概率统计第1,2章

1、 HaiNan University1海南大学信息学院数学系海南大学信息学院数学系 HaiNan University2u 第一章第一章 随机事件随机事件u 第四章第四章 随机变量及其分布随机变量及其分布u 第二章第二章 事件的概率事件的概率u 第三章第三章 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性u 第五章第五章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布u 第六章第六章 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布u 第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 HaiNan University3u 第八章第八章 统计量和抽样分布统计量和抽样分布u 第十一章第十一章 假设检验假设

2、检验u 第九章第九章 点估计点估计u 第十章第十章 区间估计区间估计u 第十二章第十二章 一元线性回归一元线性回归 HaiNan University4 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)曾说：曾说： “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题, 其中绝大多数其中绝大多数在实质上只是概率问题在实质上只是概率问题”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大佳赞赏：概率论大佳赞赏： 的某种估计的某种估计, 那么我们就寸步难行那么我们就寸步难行, 无所作为无所作为.“ 概率论是生活真正的领路人概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率如果没有对概率

3、上页 下页上页 下页 HaiNan University5气象气象、水文、水文、地震预报地震预报概率论的应用概率论的应用工农业生产工农业生产武器精度评估武器精度评估优化实验方案优化实验方案社会社会、经济经济、医学医学、生物生物产品抽样验收产品抽样验收生产自动化控制生产自动化控制上页 下页上页 下页 HaiNan University6 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的课程的学习，这就是的课程的学习，这就是上页 下页上页 下页 HaiNan University71.1 样本空间和随机事件样本空间和随机事件1.2 事件关系和运算事件关系和运算1 随随 机

4、机 事事 件件 第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University8在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象（必然现象）确定性现象（必然现象）“可导必连续可导必连续”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象1.1 样本空间和随机事件样本空间和随机事件确定性现象的特征确定性现象的特征: 条件完全决定结果条件完全决定结果第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及

5、其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University9在相同条件下可能出现也可能不出现的现象在相同条件下可能出现也可能不出现的现象称为称为随机现象随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察正反两面出现的情况观察正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University10结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛

6、掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数”. 实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University11实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品、次品正品、次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.

7、实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可可长可短短.随机现象的特征随机现象的特征:条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University12第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念有矛盾吗有矛盾吗?“天有不测风云天有不测风云”和和“天气可以预天气可以预报报”实现的偶然性。实现的偶然性。无无! !气象资料来探索这些偶然现象的规律性。气象资料来探索这些偶然现象的规律性。“天气可以预报天气可以预报”指的是随机现象一次指的是随机现象一次“天有不测风云天有不测风云”指的是研究者从大量的指的是研究者从

8、大量的上页 下页上页 下页 HaiNan University132. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性偶然性, 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一这种结果的出现具有一定的定的统计规律性统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题: 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明: :1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系随机现象揭示

9、了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University14第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念3. 随随 机试验机试验 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事先并且能事先 明确试验的所有可能结果明确试验的所有可能结果;3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个

10、特征的试验把具有以下三个特征的试验称为称为随机试验随机试验.上页 下页上页 下页 HaiNan University15第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念说明：说明： 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观也包括对客观事物进行的事物进行的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测测量量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条

11、件下重复地进行相同的条件下重复地进行;上页 下页上页 下页 HaiNan University16第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面，反面正面，反面 ;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能 确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.上页 下页上页 下页 HaiNan

12、 University17第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人数车人数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 上页 下页上页 下页 HaiNan University18第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念4. 样本空间样本空间问题问题 随机试验的结果随机试验的结果?定义定义 随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合 称为称为 E 的的样本空间样本空间, 记为记为 .样本

13、空间的元素样本空间的元素 , 即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果, 称为称为样本点样本点( (Sample Point), 常记为常记为 ，实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察字面观察字面,花面出现的情况花面出现的情况.1, .H T H 字字面面朝朝上上T 花花面面朝朝上上上页 下页上页 下页 HaiNan University19第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.21, 2, 3, 4, 5, 6. 实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正

14、品与次品的情况.3 , , , , , .NNNNND NDNDNNNDD DDNDND DDD .,次次品品正正品品记记DN上页 下页上页 下页 HaiNan University20第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念实例实例4 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.40,1, 2,. 实例实例5 考察某地区考察某地区 12月份的月份的 平均气温平均气温.512.t TtT . 为为平平均均温温度度其其中中t上页 下页上页 下页 HaiNan University21第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念实例实例6 从一批灯泡

