机械工程测试基础第一章ppt课件

1、第一章第一章 信号及其描画信号及其描画 第一节第一节 信号分类与描画信号分类与描画 一、信号的分类一、信号的分类 1信号的分类信号的分类确定性信号确定性信号随机信号随机信号 延续信号延续信号离散信号离散信号 能量信号能量信号功率信号功率信号 周期信号周期信号非周期信号非周期信号 准周期信号准周期信号 瞬变非周期瞬变非周期信号信号 平稳随机信号平稳随机信号非平稳随机信号非平稳随机信号 模拟信号模拟信号数字信号数字信号 一确定性信号与随机信号一确定性信号与随机信号 按信号的规律性对信号分类。规律性强的信号不仅能反映当前形状，按信号的规律性对信号分类。规律性强的信号不仅能反映当前形状，并且能预期其变

2、化趋势。并且能预期其变化趋势。 1 1、确定性信号、确定性信号信号可表示为一个确定的时间解析函数，可确定其任何时辰信号可表示为一个确定的时间解析函数，可确定其任何时辰 的量值的量值1周期信号周期信号按一定时间间隔而复始反复出现，无始无终的信号，可表示为：按一定时间间隔而复始反复出现，无始无终的信号，可表示为： x (t) = x (t + nT0 ) (n = 1, 2, 3,.) (11) 式中式中 T0周期周期)sin()(00tmkxtx1212 2单自在度无阻尼振动系统单自在度无阻尼振动系统 (2) (2)非周期信号非周期信号确定性信号中那些不具有周期反复性的信号。确定性信号中那些不具

3、有周期反复性的信号。 a a准周期信号准周期信号由两种以上周期信号合成，但其组成分量间无法由两种以上周期信号合成，但其组成分量间无法 找到公共周期但有离散频谱。找到公共周期但有离散频谱。 b b瞬变非周期信号瞬变非周期信号在一定时间区间内存在，且随时间增长而在一定时间区间内存在，且随时间增长而 衰减至零的信号。衰减至零的信号。 例如单质点自在度振动加上阻尼后，其质点位移例如单质点自在度振动加上阻尼后，其质点位移x (t ) x (t ) 可表示为：可表示为：)sin()(000textxat衰减振荡信号衰减振荡信号 3)2sin()3sin(ttx2 2、随机信号、随机信号一种不能准确预测其未

4、来瞬时值，也无法用数学关一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关 系描画。它具有某些统计特征，均值、方差、均系描画。它具有某些统计特征，均值、方差、均 方根等。由概率统计其过去值，来估计其未来值。方根等。由概率统计其过去值，来估计其未来值。 平稳随机信号平稳随机信号统计特征不随时间变化，具有各态遍历性，统计特征不随时间变化，具有各态遍历性， 可用前段时间的统计特征来估计其未来的统可用前段时间的统计特征来估计其未来的统 计特征。计特征。 非平稳随机信号非平稳随机信号规律性极差。规律性极差。4二延续信号与离散信号二延续信号与离散信号 延续信号延续信号数学表达式中独立变量取值是延续的信号。数学表

5、达式中独立变量取值是延续的信号。 离散信号离散信号假设独立变量取离散值，那么称为离散信号。假设独立变量取离散值，那么称为离散信号。 模拟信号模拟信号_独立变量和函数都是延续取值的信号。独立变量和函数都是延续取值的信号。 数字信号数字信号_独立变量和函数都是取离散值的信号。独立变量和函数都是取离散值的信号。延续信号延续信号x(t)t0离散信号离散信号x(t)t0A/D放大器传感器采样器被测物体模拟脉冲模拟模拟离散数字计数器数字三能量信号和功率信号三能量信号和功率信号 x (t )x (t )电压信号，加到电阻电压信号，加到电阻R R上，其瞬间功率为：上，其瞬间功率为： RtxtP)()(21/R

6、 1/R 为常值系数，瞬间功率正比于电压信号平方。为常值系数，瞬间功率正比于电压信号平方。这种信号称为功率有限信号或功率信号。这种信号称为功率有限信号或功率信号。 但它在有限区间但它在有限区间t1, t2的平均功率是有限的，即的平均功率是有限的，即假设信号在区间假设信号在区间-，+的能量是无限的，的能量是无限的，即即 21)(1212ttdttxtt2( )x t dt t 1515 1616 那么以为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号。那么以为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号。 信号的能量为信号的能量为 当当x(t)x(t)满足满足 dttx)(2d

