数学归纳法课件_公开课

1、数学归纳法高2017届数学组 胡潇情境情境: :将若干个小立方块如将若干个小立方块如图所图所示摆放，第一堆摆放示摆放，第一堆摆放1 1个小方块，第二堆摆放个小方块，第二堆摆放9 9个小方块个小方块以此类推：以此类推：问题问题1：第：第3堆、第堆、第4堆、第堆、第5堆分别有多少个小方块？堆分别有多少个小方块？问题问题3：如何验证你的猜想是否正确呢？：如何验证你的猜想是否正确呢？问题问题2：第：第n堆有多少个小的立方块？堆有多少个小的立方块？你你能猜想出怎能猜想出怎样的等式？样的等式？1.创设创设情境、引入新课情境、引入新课多米诺骨牌游戏多米诺骨牌游戏2011年年12月月31日晚，中国小伙子刘杨以

2、日晚，中国小伙子刘杨以摆放并推到摆放并推到321197块多米诺骨牌的成绩，块多米诺骨牌的成绩，打破多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录打破多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录2.活动体验、探究原理活动体验、探究原理 游戏道具：游戏道具：折叠的折叠的扑克牌扑克牌 游戏游戏规则规则： 分组活动，每组分组活动，每组4-64-6人，每组人，每组8 8张扑克牌张扑克牌 将本组将本组所有所有折叠折叠的扑克牌竖直的扑克牌竖直摆放摆放； 摆放摆放好好后后，推倒其中，推倒其中一张一张扑克牌扑克牌 游戏判定：所有扑克牌倒下即为成功游戏判定：所有扑克牌倒下即为成功2.活动体验、探究原理活动体验、探究原理多米诺骨牌游戏多米诺骨牌游戏

3、请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题：请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题：问题问题1.第第1张扑克牌倒下张扑克牌倒下后，其他扑克牌是如后，其他扑克牌是如何倒下的？何倒下的？问题问题2.如果如果任给任给n张扑克牌张扑克牌排成一列，排成一列，要保证要保证所有扑克牌全部倒下，需要满足哪些条件？所有扑克牌全部倒下，需要满足哪些条件？2.活动体验、探究原理活动体验、探究原理总结：总结：任给任给n张扑克牌张扑克牌全部全部倒下倒下的的条件条件：（2）第第k张扑克牌张扑克牌倒下倒下导致导致第第k+1张扑克牌张扑克牌倒下倒下.（2）任意一张扑克牌倒下任意一张扑克牌倒下导致导致它的后一张扑克它的后一张扑

4、克牌倒下牌倒下（1）第）第1张张扑克牌扑克牌倒下倒下；如何用数学语言表述如何用数学语言表述“任意一张任意一张”和和“它的后一张它的后一张”？2.活动体验、探究原理活动体验、探究原理任给任给n张扑克牌全部倒下张扑克牌全部倒下 （1）第）第1张扑克牌倒下张扑克牌倒下（2）第）第k张扑克牌倒下张扑克牌倒下导致导致第第k+1张扑克牌倒下张扑克牌倒下任意正整数任意正整数n等式成立等式成立问题问题1：类比类比“任给任给n张扑克牌倒下张扑克牌倒下”的条件的条件，“任任意正整数意正整数n等式成立等式成立”需要满足哪些条件？需要满足哪些条件？猜想：猜想： 对任意正整数对任意正整数n成立成立. .23333211

5、2314nnn类比类比类比类比（1）n=1时等式成立时等式成立（2）n=k时等式成立时等式成立推出推出n=k+1时等式成立时等式成立3.类比抽象、形成概念类比抽象、形成概念问题问题3：验证两个条件是否满足，完成对猜想的证明验证两个条件是否满足，完成对猜想的证明问题问题2：要证明猜想成立，需要解决什么问题？要证明猜想成立，需要解决什么问题？即即得得 时命题成立时命题成立；证明证明:（1）当）当 时时,左边左边 右边右边,命题成立命题成立; （2）假设当）假设当 时，命题成立，时，命题成立，即即 当当 时，左边时，左边1n nk233332112314kkk1nk1nk3211 221124kk2

