几何辅助线的添加方法

1、学生：学生： 科目：科目：数学数学 第第 阶段第阶段第 次课次课 教师：教师： 谭前富谭前富 知识框架知识框架 一一添辅助线有二种情况：添辅助线有二种情况： 1 1 按定义添辅助线：按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们如证明二直线垂直可延长使它们, ,相交后证交角为相交后证交角为 9090； 证线段倍半关系可倍； 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2 2 按基本图形添辅助线：按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫

2、做基本图形，添辅助把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1 1）平行线是个基本图形：）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线直线 （2 2）等腰三角形是个简单的基本图形：）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何

3、问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3 3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段中的重要线段的基本图形。的基本

4、图形。 （4 4）直角三角形斜边上中线基本图形）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。线基本图形。 （5 5）三角形中位线基本图形）三角形中位线基本图形 课课 题题 几何辅助线的添加方法几何辅助线的添加方法 教学内容教学内容 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中几何问题中出现多个中点时往往添加

5、三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

6、图形。 （6 6）全等三角形：）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方

7、法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7 7）相似三角形：）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为 1 1）可添加平行线得平行线型相）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。目中往往有多种浅线方法。 （8 8

8、）特殊角直角三角形）特殊角直角三角形 当出现当出现 3030，4545，6060，135135，150150 度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用 4545角直角三角形三边比为角直角三角形三边比为 1 1：1 1：2 2；3030 度角直角三角形三边比为度角直角三角形三边比为 1 1：2 2：3 3 进行进行证明证明 （9 9）半圆上的圆周角）半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点，添出现直径与半圆上的点，添 9090 度的圆周角；出现度的圆周角；出现 9090 度的圆周角则添它所对度的圆周角则添它所对弦弦-直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形直径；平

9、面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。泥，石灰，木等组成一样。 【基本图形的辅助线的画法基本图形的辅助线的画法】 一：中点、中位线，延线，平行线。一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的

10、。造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180180度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等， 有时边角互相配合， 然后把图形旋转一定的角度，如遇条件中有多边形的两边相等或两

11、角相等， 有时边角互相配合， 然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。可分“有心”和“无心”旋转两种。 四四: :造角、平、相似，和、差、积、商见。造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角

12、等于已知角；第二，是把三在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作角形中的某一线段进行平移。故作歌诀： “造角、平、相似，和差积商见。 ”歌诀： “造角、平、相似，和差积商见。 ” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：两圆若相交，连心公共弦。五：两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六：两圆相切、离，连心，公切线。六：两圆相切、离，连心

13、，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切） ，或相离（内含、外离） ，那么，辅助线往往是连心线或如条件中出现两圆相切（外切，内切） ，或相离（内含、外离） ，那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。内外公切线。 七：切线连直径，直角与半圆。七：切线连直径，直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条

14、件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。 如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。 如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。

15、 如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。之，亦成立。 有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 九：面积找底高，多边变三边九：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积） ，往往作底或高为辅如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积） ，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底

16、或等高是思考的关键。助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边” 。数为“面积找底高，多边变三边” 。 三角形中作辅助线的常用方法举例三角形中作辅助线的常用方法举例 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延

17、长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明等关系证明，如：，如： 例例 1 1：已知如：已知如图图 1 1- -1 1：D D、E E 为为ABCABC 内两点内两点, ,求证求证:AB:ABACACBDBDDEDECE.CE. 证明： （法一）证明： （法一）将将 DEDE 两边延长分别交两边延长分别交 ABAB、AC AC 于于 M M、N N， 在在AMNAMN 中，中，AMAMANAN MDMDDEDENE;NE;（1 1） 在在BDMBDM 中，中，MBMBMDM

18、DBDBD； （2 2） 在在CENCEN 中，中，CNCNNENECECE； （3 3） 由（由（1 1）（）（2 2）（）（3 3）得：）得： AMAMANANMBMBMDMDCNCNNENEMDMDDEDENENEBDBDCECE ABABACACBDBDDEDEEC EC （法二：（法二：）如图如图 1 1- -2 2， 延延长长 BDBD 交交 ACAC 于于 F F，延长，延长 CECE 交交 BFBF 于于 G G， 在在ABFABF 和和GFCGFC 和和GDEGDE 中有：中有： ABABAFAF BDBDDGDGGFGF （三角形两边之和大于第三边） （三角形两边之和大于第

