推广的F-展开法在求解BBM方程精确解中的应用

1、-2021年度本科生毕业论文设计推广的F-展开法在求解BBM方程准确解中的应用院 系： 数学学院专 业： 数学与应用数学年 级： 2021级 学生： 唐荣贵 学 号： 5 导师及职称： 绍林副教授 2021年6月 2021Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateThe application ofF-e*pansion method for solving the e*act traveling wave solutions of BBM equationDepartment: College of Math

2、ematicsMajor:Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2021Students Name: Tang RongguiStudent No.:5Tutor:Li Shaolin( Associate Professor )June, 2021毕业论文设计原创性声明本人所呈交的毕业论文设计是我在导师的指导下进展的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的容外，本论文设计不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文设计的研究做出重要奉献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示意。 作者签名： 日期：毕业论文设计授权使用说明

3、本论文设计作者完全了解红河学院有关保存、使用毕业论文设计的规定，学校有权保存论文设计并向相关部门送交论文设计的电子版和纸质版。有权将论文设计用于非赢利目的的少量复制并允许论文设计进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文设计的全部或局部容。的论文设计在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期：唐荣贵 毕业论文设计辩论委员会(辩论小组)成员职称单位备注芮伟国教授红河学院数学学院组长绍林副教授红河学院数学学院何振华副教授红河学院数学学院林 羽讲师红河学院数学学院. z-摘要本文利用推广的F展开法，通过引入三个辅助方程对BBM方程进展了研究，得到方程的一些准确行波解.这些准确解的类型主

4、要包括：有理函数，三角函数，指数函数，Jacobi椭圆函数，双曲函数和Weierstrass椭圆函数六种类型.为了解这些准确解的性质，利用数学软件Mathematica对局部准确解进展图象模拟.关键词：BBM方程；推广的F展开法；辅助方程；准确解. z-ABSTRACT Using e*tend F-e*pansion method and introducing three au*iliary equations,the nonlinear partial differential BBM equation is studied,some e*act traveling wave solut

5、ions are obtained.According to function types,these e*act solutions are classified as the following si* types:the rational type,triangular type,e*ponential type,Jacobi elliptic type,hyperbolic type and Weierstrass elliptic type.Understanding the properties of the e*act traveling wave solution,the im

6、ages of some e*act solutions are simulated by the mathematical software- Mathematica.Keyword:BBMequation;E*tend F-e*pansion method;Au*iliary equation;E*act solution. z-目录第一章引言1第二章预备知识32.1 预备知识一32.2 预备知识二52.3 预备知识三6第三章 BBM方程的准确行波解83.1 结合辅助方程2.1求解BBM方程的准确行波解83.2结合辅助方程2.2求解BBM方程的准确行波解123.3 结合辅助方程2.3求解B

7、BM方程的准确行波解143.4 图象模拟16第四章小结18参考文献19致21. z-第一章 引言一个系统，如果输出与输入不成正比，则它是非线性的，在实际现象中，弹簧受力伸长产生位移，当位移较小时，力与位移成正比，力与位移的关系为线性关系，即Hooke定律，当位移很大时，Hooke定律失效，弹簧变为非线性振子；又如一个介电晶体，当输入光强不再与输出光强成正比时，都是非线性的.众所周知，自然科学或社会科学几乎所有的系统，当输入较大时，都是非线性的.因此，非线性系统远比线性系统多得多.可以说，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似.描述这些非线性系统行为的方式就是非线性微分方程，非线性方程很多，

8、如非线性常微分方程组，非线性偏微分方程组，函数方程与差分方程(组)等. 非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题.利用非线性偏微分方程描述上述问题并充分考虑到空间、时间等因素的影响，因而更能准确的反映实际.20世纪60年代以来，非线性科学得到了飞速的开展，在非线性偏微分方程中一方面研究偏微分方程解的存在性1，准确解2，稳定性3，唯一性4等；另一方面研究非线性偏微分方程的求解方法，探索解的不同构造与演化规律是非线性研究中的重要容.在此期间专家学者在求解非线性开展方程的准确