15、中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.60.t t .t的的寿寿命命为为灯灯其其中中泡泡实例实例7 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数.70,1, 2,. 注：注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！试验的样本空间是根据试验的内容确定的！上页 下页上页 下页 HaiNan University22第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集的子集(或某些样本点的子集），称为或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件的随机事件, 简称简称事件事件，

16、常用，常用A、B、C 等表示等表示.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出出现现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.上页 下页上页 下页 HaiNan University23第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念基本事件基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件)事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i

17、点点, i =1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.基本事件基本事件上页 下页上页 下页 HaiNan University24第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念 : 样本空间为样本空间为 . 654321,S 事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1,3,5中的某一个中的某一个出现出现.当且仅当集合当且仅当集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时,称称事件事件A发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .上页 下页上页 下页 HaiNan Unive

18、rsity25第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念特例特例必然事件必然事件n必然事件必然事件样本空间样本空间也是其自身的一个子集也是其自身的一个子集也是一个也是一个“随机随机”事件事件每次试验中必定有每次试验中必定有中的一个样本点出现中的一个样本点出现必然发生必然发生 “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为为 必然事件。必然事件。n例例记作记作上页 下页上页 下页 HaiNan University26第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念特例特例不可能事件不可能事件空集空集也是样本空间的一个子集也是样本空间的一个子集不包含任何样本点不包含任何样

19、本点 n不可能事件不可能事件也是一个特殊的也是一个特殊的“随机随机”事件事件不可能发生不可能发生 “抛掷一颗骰子，出现的点数大于抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是是 不可能事件不可能事件n例例记作记作上页 下页上页 下页 HaiNan University27第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样本空间的子集就是随机事件样本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的必然事件不可

20、能事件是两个特殊的 随机事件随机事件上页 下页上页 下页 HaiNan University28第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念 1.2 事件的关系及运算事件的关系及运算.),( , , ,的子集是而的样本空间为设试验21 kABAEk 1. 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 ,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记记作作.BAAB 或或实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A. BA一一、随机事件

21、间的关系随机事件间的关系上页 下页上页 下页 HaiNan University29第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, 则称则称事件事件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B.2. 事件的和事件的和(并并).|. ,BeAeeBABABABA 或或，显显然然记记作作的的与与事事件件称称为为事事件件个个事事件件至至少少发发生生一一个个”也也是是一一“二二事事件件和和事事件件实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不

22、合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BA上页 下页上页 下页 HaiNan University30第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念;, , , , 至至少少发发生生一一个个即即的的和和事事件件个个事事件件为为称称nnknkAAAAAAnA21211 3. 事件的交事件的交 (积积).ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 ., , ,至至少少发发生生一一个个即即的的和和事事件件为为可可列列个个事事件件称称21211AAAAAkk .| ,BeAeeBABABABA 且且，显显然然记记作作

23、的的与与事事件件事事件件称称为为也也是是一一个个事事件件同同时时发发生生二二事事件件积积事事件件, ,推广推广上页 下页上页 下页 HaiNan University31第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念图示事件图示事件A与与B 的积事件的积事件. ABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.上页 下页上页 下页 HaiNan University32第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念

24、和事件与积事件的运算性和事件与积事件的运算性质质,AAA , A,AA ,AAA ,AA . A;, , , ,21211同时发生即的积事件个事件为称推广nnnkkAAAAAAnA., , ,21211同时发生即的积事件为可列个事件称AAAAAkk上页 下页上页 下页 HaiNan University33第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.4. 事件的互不相容事件的互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A 、B 满足满足. ABBA则称事件则称事件 A与与

25、B互不相容互不相容.上页 下页上页 下页 HaiNan University34第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互互斥斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 说明说明 当当A B= 时时,可将可将A B记为记为“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为互斥.上页 下页上页 下页 HaiNan University35第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念 若事件若事件 A 、B 满足满足.A实例实例 “骰子出现骰子出

26、现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. ABBA且 BA A6. 事件的互逆（对立）事件的互逆（对立）对立对立则称则称 A 与与B 为互逆为互逆(或对立或对立)事件事件. A 的逆记作的逆记作上页 下页上页 下页 HaiNan University36第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABAA、B 对立对立A、B 互斥互斥 . ABBA且,AB 互互 斥斥对对 立立上页 下页上页 下页 HaiNan University37第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念5. 事件的差事件