19、三边） （1 1） GFGFFCFCGEGECECE（同上）（同上）（2 2） DGDGGEGEDEDE（同上）（同上）（3 3） 由（由（1 1）（）（2 2）（）（3 3）得：）得： ABABAFAFGFGFFCFCDGDGGEGEBDBDDGDGGFGFGEGECECEDEDE ABABACACBDBDDEDEECEC。 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个

20、三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图例如：如图 2 2- -1 1：已知：已知 D D 为为ABCABC 内的任一点，求证：内的任一点，求证：BDCBDCBACBAC。 分析分析：因为：因为BDCBDC 与与BACBAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图辅助线构造新的三角形，使辅助线构造新的三角形，使BDCBDC 处于在外角的位置，处于在外角的位置，BACBAC 处于在内角的位置；处于在内角的位

21、置； 证法一证法一：延长：延长 BDBD 交交 ACAC 于点于点 E E，这时，这时BDCBDC 是是EDCEDC 的外角，的外角， BDCBDCDECDEC，同理，同理DECDECBACBAC，BDCBDCBACBAC 证法二：连接证法二：连接 ADAD，并延长交，并延长交 BCBC 于于 F F BDFBDF 是是ABDABD 的外角的外角 BDFBDFBADBAD，同理，同理，CDFCDFCADCAD BDFBDFCDFCDFBADBADCADCAD 即：即：BDCBDCBACBAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这注意：利用三角

22、形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。 三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：角形，如： 例如：如图例如：如图 3 3- -1 1：已知：已知 ADAD 为为ABCABC 的中线，且的中线，且1 12,2,3 34,4,求证：求证：BEBECFCFEFEF。 分析：要证分析：要证 BEBECFCFEF EF ，可利用三角形三边，可利用三角形三边关系定理证明，须把关系定理证明，须把 BEB

23、E，CFCF，EFEF 移到同一个三角形中，而由已知移到同一个三角形中，而由已知1 12 2，3 34 4，可在角的两边截取，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把ENEN，FNFN，EFEF移到同一个三角形移到同一个三角形中。中。 证明：在证明：在 DADA 上截取上截取 DNDNDBDB，连接，连接 NENE，NFNF，则，则 DNDNDCDC， 在在DBEDBE 和和DNEDNE 中：中： )()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBDN DBEDBEDNE DNE （SASSAS） BEBENENE（全等三角形对应边相等）

24、（全等三角形对应边相等） 同理可得：同理可得：CFCFNFNF 在在EFNEFN 中中 ENENFNFNEFEF（三角形两边之和大于第三边）（三角形两边之和大于第三边） BEBECFCFEFEF。 注意：当证题有角平分注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。三角形的性质得到对应元素相等。 四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 例如：如图例如：如图 4 4- -

25、1 1：ADAD 为为ABCABC 的中线，且的中线，且1 12 2，3 34 4，求证：，求证：BEBECFCFEFEF ABCDEFN13图1234证明证明：延长：延长 EDED 至至 M M，使，使 DM=DEDM=DE，连接，连接 CMCM，MFMF。在。在BDEBDE 和和CDMCDM 中，中， )()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBD BDEBDECDMCDM （SASSAS） 又又1 12 2，3 34 4 （已知）（已知） 1 12 23 34 4180180（平角的定义）（平角的定义） 3 32=902=90，即：，即：EDFEDF9090 FDM

26、FDMEDF EDF 9090 在在EDFEDF 和和MDFMDF 中中 )()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDED EDFEDFMDF MDF （SASSAS） EFEFMF MF （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在CMFCMF 中，中，CFCFCMCMMFMF（三角形两边之和大于第三边）（三角形两边之和大于第三边） BEBECFCFEFEF 注：上题也可加倍注：上题也可加倍 FDFD，证法同上。，证法同上。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此