7、ttx)(2(14) (14) 二、信号的时域描画和频域描画二、信号的时域描画和频域描画 用来描画信号变化规律的参考变量称为信号的描画域，信号表达成描用来描画信号变化规律的参考变量称为信号的描画域，信号表达成描画域画域为独立变量自变量的函数。一个信号可以用多种描画域建立不同函为独立变量自变量的函数。一个信号可以用多种描画域建立不同函数关系，数关系，来反映不同的规律。来反映不同的规律。 x(t), x(k), X(f), (), 检测希望采用能反映被测物理量本质特性的表达方式来描画信号。检测希望采用能反映被测物理量本质特性的表达方式来描画信号。时域时域以时间为独立变量来描画信号。直接观测到的信号

8、。以时间为独立变量来描画信号。直接观测到的信号。 特点：直接反映信号幅值随时间变化的关系。特点：直接反映信号幅值随时间变化的关系。 频域频域以频率为独立变量来描画信号。如视觉、听觉。以频率为独立变量来描画信号。如视觉、听觉。 特点：分解信号频率构造，呈现频率与幅值、频率与相位的关系。特点：分解信号频率构造，呈现频率与幅值、频率与相位的关系。特征域特征域以某些特征为独立变量来描画信号。以某些特征为独立变量来描画信号。 特点：复杂信号的描画，如言语信号识别。特点：复杂信号的描画，如言语信号识别。空间域空间域以以2D/3D空间为独立变量来描画信号。空间为独立变量来描画信号。 特点：信号是空间的函数，

9、如图象信号识别。特点：信号是空间的函数，如图象信号识别。7)5sin513sin31(sin4)(000 tttAtx式中式中 002T此式阐明该周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号此式阐明该周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号此式可写成此式可写成 1sin14)(ntnAtx其中其中 = n0 n = 1, 3, 5,可见，假设视可见，假设视 t t 为参变量，以为参变量，以为独立变量，那么此式即为周期方波的频为独立变量，那么此式即为周期方波的频域描画。域描画。 将该周期方波运用傅里叶级数展开，可得将该周期方波运用傅里叶级数展开，可得 x(t)=x(t+nT0)x

10、(t)=x(t+nT0)x (t ) = A 0 t T0/2x (t ) = A 0 t T0/2 -A -T0/2 t 0 -A -T0/2 t 0-T0T0周期方波周期方波-AA-T0/2T0/2t0 x (t)例：右图一个周期方波的一种时域描画方式表示为：例：右图一个周期方波的一种时域描画方式表示为： 叠加而成。叠加而成。8信号分析的根本概念信号分析的根本概念 信号由多个分量复合而成，信号分析是把信号分解为各个分量，从中找出能信号由多个分量复合而成，信号分析是把信号分解为各个分量，从中找出能代表物体形状的分量或分量组合，更明晰、准确的反映物体的形状。信号分解基代表物体形状的分量或分量组

11、合，更明晰、准确的反映物体的形状。信号分解基于函数内积的投影性质。两个矢量的内积的几何意义是分量或投影。于函数内积的投影性质。两个矢量的内积的几何意义是分量或投影。 G1 G2 =|G1|G2|cosG1-G2 G1 G2 =|G1|G2|cosG1-G2 矢量的内积表达式也可用矢量在矢量的内积表达式也可用矢量在N N维空间的坐标来表示：维空间的坐标来表示： 延续信号可视为无穷维矢量，两个同自变量的函数的内积定义为：延续信号可视为无穷维矢量，两个同自变量的函数的内积定义为： Cn Cn反映了信号反映了信号x(t)x(t)在基函数在基函数n(t)n(t)上的分量、投影或相关性。上的分量、投影或相

12、关性。 n(t) n(t)为正交为正交基函数集，信号基函数集，信号x(t)x(t)可表示为基函数的加权和。可表示为基函数的加权和。第二节周期信号与离散频谱第二节周期信号与离散频谱 9)(21121nNnnGGGGbanndtttxc)()(1)()(nnntctx一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式 在有限周期区间上，凡满足狄里赫利条件的周期信号在有限周期区间上，凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t)，均可展开成傅里，均可展开成傅里叶级数。叶级数。1000)sincos()(nnntnbtnaatx1717 220000)(1TTdttxTadttntxTaTTn2200

13、00cos)(2dttntxTbTTn220000sin)(2式中常值分量式中常值分量 余弦分量幅值余弦分量幅值 正弦分量幅值正弦分量幅值 其中其中 T0 T0周期周期 0 =2/T0 0 =2/T0 圆频率圆频率 n=1, 2, 3, n=1, 2, 3, anan、bnbn分别是分别是n0n0的两个独立的函数。的两个独立的函数。1818将式将式1717改写成改写成 1000)sincos()(nnntnbtnaatx1022022220)sincos()(nnnnnnnnntnbabtnbaabaatx100220)sincoscos(sin)(nnnnntntnbaatx100)sin(