6、211444kkk2321114kkk3333121kk右右边边由由(1)(2)可得，可得， 对任意正整数对任意正整数n成立成立233332112314nnn证明：证明： 对任意正整数对任意正整数n成立成立. .233332112314nnn3.类比抽象、形成概念类比抽象、形成概念任给任给n张扑克牌全部倒下张扑克牌全部倒下任意正整数任意正整数n命题成立命题成立（1）第）第1张扑克牌倒下张扑克牌倒下（2）第）第k张扑克牌倒下张扑克牌倒下导致导致第第k+1张扑克牌倒下张扑克牌倒下（1）n=1时命题成立时命题成立（2）假设）假设n=k时命题成立时命题成立验证验证n=k+1时命题成立时命题成立由上述两

7、步知命题对于任意由上述两步知命题对于任意正整数正整数n成立成立数学归纳法数学归纳法n=1命命题成立题成立n = 2 命命题题成立成立n=3命命题题成立成立n=4命命题题成立成立n=5命命题题成立成立 3.类比抽象、形成概念类比抽象、形成概念反思反思1:第（第（2）步证明为什么要假设）步证明为什么要假设k成立？假设成立？假设k成成立为什么可以作为条件使用？立为什么可以作为条件使用？第（第（2）步证明的是递推关系）步证明的是递推关系任给任给n张扑克牌全部倒下张扑克牌全部倒下任意正整数任意正整数n命题成立命题成立（1）第）第1张扑克牌倒下张扑克牌倒下（2）第）第k张扑克牌倒下张扑克牌倒下导致导致第第

8、k+1张扑克牌倒下张扑克牌倒下（1）n=1时命题成立时命题成立（2）假设）假设n=k时命题成立时命题成立验证验证n=k+1时命题成立时命题成立由上述两步知命题对于任意由上述两步知命题对于任意正整数正整数n成立成立数学归纳法数学归纳法n=1命命题成立题成立n = 2 命命题题成立成立n=3命命题题成立成立n=4命命题题成立成立n=5命命题题成立成立 (2)证明证明递推关系递推关系(1)证明起点证明起点3.类比抽象、形成概念类比抽象、形成概念反思反思2:（1）用数学归纳法证明不等式）用数学归纳法证明不等式 第一步需要验证什么？第一步需要验证什么？*11111,1232nn nn（2）用数学归纳法证

9、明凸）用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数边形的对角线条数为为 ，第一步需要验证什么？，第一步需要验证什么？32n n总结：总结：利用利用数学归纳法证明时，第一步从等于几开数学归纳法证明时，第一步从等于几开始起，要根据具体问题而定始起，要根据具体问题而定4.概念辨析、深化理解概念辨析、深化理解数学归纳法数学归纳法（1）n=n0时命题成立时命题成立(kn0)由上述两步知命题对于任意正整数由上述两步知命题对于任意正整数nn0成立成立（2）假设）假设n=k时命题成立时命题成立验证验证n=k+1时命题成立时命题成立数学归纳法适用范围：数学归纳法适用范围：可用可用于证明与正整数于证明与正整数n有关有关的数学命题，的数学命题，但但并不是并不是所有与正整所有与正整数数n有关的数学命题都可以用数学归纳法证明有关的数学命题都可以用数学归纳法证明4.概念辨析、深化理解概念辨析、深化理解 对任意正整数对任意正整数n成立成立222211231216nn nn例例. 利用数学归纳法证明：利用数学归纳法证明：5.例题呈现、例题呈现、巩固巩固知识知识问题问题1. 1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？问题问题2. 2. 数学归纳法每一步的作用是什么？数学归纳法每一步的作用是什么？问题问题3. 3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问