27、线段，构造全等三角形，使题中分散的分散的条件集中。条件集中。 五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图例如：如图 5 5- -1 1：ADAD 为为 ABCABC 的中线，求证：的中线，求证：ABABACAC2AD2AD。 分析：要证分析：要证 ABABACAC2AD2AD，由图想到：，由图想到： ABABBDBDAD,ACAD,ACCDCDADAD，所以有，所以有 ABABACAC BDBDCDCDADADADAD2AD2AD，左边比要证结论多，左边比要证结论多 BDBDCDCD，故不能直接证出此题，故不能直接证出此

28、题，而由而由 2AD2AD 想到要构造想到要构造 2AD2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。去。 证明证明：延长延长 ADAD 至至 E E，使，使 DE=ADDE=AD，连接，连接 BEBE，则，则 AEAE2AD2AD ADAD 为为ABCABC 的中线的中线 （已知）（已知） BDBDCD CD （中线定义）（中线定义） 在在ACDACD 和和EBDEBD 中中 ABCDE15图14图ABCDEFM1234 )()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBD ACDACDEBD EBD （SASSAS）

29、 BEBECACA（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在ABEABE 中有：中有： ABABBEBEAEAE （三角形两边之和大于第三边）（三角形两边之和大于第三边） ABABACAC2AD2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形）（常延长中线加倍，构造全等三角形） 练习：已知练习：已知ABCABC，ADAD 是是 BCBC 边上的中线，分别以边上的中线，分别以 ABAB 边、边、ACAC 边为直角边各向形外作等腰直角三角边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图形，如图 5 5- -2 2， 求证求证 EFEF2AD2AD。 六、六、截长补短法作辅助线。截长补短法作辅助线。

30、例如：已知如图例如：已知如图 6 6- -1 1：在：在ABCABC 中，中，ABABACAC，1 12 2，P P 为为 ADAD 上任一点。求证：上任一点。求证：ABABACACPBPBPCPC。 分析：要证：分析：要证：ABABACACPBPBPCPC，想到利用三角形三边关系，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边三边，从而想到构造第三边 ABABACAC，故可在，故可在 ABAB 上截取上截取 ANAN等于等于 ACAC，得，得 ABABACACBNBN， 再连接再连接 PNPN

31、，则，则 PCPCPNPN，又在，又在PNBPNB 中，中，PBPBPNPNBNBN，即：，即：ABABACACPBPBPCPC。 证明： （截长法）证明： （截长法） 在在 ABAB 上截取上截取 ANANACAC 连接连接 PNPN , , 在在APNAPN 和和APCAPC 中中 )()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACAN APNAPNAPC APC （SASSAS） PCPCPN PN （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在BPNBPN 中，有中，有 PBPBPNPNBNBN （三角形两边之差小于第三边）（三角形两边之差小于第三边） BPBPPCPCABAB

32、ACAC 证明： （补短法）证明： （补短法） 延长延长 ACAC 至至 M M，使，使 AMAMABAB，连接，连接 PMPM， 在在ABPABP 和和AMPAMP 中中 )()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMAB ABCDEF25图ABCDNMP16图12 ABPABPAMP AMP （SASSAS） PBPBPM PM （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 又在又在PCMPCM 中有：中有：CMCMPMPMPC(PC(三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边) ) ABABACACPBPBPCPC。 七、延长已知边构造三角形：七、延长已知边构造三角形： 例

33、如：如图例如：如图 7 7- -1 1：已知：已知 ACACBDBD，ADADACAC 于于 A A ，BCBCBDBD 于于 B B， 求证：求证：ADADBCBC 分析：欲证分析：欲证 ADADBCBC，先证分别含有，先证分别含有 ADAD，BCBC 的三角形全等，有几种方案：的三角形全等，有几种方案：ADCADC 与与BCDBCD，AODAOD 与与BOCBOC，ABDABD 与与BACBAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。且让此角作为两个三角形的公共角。 证

34、明证明：分别延长：分别延长 DADA，CBCB，它们的延长交于，它们的延长交于 E E 点，点， ADADAC BCAC BCB BD D （已知）（已知） CAECAEDBE DBE 9090 （垂直的定义）（垂直的定义） 在在DBEDBE 与与CAECAE 中中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE DBEDBECAE CAE （AASAAS） EDEDEC EBEC EBEA EA （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） EDEDEAEAECECEB EB 即：即：ADADBCBC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）（当条件不足时，