14、)(nnntnAatx1919 式中式中 22nnnbaAnnnbatgb na n22nnba n An An、nn也分别是也分别是n0n0的两个独立的函数，的两个独立的函数， An An为为幅值、幅值、 n n为相位移，几何意义明晰，可分别作出幅为相位移，几何意义明晰，可分别作出幅频谱和相频谱。频谱和相频谱。 周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的，各频率成分是而成的，各频率成分是00的整数倍，相邻频率间隔的整数倍，相邻频率间隔 称为称为n n 次谐波。次谐波。 )sin(0nntnA基频 ,/2000T11例例 求脉冲信号的频谱求脉冲信号的频谱

15、 )()(0nTtxtxAAtx)(02/2/000tTTt付氏级数展开付氏级数展开 1000)sincos()(nnntnbtnaatx02)20)(11)(10002/2/02/2/00000000TATATAdtAdtTdttxTaTTTT2/2/02/2/0000000000coscos2cos)(2TTTTntdtnAtdtnATtdtntxTa令式中第一项令式中第一项t =-t ,t =-t ,那那么么 0cos)1(cos202/2/000000TTntdtnAtdtnATa12-T0/2tT0/20-AAx (t)2/2/02/2/0000000000sinsin2sin)(2

16、TTTTntdtnAtdtnATtdtntxTb同理，令式中第一项同理，令式中第一项t =-t ，那么，那么2/00002/2/0000000sin22sin) 1(sin) 1(2TTTntdtnATtdtnAtdtnATb0/4)cos1 (2cos142/00000nAnnAtnnTAbTn ,6,4,2,5 ,3 , 1nn幅频谱和相频谱由各次谐波的幅值和相位移得出。幅频谱和相频谱由各次谐波的幅值和相位移得出。101001sin14sin4sin)(nnnntnnAtnnAtnbtx),5 ,3 , 1( n频谱图见表频谱图见表1-11-1。脉冲信号展开为各分量之和。脉冲信号展开为各分

17、量之和。1322nnnbaAnnnbatg=bn ，=0二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式根据殴拉公式根据殴拉公式 tjtetjtetjtjsincossincos)(21costjtjeet)(2sintjtjeejt将将1-111-111-121-12两式代入两式代入1-71-7式，得式，得 1-101-10 1-111-11 1-121-12 1000)sincos()(nnntnbtnaatx)(2)(21)(000010tjntjnntjntjnnneejbeeaatx)(21)(21)(0010tjnnnntjnnnejbaejbaatx (1-13)

18、 (1-13) 令令 00ca)(21nnnjbac)(21nnnjbac(1-14a) (1-14a) (1-14b) (1-14b) (1-14c) (1-14c) 1-71-714那那么么 10)()(00ntjnntjnnececctx或或 ntjnnectx0)(),2, 1,0( n即以复指数为基函数来分解信号。将式即以复指数为基函数来分解信号。将式1-81-8代入式代入式1-14b1-14b和和1-14c1-14c得得 sin)(cos)(221)(212/2/02/2/000000dttntxjdttntxTjbacTTTTnnn2/2/2/2/00000000)(2)()(2

19、1)(1TTtjntjntjntjnTTndteejtxjdteetxTcodtetxTcTTtjnn2/2/0000)(1同理同理 dtetxTcTTtjnn2/2/0000)(1合并为合并为 dtetxTcTTtjnn2/2/0000)(1),2, 1,0( n(1-16)(1-16)15阐明：阐明：njnnInRnecjccc1-171-17 式中式中 22nInRnccc1-181-18 nRnInccarctg1-191-19 nc与与nc共轭，即共轭，即 nnccnn; ;2 2频谱图频谱图 把周期函数把周期函数 )(tx展开为付里叶级数的复指数方式后，可分别为展开为付里叶级数的复

20、指数方式后，可分别为 nInRnnccc作幅频谱图作幅频谱图作相频谱图作相频谱图作实频谱图作实频谱图作虚频谱图作虚频谱图 161. 1. 表示方法表示方法 普通情况下，普通情况下，cn cn 是复数，可以写是复数，可以写成成周期信号的频谱：离散谱、整数谐波、周期信号的频谱：离散谱、整数谐波、( (次增幅减次增幅减) )。准周期信号的频谱？。准周期信号的频谱？3 3比较比较 比较付里叶级数的两种展开方式可知比较付里叶级数的两种展开方式可知 复指数方式双边谱复指数方式双边谱 )(奇函数奇函数 三角函数方式单边谱三角函数方式单边谱 )0(偶函数偶函数 0021acAcnn4 4负频率负频率 当当n