9、解方面做了大量而有效的工作，构造了很多有效的求解方法，如指数展开法5-6，Jacobi椭圆函数展开法7-8，Hirota 方法9,齐次平衡法10-11，F展开法11-13等. 但由于非线性方程的复杂性，这些方法都只适用*些类型的方程，没有一种方法能求解普遍的非线性偏微分方程，所以寻找更加行之有效的解法 ，成为人们关注的热点问题.本文将研究如下的非线性偏微分方程，即Benjamin- Bona-Mahony方程14简称为BBM方程.该方程由Benjamin，Bona和Mahony于1972年研究非线性水波时建立的,他们的研究结果说明KdV方程作为流体中长波单向传播模型方程的缺点,进而提出了另一.

10、 z-个更适宜的非线性色散介质中长波单向传播的模型方程BBM方程15.对于BBM方程的研究，据查阅文献，王明亮16通过给出Lagrange密度函数,由变分原理引出了BBM方程,解析地研究了该方程的孤立波解及其互相作用.尚亚东，钮鹏程17用行波方法研究了BBM方程,求出了方程的一些准确孤立波解.黄正洪，夏莉18利用椭圆函数积分法求出了BBM方程的椭圆余弦波解等准确解.尚亚东19研究了一类广义BBM方程的根本守恒律.在文献20，21和22的根底上，我们应用推广的F-展开法结合三个辅助方程来求解BBM方程.接下来的容里，我们作如下安排，在第二章中介绍本文需要用到的三个辅助方程及辅助方程解的情况；在第

11、三章中具体利用推广F-展开法并结合三个辅助方程对BBM方程进展求解，借助于数学软件Mathematica对方程的局部行波解的图像进展模拟；最后对我们所做的工作做了小结，并提出了一些可以进一步深入研究的方面. z-第二章 预备知识在本章中，我们介绍一下在论文中所需要的三个辅助方程20-22，2.1， 2.2，2.3其中，.2.1预备知识一文献20中，当，取不同的值时，2.1具有如下解： 1当时，2.1有双曲函数解，三角函数解和有理函数解:，,. 2.4 ，,. 2.5，,. 2.62当，时，2.1有双曲函数解，三角函数解和有理函数解:，,. 2.7，,. 2.8，,. 2.93当时，2.1有三种

12、Jacobi椭圆函数：，. 2.10. z-，. 2.11 ，. 2.12其中是Jacobi椭圆函数2.10、2.11、2.12的模，且Jacobi椭圆函数有下面的关系：，.当时，.当时，.4当时，2.1有双曲函数解，三角函数周期解和有理函数解：，. 2.13，. 2.14，. 2.155当，时，2.1有Weierstrass 椭圆函数解：，. 2.166当时，2.1具有如下解：，. 2.17，. 2.187当时，2.1具有如下有理函数和指数函数解：. z-，. 2.19，. 2.208当时，2.1具有如下指数函数、三角函数、双曲函数解：，. 2.21，. 2.22，. 2.23，. 2.24

13、，. 2.259当，时，2.1具有如下形式的解：，.2.26，. 2.27，. 2.282.2预备知识二据文献21，辅助方程2.2式的解有以下几种情况：1当，时，. 2.292当，时，. z-. 2.303当，时， ，或.2.314当，时，或. 2.325当，时，或. 2.336当，时，或. 2.347当，时，. 2.368当，时，. 2.379当，时，. 2.382.3预备知识三据文献22，辅助方程2.3的准确行波解有如下五种情况：1当，时，. 2.392当，时，. 2.403当，时，. z-. 2.414当，时，. 2.425当时，. 2.43. z-第三章 BBM方程的准确行波解3.1