27、的差图示图示 A 与与 B 的差的差AB AB ABBA 实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度合格长度合格” 与与“直径合格直径合格”的差的差. BBA A事件事件 “A 出现而出现而 B 不出现不出现”，称为事件，称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- B(或或 )BA上页 下页上页 下页 HaiNan University38第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念二二、事件间的运算规律事件间的运算规律.,)1(BAABABBA 交换律交换律),()()2(CBACBA 结结合合律律ACABCBAACABCABACBA )(,)()()()(分

28、分配配律律3.,:(4)BABABABA 律律对偶则则有有为为事事件件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA niiniiniiniiAAAA1111, 上页 下页上页 下页 HaiNan University39第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念某射手向目标射击三次，用某射手向目标射击三次，用 表示第表示第 次击中目标次击中目标iAi试用试用 及其运算符表示下列事件：及其运算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1）三次都击中目标：）三次都击中目标： 123A A A（2 2）至少有一次击中目标：）至少有一次击中目标： 123AAA（

29、3 3）恰好有两次击中目标：）恰好有两次击中目标： 123123123A A AA A AA A A（4 4）最多击中一次：）最多击中一次： 121323A AA AA A（5 5）至少有一次没有击中目标：）至少有一次没有击中目标： 123123AAAA A A（6 6）三次都没有击中目标：）三次都没有击中目标： 123123A A AAAA例例1：复合事件的表示：复合事件的表示上页 下页上页 下页 HaiNan University40第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念1. A,B,C为同一样本空间的随机事件，为同一样本空间的随机事件，试用试用A，B，C的运算表示下列事件的运算表

30、示下列事件1） A，B，C 都不发生都不发生2） A与与B发生，发生，C不发生不发生3） A，B，C 至少有一个发生至少有一个发生4） A，B，C 中恰有二个发生中恰有二个发生5） A，B，C 中至少有二个发中至少有二个发生生6） 事件事件3）的对立事件）的对立事件ABCABCABCABCABBCACABCABCABCABC上页 下页上页 下页 HaiNan University412. 设，是两个任意的随机事件，则设，是两个任意的随机事件，则()()()()PABABABAB ()()ABAB ()()ABABBAABBB ()()()()PABABABAB解解（1997）0BAABB ()

31、B AABB ()P BB ()0P 第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University42AABBBACABDAB ABB 解解AB 选选（2001）3. 对于任意两个事件和，对于任意两个事件和，不等价的是（）不等价的是（）ABB 与与ABBA AB D第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University43第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随机事件随机事件 基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事

32、件小结小结1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系上页 下页上页 下页 HaiNan University44第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念2. 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系概率论概率论 集合论集合论样本空间（必然事件）样本空间（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 AB 子集子集AB和事件和事件 AB 并集并集AB积事件积事件 AB 交集交集AB 差事件差事件 A-B 差集差集A-B 对立事件对立事件 补集补集 AA上页 下页上页 下页 HaiNan University45第一章第一章

33、随机事件及其概念随机事件及其概念2.1 概率的概念及其公理化定义概率的概念及其公理化定义2.2 古典概型古典概型2.3 几何概型几何概型2 事件的概率事件的概率上页 下页上页 下页 HaiNan University46第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小也就是也就是事件的概率事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！

34、随机事件发生的可能性大小是人为的吗随机事件发生的可能性大小是人为的吗 ?否！否！上页 下页上页 下页 HaiNan University47第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念2.1 概率的概念及其公理化定义概率的概念及其公理化定义 1. 频率定义频率定义 AnnfAn 即即 在相同的条件下在相同的条件下, 进行了进行了n 次试验次试验, 在这在这 n 次次试验中试验中, 事件事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为事件称为事件 A 发生的发生的频数频数. 比值比值 n A / n 称为事件称为事件A 发生的发生的频率频率，并记，并记成成 fn(A) .A事件A出现的次数n试验总次

35、数n上页 下页上页 下页 HaiNan University4812,mA AA11()()mmiinniifAfA , ,1,2, ijij i jmAA性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(0)1( Afn(2)()1,()0;ff (3)第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University49第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n25124925624725