21、n 取负值时，谐波频率取负值时，谐波频率 为为“负频率，负频率， 实践上角速度按其旋转方向可以有正有负。实践上角速度按其旋转方向可以有正有负。 一个谐波频率的实部可以看成是两个旋转一个谐波频率的实部可以看成是两个旋转 方向相反的矢量在其实轴上投影和。方向相反的矢量在其实轴上投影和。 其虚部那么为两个旋转方向相反的矢量在虚轴其虚部那么为两个旋转方向相反的矢量在虚轴 上投影之差。上投影之差。0n170A/2ReImA A0 0 - -0 0 - - 第三节第三节 瞬变非周期信号与延续频谱瞬变非周期信号与延续频谱 瞬变非周期信号，常见以下图所瞬变非周期信号，常见以下图所示示 衰减振荡函数衰减振荡函数

22、t指数衰减函数指数衰减函数x(t)0t矩形周期函数矩形周期函数x(t)0单一脉冲函数单一脉冲函数tx(t)0tx(t)0一傅里叶变换一傅里叶变换 瞬变非周期信号可以当成周期瞬变非周期信号可以当成周期T0T0为无穷大的周期信号来分析，当为无穷大的周期信号来分析，当 0T时，信号频谱中的频率间隔时，信号频谱中的频率间隔 002T无穷小。无穷小。 谱线无限接近，演化成一条延续曲线。所以非周期信号的频谱是延续的，谱线无限接近，演化成一条延续曲线。所以非周期信号的频谱是延续的，可了解将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。可了解将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。 18设

23、有一个周期信号在设有一个周期信号在 )2,2(00TT区间以傅里叶级数表示为区间以傅里叶级数表示为 tjnnnectx0)(式中式中 000/ 20/ 21( )TjntnTcx t edtT代入上式代入上式 0000/ 20/ 21( )( )TjntjntTx tx t edt eT当当 0Td2210dT0n tjtjedtetxdtx)(2)(dedtetxtxtjtj)(21()(1-25) (1-25) 称为付里叶积分称为付里叶积分 19上式原括号中积分中上式原括号中积分中 t t 为积分变量，故积分后为为积分变量，故积分后为 的函数，的函数，dtetxXtj)(21)(deXtx

24、tj)()(付里叶变换付里叶变换 1-26付里叶逆变换付里叶逆变换 1-271-27两者互称为付里叶变换对，可记为两者互称为付里叶变换对，可记为)()(Xtx把把=2f 代入式代入式1-25中，那么式中，那么式1-26和和1-27变为变为dtetxfXftj2)()(dfefXtxftj2)()(1-281-28 1-291-29 两种方式的关系为两种方式的关系为 )(2)(XfX(1-30) (1-30) 20记为记为 X () X ()式中式中 为信号为信号 的延续幅频谱，的延续幅频谱， 为信号为信号 的延续相频谱。的延续相频谱。 、 用用X(f)X(f)的虚、实部计算，方法同周期信号。的

25、虚、实部计算，方法同周期信号。)(fX)(tx)( f)(tx普通普通 是实变量是实变量f f 的复函数，可以写成的复函数，可以写成 )( fX)()()(fjefXfX1-311-31 留意：留意： 非周期信号的幅频谱非周期信号的幅频谱 )( fX和周期信号幅频谱和周期信号幅频谱 nc很类似，但两者是差别的，表如今量纲上。很类似，但两者是差别的，表如今量纲上。 )( fX的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，更确切地说的幅值，更确切地说 是频谱密度函数。是频谱密度函数。 )( fX 量纲与信号幅值的量纲一样。量纲与信号幅值的量纲一样。 n

26、c21)(fX)( f例例1-3 1-3 求矩形窗函数求矩形窗函数 w(t) w(t) 的频谱的频谱 定义：定义： 01)(tw22TTtt1-321-32 解：解： )(21)()(2222fTjfTjTTftjftjeefjdtedtetwfW根据欧拉公式根据欧拉公式 )(21)sin(fTjfTjeejfT代入上式代入上式 )(sinsinsin)(fTcTfTfTTffTfW1-331-33 式中式中 T T窗宽窗宽 上式中我们定义上式中我们定义 sinsinc图形见右图图形见右图 图图1-131-13T3 43 4-0 sinc22 函数只需实部，没有虚部。其幅频谱为函数只需实部，没