14、结合辅助方程2.1求解BBM方程的准确行波解考虑如下BBM方程，3.1其中，为任意常数.引入行波变换，令，则方程3.1可以转换为，3.2)其中，为常数，表示行波的波速.假设3.2的解为， 3.3其中，且满足如下的辅助方程，3.4其中和都为待定的正整数.根据齐次平衡法，平衡3.2中最高阶非线性项与最高阶线性项，得.取定不同的，由上式即可确定相应的取值.结合预备知识一，特别地取，相应地，则3.3可化为， 3.53.4可化为. 3.6把3.5和3.6代入3.2，将3.2转化为关于的多项式，令的各次幂系数为零，得到如下的方程组：. z- 3.7求解3.7，得到如下三组解：3.8 3.9 3.101把3

15、.8代入3.5得. 3.11根据3.8和3.11，为得到BBM方程3.1的非常数解，辅助方程2.1的参数须满足如下：，为任意非零常数.由，可知，.由2.28可知，方程3.1有如下准确行波解：， 3.12其中.2把3.9代入3.5得. z-. 3.13根据3.9和3.12，为得到3.1的非常数解，辅助方程2.1的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.由2.4、2.5、2.6可知，方程3.1有如下双曲函数解，三角函数和有理数解：, 3.14其中,., 3.15其中,., 3.16其中,.根据3.9和3.13，为得到3.1的非常数解，辅助方程2.1的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.

16、由2.7、2.8、2.9可知，方程3.1有如下双曲函数解，三角函数和有理函数解：， 3.17其中，.， 3.18其中，.， 3.19其中，.根据3.9和3.13，为得到3.1的非常数解，辅助方程2.1的参数满足如下：. z-，为任意非零常数.由2.10、2.11、2.12可知，方程3.1具有三种Jacobi椭圆函数解：， 3.20其中，. ， 3.21其中，.， 3.22其中，. 当时，3.20退化为双曲函数解3.14，3.21退化为双曲函数解3.17.当时，3.20和3.22退化为常数解，3.21退化为，. 3.233把3.10代入3.5得. 3.24根据3.10和3.24，为得到3.1的非

17、常数解，辅助方程2.1的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.由2.13、2.14、2.15可知，方程3.1具有如下解：，. 3.25，. 3.26. 3.27. z-根据3.10和3.24，为得到3.1的非常数解，辅助方程2.1的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.由2.16可知，方程3.1具有Weierstrass椭圆函数解，3.28其中，. 3.2结合辅助方程2.2求解BBM方程的准确行波解假设3.2的解为， 3.29其中，且满足如下的辅助方程， 3.30其中的和都为正整数.根据齐次平衡法，平衡3.2中最高阶非线性项与最高阶线性项，得.取定不同的，由上式即可确定相应的取值.

18、结合预备知识二，特别地取，相应地，则3.29可化为， 3.313.30式可化为. 3.32把3.31和3.32代入3.2，将3.2转化为关于的多项式，令的各次幂系数为零，得到如下的方程组： 3.33. z-求解3.33，得到如下解：3.34 把3.34代入3.31得.3.35结合3.34、3.35和2.29-2.38可知，方程3.1具有如下的准确解：1当，时，.3.362当，时，.3.373当，时， ，3.38. 3.394当，时，3.40. 3.415当，时，3.42. 3.436当，时， 3.44. 3.45. z-7当，时，. 3.468当，时，. 3.479当，时，. 3.483.3

19、结合辅助方程2.3求解BBM方程的准确行波解假设3.2的解为， 3.49其中，且满足如下的辅助方程. 3.50其中和都为待定的正整数.根据齐次平衡法，平衡3.2中最高阶非线性项与最高阶线性项，得.取定不同的，由上式即可确定相应的取值.结合预备知识三，特别地取，相应地，考虑到计算时的方便，取，则3.49式化为 ， 3.513.50可化为. 3.52把3.51和3.52代入3.2，将3.2转化为关于的多项式，令的各次幂系数为零，得到如下的方程组. z-3.53求解3.51，得到如下解： 3.54把3.54代入3.2得. 3.55结合3.54、3.55和2.39-2.43可知，方程3.1具有如下的准