36、12622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21上页 下页上页 下页 HaiNan University50第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念从上述数据可得从上述数据

37、可得(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;上页 下页上页 下页 HaiNan University51第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K

38、 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21上页 下页上页 下页 HaiNan University52第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念频频 率率 稳稳 定定 值值 概率概率频率与概率之间的关系频率与概率之间的关系事件发生的事件发生的频繁程度频繁程度事件发生的事件发生的可能性大小可能性大小频率的性质频率的性质概率的公理化定义概率的公理化定义上页 下页上页 下页 HaiNan University53第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念2. 概率的定义概率的定义 定义定

39、义设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，是它的样本空间，0()P A 非负性非负性11( )P S 规范性规范性2 可列可加性可列可加性31212()()()PPPAAAA ( )P 函数函数 满足下列条件：满足下列条件：对于对于E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，赋予一个实数，称为事件称为事件 A 的的概率概率。( )P A记为记为 ，要求集合要求集合相容的事件，相容的事件，12,A A若是两两互不若是两两互不有有上页 下页上页 下页 HaiNan University54第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念. 0)()1( P证明证明), 2 , 1(

40、 nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P性质（公理化定义）性质（公理化定义）上页 下页上页 下页 HaiNan University55第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21n

41、AAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 上页 下页上页 下页 HaiNan University56第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为为两两个个事事件件设设证明证明BA,BA 因因为为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是上页 下页上页 下页 HaiNan University57第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念).(1)(,)5(APA PAA 则则

42、的对立事件的对立事件是是设设证明证明, 1)(, SPAASAA因因为为).(1)(APAP . 1)(,)4( APA对对于于任任一一事事件件SA , 1)()( SPAP. 1)( AP故故证明证明)()(1AAPSP 所所以以. )()(APAP 上页 下页上页 下页 HaiNan University58第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有对对于于任任意意两两事事件件加加法法公公式式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质 3 得得因此

43、得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 上页 下页上页 下页 HaiNan University59第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念推广推广 - 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 上页 下页上页 下页 HaiNan University60第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及

44、其概念解解),()()1(BPABP 由由图图示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互互斥斥与与的的值值三三种种情情况况下下求求在在下下列列和和的的概概率率分分别别为为设设事事件件BAAB1例例上页 下页上页 下页 HaiNan University61第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念,)3(ABABA 由图示得由图示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.83

45、8121 , ABA且且 ABAB上页 下页上页 下页 HaiNan University62第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念例例2, ,( )( )11( )()()()0.38(1) (), (2) (), (3) ()A B CEP AP BP CP ABP ACP BCP BAP BCP ABC 设是同一试验 的三事件，求解解 由概率的性质，可得由概率的性质，可得115(1)()( )()3824P BAP BP AB 1 12(2)()( )( )()03 33P B CP BPCP BC (3) ()( )( )( )P ABCP AP BP C ()()()()P

46、ABPBCP ACP ABC 1 1 1 11003 3 3 88 34 .上页 下页上页 下页 HaiNan University63第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念( )0.5,()0.2,( )0.4,(1)()(2)()P AP ABP BP ABP AB 已已知知求求； 例例3()()( )()0.2P ABP BAP BP AB 解解 (1) 由题意由题意()0.4,P B 又又所以所以()0.40.20.2P AB ()10.50.5,()0.2,P AP AB (2) 由于由于所以所以()( )( )()0.50.40.20.7P ABP AP BP AB 再由对

47、偶律，可得再由对偶律，可得()()1()10.70.3P ABP ABP AB上页 下页上页 下页 HaiNan University64第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念例例4 某城市中发行某城市中发行2种报纸种报纸A,B.经调查在这经调查在这2种报纸的种报纸的订户中订户中,订订 阅阅A报的有报的有45%,订阅订阅B报的有报的有35%,同时订同时订阅这阅这2种报纸的有种报纸的有10%,求求(1)只订阅只订阅A报的概率报的概率;(2)只只订阅订阅1种报纸的概率种报纸的概率., ) 1 (报订阅报订阅记事件解BBAA, )2(只订阅一种报记C,ABABAA可表示为报订阅则只故因,AA