27、有虚部。其幅频谱为 )( fW)(sin)(fTcTfW1-341-34 其相位频谱视其相位频谱视 的符号而定，当的符号而定，当 为正值时相角为零，为正值时相角为零，为负值时相角为为负值时相角为 )(sinfTc)(sinfTc231-T/2T/2t0 x(t)IeRe0Re-4/T -3/T -2/T 1/T1/T ;2/T; ;3/T; ;4/Tf-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0TW(f)(f)(f)0图图1-121-12二傅立叶变换的主要性质二傅立叶变换的主要性质 信号的时域与频域描画靠傅立叶变换建立彼此一一对应的关系，即信号的时域与频域描画靠傅立叶变换建立彼此一一对应的关

28、系，即 )()(Xtx一奇偶真假性一奇偶真假性普通普通X(f)X(f)是实变量是实变量 f f 的复变函数，有欧拉公式它可以写成的复变函数，有欧拉公式它可以写成 )()()2sin2)(cos()()(2fXjIfXRdtftjfttxdtetxfXmeftj1-351-35 式中式中 ftdttxfXRe2cos)()(1-361-36 ftdttxfXIm2sin)()(1-371-37 24 x(t) x(t)为实函数为实函数 )( fX实部为偶函数实部为偶函数 ( )()eeRX fRXf)( fX虚部为奇函数虚部为奇函数 )()(fXIfXImm x(t) x(t)为实偶函数为实偶函

29、数 0)(fXIm)( fX为实偶函数，为实偶函数， )()()(fXfXRfXe x(t) x(t)为实奇函数为实奇函数 0)(fXRe)( fX为虚奇函数，为虚奇函数， ( )( )()mX fjI X fX f x(t) x(t)为虚偶函数为虚偶函数 0)(fXIm)(fX为虚偶函数，为虚偶函数， ( )( )()eX fjRX fXf x(t) x(t)为虚奇函数为虚奇函数 0)(fXRe为实奇函数，为实奇函数， )( fX)()()(fXfXIfXm了解此性质有助于估计傅立叶变换对的呼应图形性质，减少计算。了解此性质有助于估计傅立叶变换对的呼应图形性质，减少计算。 25由于余弦函数是

30、偶函数，正弦函数是奇函数，有式由于余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数，有式1-361-36和和1-371-37知知二对称性二对称性 假假设设 )()(fXtx)()(fxtX证明：由证明：由 dfefXtxftj2)()(令令 utdfefXuxfuj2)()(u u 和和f f 对换对换 dueuXfxfuj2)()(令令 u = t u = t 2()( )jftxfX t edt所以所以 )()(fxtX证毕证毕260A-T/2T/2 t0 x(t)-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0ATX(f)x(f)-f0/2fAf0/2-2/f0t2/f0-1/f01/f00Af0X(t

31、)三时间尺度改动特性三时间尺度改动特性 假假设设 )()(fXtx)0(k证明：证明： )(1)(1)()(22kfXkdktektxkdtektxktkfjftj1 1当时间尺度紧缩当时间尺度紧缩k1k1时，见图时，见图c c 其频谱的频带加宽，幅值降低。其频谱的频带加宽，幅值降低。2 2当时间尺度扩展当时间尺度扩展k1k1时，见图时，见图a a 其频谱的频带边窄，幅值增高。其频谱的频带边窄，幅值增高。3 3紧缩时间尺度，可以提高处置信号效率，但后续处置频带加宽，容易失真。紧缩时间尺度，可以提高处置信号效率，但后续处置频带加宽，容易失真。4 4扩展时间尺度，处置后续信号容易，但效率太低。扩展

32、时间尺度，处置后续信号容易，但效率太低。 270X(f)-1/2T1/2TX(f/2)/200-2/T2/T-1/T1/TAT/22ATAT2X(2f)fffAx(2t)-T/2 0 T/2-TTttt-T/4 0 T/4x(t)0AAx(t/2)扩展扩展k=0.5正常正常k=1紧缩紧缩k=2a)a)b)b)c)c)(1)(kfXkktx( (四四) ) 时移和频移特性时移和频移特性 1 1假假设设 )()(fXtx020)()(ftjefXttx1-401-40 证明：证明： dtetxfXftj2)()(令令 t = t-t0 t = t-t0 代入上式代入上式 02()0()()jf t