20、确解：1当，时，3.56其中.2当，时，. 3.573当，时，. 3.584当，时，. 3.595当时， 3.60其中. z-3.4图象模拟为理解这些准确行波解的函数性质，我们选取局部准确解，利用数学软件Mathematica对它们进展了图像的模拟.在图像模拟的过程中，我们选取如下参数的取值:图3-1 中的参数取为，,.图3-2到图3-4中的参取为，.在图3-5至图3-8中的参数取为，.图3-9中的参数取为，.图3-10中取参数为，.图3-1 的三维波形图 图3-2 的三维波形图图3-4 的三维波形图 图3-4 的三维波形图. z-图3-5的三维波形图 图3-6的三维波形图图3-7 的三维波形

21、图 图3-8的三维波形图图3-10的三维波形图 图2-11 的三维波形图. z-第四章 小结本文利用推广的F展开法，并结合以下的三个辅助方程，,得到了BBM方程的33个解.其中有11个双曲函数解，11个三角函数解，6个有理数解，3个Jacobi椭圆函数解，1个指数函数解，1个Weierstrass 椭圆函数解.通过对局部准确行波解所进展的图像模拟，以便于我们进一步了解这些行波解的函数性质.在本文中，我们认为可在以下方面进展扩展：1扩展方程所设的解3.2为.2辅助方程2.1，2.2，2.3进一步扩展为，其中，其中，其中，.据查文献，上述辅助方程的研究结果较少，因此，这是一个值得继续深入研究的问题

22、.由文中的求解过程不难发现，辅助方程的形式在求解过程中至关重要.因此，我们打算把其它方法如指数函数法，方法等用于考上述辅助方程的扩展形式上，期望得到它们的更多解，以进一步丰富F展开法的容. z-参考文献1 王*,许又军.一类P-Laplace方程正解的存在性J.数学理论与应用2007, 27(3):65-69.2 志斌，假设侠.非线性耦合微分方程组的准确解析解J.物理学报，2001，50(11):2062-2066.3从福仲,通.广义Hamilton系统的有效稳定性J.中国科学:A辑，2004，34(4):407-417.4 王定江,非线性年龄构造种群开展方程解的存在唯一性J.生物数学学报，1

23、994,9(2):39-42.5 玉堂,富志.指数函数法及其在非线性开展方程中的应用J.计算机工程与应用,2021,45(2):65-70.6 *桂琼,志斌.构造非线性开展方程孤波解的混合指数方法J.物理学报,2002,51(5):946-950.7 式适.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用J.物理学报,2001,50(11):2068-2073.8 德生假设干非线性演化方程准确求解法的研究D：理工，20049Hirota R.E*act solutions of the Korteweg-de Vries equation for multiple collision

24、s of solitonsJ.Phys Rev Lett,1971,27:1192-1194.10恩贵,鸿庆.非线性孤子方程的齐次平衡法J.物理学报,1998,47(3)：353-361.11Wang Mingliang.Homogeneous balance method and applicationsJ.Phys Lett.A,1993,213(2):279-284.12 向正,王明亮,晓燕.应用F展开法求Kdv方程的周期波解J.应用数学,2005(18):303-307.13 向正,玉晓.F展开法综述和两个广义Kdv方程的孤立波解J.工学院学报,2006(5):42-45.14 恩贵.可积系统与计算机代数M.:科学,2004:145-145.15保安,尤国伟,青.BBM方程的周期波解和孤立波解J.科技学. z-学报(自然科学版),2004,25(5):70-73.16 王明亮.BBM方程的孤立波解及其互相作用J.大学学报,1993,29 (1):7-13.17 尚亚东,钮鹏程.几个非线性开展方程的准确孤立波解J.纯粹数学与应用数学,1998,14(1):74-79.1