48、B )()(ABAPBAP35. 01 . 045. 0)()(ABPAP)()(ABBAC则于是有又,ABBABABABABABA)()()(ABPBAPCP)()()()(ABPBPABPAP6 . 0) 1 . 035. 0() 1 . 045. 0(上页 下页上页 下页 HaiNan University65第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念例例5 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每种报纸的人数订每种报纸的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%,其中有其中有10%的人同时的人同时订甲订甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸没有人同时

49、订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率他至少订有一种报纸的概率.)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP于是解解:设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报%80000%103%300)(, 0)(, 1 . 0)(3 . 0)(,3 . 0)(, 3 . 0)(,BCPACPABPCPBPAP依题意有0)(ABCP故上页 下页上页 下页 HaiNan University66第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中甲、乙两人同时向目标射击一

50、次，设甲击中的概率为的概率为 0.85 ，乙击中的概率为，乙击中的概率为 0.8 两人都击两人都击中的概率为中的概率为 0.68 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 解解()()()()()P CP ABP AP BP AB 0.85 0.8 0.68 0.97 设表示甲击中目标，表示乙击中目标，设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中，表示目标被击中， 则则 上页 下页上页 下页 HaiNan University67第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念 考察甲，乙两个城市考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是知甲城出现雨天的概率是

51、0.3, 乙城出现雨天乙城出现雨天的概率是的概率是0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨天甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出现雨试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率天的概率. .解解 设设A表示表示“甲城下雨甲城下雨”，B表示表示“乙城下雨乙城下雨” 则则 ( )0.3,( )0.4,()0.52P AP BP AB ()()()()0.18P ABP AP BP AB 所以所以 上页 下页上页 下页 HaiNan University68第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念2.2 古典概型古典概型 1. 定义定义如果一个随机试验如果一个随机试验E

52、具有以下特征具有以下特征 （1）试验的样本空间中仅含有有限个样本点；）试验的样本空间中仅含有有限个样本点；（ 2）每个样本点出现的可能性相同。）每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。则称该随机试验为古典概型。首先引入的计算概率的数学模型，是在首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为通常称为古典概型古典概型.上页 下页上页 下页 HaiNan University69第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念如何理解古典概型中的等可能假设？如何理解古典概型中的等可能假设？等可能性是古典概型的两大假设之

53、一，有了这两个假设，等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的人们长期形成的“对称性经验对称性经验”作出的。作出的。 例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的

54、可能性都相等。因此，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。特征而确认的。上页 下页上页 下页 HaiNan University70第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.中样本点总

55、数中样本点总数中样本点的个数中样本点的个数 A An nm mP(A)P(A) 称此为称此为概率的古典定义概率的古典定义. 上页 下页上页 下页 HaiNan University71第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模摸球模型型(1) 无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设袋中有设袋中有M个白球和个白球和 N个黑球个黑球, 现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出m+n个球个球,求所取球恰好含求所取球恰好含m个白个白球球, ,n个黑球的概率个黑球的概率?样本点总数为样本点总数为A 所包含所包含的样本点个数为的样本点个数为解解

56、设设A=所取球恰好含所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球个黑球 nNmMCCm nMNC ()/mnmnMNMNP ACCC 所所以以上页 下页上页 下页 HaiNan University72(2) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到黑球、第次摸到黑球、第3次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解3,2次次摸摸到到红红球球第第次次摸摸到到黑黑球球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球

57、6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University73基本事件总数为基本事件总数为,101010103 A 所包含基本事件的个数为所包含基本事件的个数为, 466 310466)( AP故故.144. 0 课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,第一位第一位 不能为不能为0，求数字，求数字0出现出现3次的概率次的概率. 2o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的 概率概率.)109913619

58、:(633 p答答案案)63:(3 p答案答案第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 HaiNan University744.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法,333334种种 第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念上页 下页上页 下页 Hai

59、Nan University75第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念个个2种种 24个个2种种 22因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为432224 p.272 上页 下页上页 下页 HaiNan University76第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念(2) 每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率.解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为

60、41044ppp 789101234 .2101 上页 下页上页 下页 HaiNan University77第一章第一章 随机事件及其概念随机事件及其概念许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个人，每个人都以相个人，每个人都以相同的概率同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房人人任一天任一天 有有n个人，设每个人的个人，设每个人的生日是任一天的概率为生日是任一天的概率为1/365. 求这求这n (n 365)个人个人的生日互不相同的