33、 tXfx ttedtdteettxfXftjftj0220)()(dtettxfXeftjftj202)()(0所以所以 020)()(ftjefXttx式式(1-40)(1-40)阐明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改动量阐明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改动量 与频率与频率 f f 成正比，即成正比，即 。以表。以表1111的方波相频谱为例，的方波相频谱为例，其中其中 ，那么基波频率为，那么基波频率为 相移为相移为 02 ft400Tt001Tf002()42Tf 28三次谐波的频率为三次谐波的频率为 3f0 3f0 ，那么相移，那么相移为为0032 3

34、()42Tf 2 2如如 )()(fXtx)()(020ffXetxtfj1-411-41 证明：证明： dfefXtxftj2)()(令令 0fffdfeeffXdfeffXtxtfjftjtffj00220)(20)()()(dfeffXetxftjtfj202)()(0所以所以 )()(020ffXetxtfj由欧拉公式知式由欧拉公式知式1-411-41左侧是时域信号左侧是时域信号 x(t) x(t) 与频率为与频率为 f0 f0 的正、余的正、余弦信号之和的乘积。描画了调频信号的调制过程。弦信号之和的乘积。描画了调频信号的调制过程。 29五卷积定理五卷积定理 两个函数两个函数 和和 卷

35、积定义为卷积定义为 )(1tx)(2tx1212( )( )( )()defx txtxxtd假假设设 )()()()(2211fXtxfXtx那那么么 )()()()(2121fXfXtxtx1-421-42 )()()()(2121fXfXtxtx1-431-43 证明时域卷积证明时域卷积 dtedtxxftj221)()(交换积分顺序交换积分顺序 ddtetxxftj)()(221根据时移特性根据时移特性 21212( )( )( )( )jfxX f edX f X f 证毕证毕 证明频域卷积证明频域卷积 212( )()jftXXfdedf 交换积分顺序交换积分顺序 212( )()

36、jftXXfedf d根据时移特性根据时移特性 21212( ) ( )( )( )jfXx t edx t x t 证毕证毕 30六微分和积分特性六微分和积分特性 由由 dtetxfXftj2)()(1-281-28 dfefXtxftj2)()(1-291-29 对式对式(1-29)(1-29)中中t t 进展微分进展微分 dfefXfjdttdxftj2)()2()()()2()(fXfjdttdx同理同理 )()2()(fXfjdttxdnnn1-441-44 对式对式(1-28)(1-28)中中f f 进展微分进展微分 dtetxtjdffdXftj2)()2()()()2()(tx

37、tjdffdX同理同理 )()2()(txtjdffXdnnn1-451-45 同样可证明同样可证明 )(21)(fXfjdttxt1-461-46 312/T32三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱一矩形窗函数的频谱一矩形窗函数的频谱从上例从上例1313中看出：中看出：1 1一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率，称为走漏。一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率，称为走漏。2 2在时域中截取信号一段记录相当在时域中截取信号一段记录相当 x(t)w(t) W(f) x(t)w(t) W(f)* *X(f) X(f) 3 3在在 f= 0 f= 0 1/T

38、 1/T 之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。4 4主瓣宽度为主瓣宽度为2/T2/T与时域窗宽度与时域窗宽度 T T 成反比，成反比，T T 截取时间长，主瓣宽度小，截取时间长，主瓣宽度小， 减小低频端的影响。高频走漏部分衰减加快，减少了混叠景象的影响。减小低频端的影响。高频走漏部分衰减加快，减少了混叠景象的影响。1-T/2T/2t0 x(t)IeRe0Re-4/T -3/T -2/T 1/T1/T;2/T; 3/T; ;4/Tf-3/T-2/Tf3/T-1/T 1/T0TW(f)(f(f) )0二二 函数及其频谱函数及其频谱 1

39、 1函数的定函数的定义义 在在 时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲 或三角脉冲、双边指数脉冲、钟或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等，其面积为形脉冲等，其面积为1 1。 )(tS当当 时，有时，有 00lim( )( )Stt0)(t00tt1-471-47 从面积通常称其为从面积通常称其为函数的强度函数的强度的角度看的角度看0( )lim( )1t dtS t dt1-481-48 矩形脉冲矩形脉冲-/2 0/21/S(t)t01 ( t ( t) )t函数函数332 2函数的采样性质函数的采样性质由于由于(t)(t)函数的性函数的性质质 )() 0()()(tfttf强度为强度为

