-5) 三）极值切应力3. .极值切应力的大小极值切应力的大小190a 1a 22minmax2xyyx sin2cos22xyxy aaa tanxyyxa221 22minmax22xyyxyx minmaxminmax2maxminxyxy x xxyyxyx y y0amaxmaxminmin平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析总结：cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy

15、 aaaaaayxxyxyyxyxa 2tan2222minmax02 xyyxa22tan21minmaxminmax 任一斜截面上的应力：任一斜截面上的应力：主应力，主平面方位：主应力，主平面方位：极值切应力，极值切应力的方位：极值切应力，极值切应力的方位：a a ,xyyxa a ,xyyx平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析例1 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa），试用解析法求（1） 图示斜截面上的应力： （2） 主应力大小和主平面位置； （3） 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；解：45 a a50 x xy0 y 20 xy 50205 4（a a5MPa25

16、aa MPa0 . 70 .572222minmaxxyyxyxMPa0 .571 002 MPa0 . 73 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy aaaaaa解：45 a a50 x 0 y 20 xy MPa0 .571 02 MPa0 . 73 545020222tan0 yxxya7 .703 .190或 a a）3 .190 .570 .570 . 70 . 7与剪应力的交点同像限的与剪应力的交点同像限的maxa05020a a例1 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa），试用解析法求（1） 图示斜截面上的应力：

17、 （2） 主应力大小和主平面位置； （3） 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析例2 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏原因。解：TTxy0 x xy 0 y PWT 02tana 450 a 321 , 0,330a 11BMMe /Wp平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析22maxmin22xyxyxy二、图解法一）原理一）原理二）作法二）作法三）三）应力圆的应用应力圆的应用平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析一）原理cos2sin222 sin2cos22xyxyxyxyxyaaaaaacos2sin222xyxyxya

18、aa 22ba 222222xyxyxyaa 0,2 yx222xyyx 圆心：圆心：半径：半径：应力圆圆周上的点与单元体的斜截面上的应力有一一对应应力圆圆周上的点与单元体的斜截面上的应力有一一对应的关系的关系（a）（b）应力圆应力圆(莫尔圆莫尔圆)平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析二）作法按照下列步骤作图按照下列步骤作图3. .连接连接D和和D1两点之间的直线，交轴于两点之间的直线，交轴于C点点4. .以以C点为圆心点为圆心，以，以CD或或CD1为半径作圆，为半径作圆，即得所要的即得所要的应力圆应力圆1. .选取平面直角坐标系选取平面直角坐标系 2. .按比例标出按比例标出 和和 两点

19、两点),(xyxD),(1yxyDxyxyxyyx ODxxyyxy1DC平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析二）作法证明：证明：圆心坐标：圆心坐标：圆的半径：圆的半径：OCC 2yxy BCOB 2yx 0 C22ADCA CDR 222xyyx xyxyxyyx ODxxyyxy1DCBA平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析三）应力圆的应用1)1)点面对应关系：点面对应关系：2)角度对应关系角度对应关系： 应力圆上一点坐应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力标代表单元体某个面上的应力 应力圆上半径转应力圆上半径转过过2a a，单元体上坐标轴转过，单元体上坐标轴转过a a3)旋向对

20、应关系旋向对应关系： 应力圆上半径的应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同旋向与单元体坐标轴旋向相同2 2a a( a a , , a a )E ED( x, xy)O C D( y, yx)BAx x x xy yx xy yx y yyna a a a a a求外法线与求外法线与x轴夹角为轴夹角为a a 斜截面上斜截面上的应力的应力平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析三）应力圆的应用应力圆确定主平面、主应力应力圆确定主平面、主应力确定极值切应力及其作用面确定极值切应力及其作用面 B1 minA1 maxG1 maxG2 min2 2a a( a a , , a a )E ED( x,

21、 xy)O C D( y, yx)BAx x x xy yx xy yx y yyna a a a a a平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析例4 如图所示一简支梁，已计算出m-m截面上A点的弯曲正应力和解 lABqmmax 切应力为： ，是确定A点的主应力主平面的方位。MPa50MPa,70 0MPa5 0MPa7MPa26 MPa96 D1D02a0a-10-20(MPa)-10-50-60-70-20-30-4010(MPa)50203040-30-40-50 A 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析13-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力第十三章第十三章 应力状态

22、分析应力状态分析三向应力状态下的应力圆三向应力状态下的应力圆acbD2331123312 O11ABmax1C21B312331245451max31三向应力状态下的应力圆：三向应力状态下的应力圆：2 2三向应力状态下的最大切应力：三向应力状态下的最大切应力：22112 23223 23113 23113max 13-4 13-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力231max 2minmaxmax 当当max00、min0 0时，两者相同时，两者相同三向应力状态三向应力状态平面应力状态平面应力状态13-4 13-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力140150300 x

23、yA视视解：解：1)已知一个主应力已知一个主应力： z=90MPa。MPa150MPa140MPa300 xyyx ，2)将单元体沿将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态：方向投影，得到平面应力状态：例例5 5 试确定图示应力状态的主应力和最大切应力，并确定主平面试确定图示应力状态的主应力和最大切应力，并确定主平面和最大切应力作用面位置。和最大切应力作用面位置。xzy90300150140单位：单位：MPaMPa503902222minmax xyyxyx81522tan0 yxxy a aMPa50MPa90MPa390321 ，o0o012131 a aa a，MPa170231max x

24、zy 2y31o31o 1x 3A13-4 13-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力13-513-5 广义胡克定律广义胡克定律第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析AAaaA1. .简单应力状态下的虎克定律简单应力状态下的虎克定律( (1) ) 轴向拉伸轴向拉伸( (压缩压缩) )时时( (2) ) 扭转时扭转时单向应力状态：单向应力状态：纯剪切应力状态：纯剪切应力状态： EE 或 GG 或 dE d 13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律= + += + += + += + += + += + +331122= + += + +2. .复杂应力状态下的虎克定律复杂应力

25、状态下的虎克定律( (广义虎克定律广义虎克定律) )(1). .主应力主应力和和主应变主应变的关系的关系123312应用叠加原理应用叠加原理13E 23E 单独作用单独作用2单独作用单独作用1单独作用单独作用312 E E11 E22 21 E E33 32E 31E 沿沿 主应变主应变11沿沿 主应变主应变22沿沿 主应变主应变3333121E 22311E 11231E 123 1 2 3 1 2 3 1 2 3 13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律2. .复杂应力状态下的虎克定律复杂应力状态下的虎克定律( (广义虎克定律广义虎克定律) )(1). .主应力主应力和和主应变主应变的

26、关系的关系123312112322313312111EEE 13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律2. .复杂应力状态下的虎克定律复杂应力状态下的虎克定律( (广义虎克定律广义虎克定律) )(2). .一般应力情况一般应力情况xxyyzxzzxzyzxyyxyz线应变线应变只与只与正应力正应力有关，而与切应力无关有关，而与切应力无关切应变切应变只与只与切应力切应力有关，而与正应力无关有关，而与正应力无关1()1()1()/xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG ，13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律3. .平面应力状态下的虎克定律平面应力状态下的虎克定律xxyxyyxyxyyxyx0 zxyzz11 xxyyyxzxyxyxyEEEG 13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律xxyxyyxyxyyxyxaaa90 a190 aaaE13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律eMeM45mm100,1020645 D PeWM 45451351(0)E 1(0)E 1ePMEW 13-5 13-5 广义胡克定律广义胡克定律PWT 454590300eMFTNF664590140 10,25 10,21