40、f (0) f (0) 的的(t)(t)函函数数 从数值上看从数值上看 )()0(tf从面积强度看那么为从面积强度看那么为 f (0)f (0)，即即 ( ) ( )(0) ( )(0)( )(0)f tt dtft dtft dtf(1-49)(1-49)同理，对于有延时同理，对于有延时t0的的函数函数(t-t0)，它与，它与f (t)乘积只需在乘积只需在t= t0时辰不等于零时辰不等于零即即 )()()()(000tttftttf积分积分 )()()()()()()(000000tfdttttfdttttfdttttf(1-50) (1-50) 从式从式1-49和和1-50阐明阐明1恣意函

41、数恣意函数f (t)与与(t -t0)的乘积是一个强度为的乘积是一个强度为f (t0)的的函数函数(t -t0)。2该乘积在有限区间的积分是该乘积在有限区间的积分是f (t)在在t -t0的值的值f (t0)3此性质描画了延续信号的采样过程，即离散化过程。此性质描画了延续信号的采样过程，即离散化过程。 343 3函数与其它函数的卷函数与其它函数的卷积积 函数与函数与x(t)x(t)的卷积的卷积为为 dtxttx)()()()(由于由于函数为偶函数函数为偶函数 dtxttx)()()()(所以所以 )()()(txttx1-501-50 同理当同理当函数为函数为(t (t t0)t0)时时 dt

42、txtttx)()()()(00dttxtttx)()()()(00)()()(00ttxtttx可见可见, ,函数函数x(t)x(t)与与 函数的卷积结果就是发生在函数的卷积结果就是发生在 函数坐标位置上函数坐标位置上( (坐标原点坐标原点) )简单将函数重构图，简单将函数重构图，即描画了函数沿坐标轴的挪动。即描画了函数沿坐标轴的挪动。 -t0 0 t0 tx(t)*(t+t0)x(t)*(t-t0)x(t)*(tt0)0tx(t)t-t0 0 t0(t+t(t+t0)0) ( t - ( t -t0)t0)(t(tt0)t0)A0tx(t)*(t)0tAx(t)01t(t)(t)354 4

43、(t )(t )的频的频谱谱 1)()(02edtetfftj(1-53) (1-53) 其逆变换为其逆变换为 dfetftj21)(1-54) (1-54) f01(f(f) )t01(t)(t)函数具有无限广大频谱，而且是等强度的，也称为函数具有无限广大频谱，而且是等强度的，也称为“均匀谱。根据付里均匀谱。根据付里叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以下付里叶变换对叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以下付里叶变换对 时时 域域 频频 域域 (t ) 1 单位瞬时脉冲单位瞬时脉冲 均匀频谱密度函数均匀频谱密度函数 1 (f) 幅值为幅值为1的直流量的直流量 在在f = 0处

44、有脉冲谱线处有脉冲谱线 (t -t0) e-j2ft0 函数时移函数时移t0 (各频率成分分别相移各频率成分分别相移-j2ft0) ej2f0 t (f -f0) (复数指数函数复数指数函数) 将将f频移到频移到f036(1-55)(1-55)三三 正、余弦函数的频谱密度函数正、余弦函数的频谱密度函数 根据欧拉公式可推出根据欧拉公式可推出 )(22sin00220tfjtfjeejtf)(212cos00220tfjtfjeetf用式用式(1-55)(1-55)付里叶变换对付里叶变换对 )()(22sin000ffffjtf)()(212cos000fffftf(1-56) (1-56) (1

45、-57) (1-57) 看出：正、余弦函数是把频域中两个看出：正、余弦函数是把频域中两个函数向不同频移后的差或和函数向不同频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。 1/21/2-f0f0-f0f0ReX(f)-1/21/200ffImX(f)x(t)=cos2f0tx(t)=sin2f0t00tt37四周期单位脉冲序列的频谱四周期单位脉冲序列的频谱此序列常称为梳状函数，并用此序列常称为梳状函数，并用comb(t,Ts)comb(t,Ts)表示表示 ( ,)()defssncomb t TtnT1-581-58 式中式中 Ts Ts周期周期 n = n

46、=1, 1, 2, 2, 因此，此函数是周期函数。因此，此函数是周期函数。 表示为复指数函数方式表示为复指数函数方式ktkfjksseCTtcomb2),(1-591-59 式中式中 fs=1/Tsfs=1/Ts，系数，系数CkCk为为 222),(1sssTTtkfjsskdteTtcombTC由于在由于在 区间内，式区间内，式1-581-58中只需一个中只需一个 函数函数(t )(t )，且且 ),(22ssTT2001|sjk fttee所以所以 2221),(1sssTTstkfjsskTdteTtcombTC38式式1-591-59变成变成 21( ,)sjkf tskscomb t

47、 TeT根据式根据式1-551-55 tkfjse2)(skff 可得可得comb(t,Ts)comb(t,Ts)函数频谱函数频谱comb (f , fs)comb (f , fs)也是梳状函也是梳状函数数 kksssssTkfTkffTffcomb)(1)(1),(1-60) (1-60) 由图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。由图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。时域周期为时域周期为Ts，脉冲强度为，脉冲强度为1，频谱周期为，频谱周期为1/Ts，强度为，强度为1/Ts。39-3/Ts -1/Ts 0 1/Ts 3/Ts-2Ts -Ts 0 Ts 2Tsft1/T

48、s1Comb(f,fs)Comb(t,Ts)图图1-20 1-20 周期单位脉冲序列及其频谱周期单位脉冲序列及其频谱()()幅幅频谱频谱70705050303000A()相相频谱频谱70705050303000A-Atx(t)T0/2-T0/2T0T0/3T0/5T0/74A/ 4A/34A/54A/740 狄里赫利条件：狄里赫利条件：1 1在一个周期内只需有限个不延续点。在一个周期内只需有限个不延续点。 2 2在一个周期内只需有限个极大值和极小值。在一个周期内只需有限个极大值和极小值。 存在22)(TTdttf341证明证明(t)函数为偶函数函数为偶函数 由由( ) ( )(0) ( )(0

49、)( )(0)x tt dtxt dtxt dtx(A)令令 t = -t 代入代入() ( )( ) () ()t x t dtt xt dt( ) () ( )t xt d t ( ) () ( )t xt d t() ( ) ( )(0)t x t d tx(B)比较比较(A)和和(B)两式，有两式，有() ( )xtt dt( )()tt42第四节第四节 信号数字化出现的问题信号数字化出现的问题 第五章第五章 第二节第二节 一、离散傅里叶变换一、离散傅里叶变换 DFTDFT 数字信号处置器数字信号处置器 DSP DSP 中，信号的描画域是离散的，时域与频域之间中，信号的描画域是离散的，

50、时域与频域之间的转换需采用的转换需采用 DFT DFT 。DSP DSP 中的数据是对信号采样的有限数字序列。中的数据是对信号采样的有限数字序列。 在在 DSP DSP 中频域也是离散的，只取频率间隔中频域也是离散的，只取频率间隔ff的整数倍，即的整数倍，即 f=kf f=kf 。其中频。其中频率间隔率间隔ff为窗口时间宽度为窗口时间宽度T T的倒数。的倒数。 f=1/T=1/TsN f=1/T=1/TsN ， fTs=1/N -j2fnTs = -j2kn/N fTs=1/N -j2fnTs = -j2kn/Nn n、k k分别为时间序列号和频率序列的序号。在作分别为时间序列号和频率序列的序

51、号。在作 DFT DFT 时，不论时间单位时，不论时间单位TsTs和频率和频率单位单位ff为何值，都对应一个数组地址，故为何值，都对应一个数组地址，故 DFT DFT 变换对如下。变换对如下。1010)2exp()()()()()()()()(NnsscNnsscfnTjnTxfXnTtnTxtcombtwtxtx经傅经傅里叶里叶变换变换 1010)/2exp()()()/2exp()(1)(NnNnNknjnxkXNknjkXNnx由由X(k)X(k)可求出频谱。可求出频谱。 留意：在频谱图中的单位是频率间隔留意：在频谱图中的单位是频率间隔ff。)(exp(|)(|)(kjkXkX运用运用

52、DFT DFT 需思索以下几个问题：需思索以下几个问题：1. T/Ts = fs/f = N 1. T/Ts = fs/f = N Ts Ts小，那么时间分辨率高；小，那么时间分辨率高；ff小，那么频率分辨率高；小，那么频率分辨率高；N N大，那么计算量大；大，那么计算量大； 须综合思索分辨率与计算量的矛盾。须综合思索分辨率与计算量的矛盾。2. 2. 瞬变信号：添加窗口尺寸，有利于减小误差。瞬变信号：添加窗口尺寸，有利于减小误差。3. 3. 周期信号：窗口尺寸应采用整数信号周期。周期信号：窗口尺寸应采用整数信号周期。4. 4. 以有限以有限N N项和替代无限项和，产生项和替代无限项和，产生“截断误差。截断误差。二、时域采样、混叠和采样定理二、时域采样、混叠和采样定理),()(sTtcombtxksskssskffXTkfffXTffcombfX)(1)(1),()(（ 由付氏变换的卷积定理可知：经过时域采样的信号等效于频域信号与梳由付氏变换的卷积定