35、可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 八八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图例如：如图 8 8- -1 1：ABABCDCD，ADADBC BC 求证：求证：A AB=CDB=CD。 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明证明：连接：连接 ACAC（或（或 BDBD） ABABCD ADCD ADBC BC （已知）（已知） 1 12 2，3 34 4 （两直线平行，内错角

36、相等）（两直线平行，内错角相等） 在在ABCABC 与与CDACDA 中中 ABCD18图1234ABCDE17 图O )(43)()(21已证公共边已证CAAC ABCABCCDA CDA （ASAASA） ABABCDCD（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图例如：如图 9 9- -1 1：在：在 RtRtABCABC 中，中，A AB BACAC，BACBAC9090，1 12 2，CECEBDBD 的延长于的延长于 E E 。求证：。求证：BDBD2CE 2CE

37、分析：要证分析：要证 BDBD2CE2CE，想到要构造线段，想到要构造线段 2CE2CE，同时，同时 CECE 与与ABCABC 的平分线垂直，的平分线垂直，想到要将其延长。想到要将其延长。 证明证明：分别延长：分别延长 BABA，CECE 交于点交于点 F F。 BEBECF CF （已知）（已知） BEFBEFBECBEC9090 （垂直的定义）（垂直的定义） 在在BEFBEF 与与BECBEC 中，中， )()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE BEFBEFBECBEC（ASAASA）CE=FE=CE=FE=21CF CF （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） BA

38、C=90BAC=90 BEBECF CF （已知）（已知） BACBACCAFCAF9090 1 1BDABDA90901 1BFCBFC9090 BDABDABFCBFC 在在ABDABD 与与ACFACF 中中 )()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABDABDACFACF （AASAAS）BDBDCF CF （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） BDBD2CE2CE 十、连接已知点，构造全等三角形。十、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图例如：已知：如图 1010- -1 1；ACAC、BDBD 相交于相交于 O O 点，点，且且 ABABDCD

39、C，ACACBDBD，求证：，求证：A AD D。 分析：要证分析：要证A AD D，可证它们所在的三角形，可证它们所在的三角形ABOABO 和和DCODCO 全等，而只有全等，而只有 ABABDCDC 和对顶角两个条和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 ABABDCDC，ACACBDBD，若连接，若连接19图DCBAEF12BCBC，则，则ABCABC 和和DCBDCB 全等，所以，证得全等，所以，证得A AD D。 证明：证明：连接连接 BCBC，在，在ABCABC 和和DCBDCB 中中 )()

40、()(公共边已知已知CBBCDBACDCAB ABCABCDCBDCB ( (SSSSSS) ) A AD D ( (全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等) ) 十一、取线段十一、取线段中点构造全等三有形。中点构造全等三有形。 例如：如图例如：如图 1111- -1 1：ABABDCDC，A AD D 求证：求证：ABCABCDCBDCB。 分析：由分析：由 ABABDCDC，A AD D，想到如取，想到如取 ADAD 的中点的中点 N N，连接，连接 NBNB，NCNC，再由，再由 SASSAS公理有公理有ABNABNDCNDCN，故，故 BNBNCNCN，ABNABNDCNDCN。下面

41、只需证。下面只需证NBCNBCNCBNCB，再取，再取 BCBC 的中点的中点 M M，连接，连接 MNMN，则由，则由 SSSSSS 公理有公理有NBMNBMNCMNCM，所以，所以NBCNBCNCBNCB。问题得证。问题得证。 证明：证明：取取 ADAD，BCBC 的中点的中点 N N、M M，连接，连接 NBNB，NMNM，NCNC。则。则 AN=DNAN=DN，BM=CMBM=CM ， 在 ， 在 ABNABN和 和 DCNDCN中中 )()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN ABNABNDCN DCN （SASSAS） ABNABNDCN NBDCN NBNC NC （全

42、等三角形对应边、角相等）（全等三角形对应边、角相等） 在在NBMNBM 与与NCMNCM 中中 )()()(公共边辅助线的作法已证NMNMCMBMNCNB NMBNMBNCMNCM，( (SSSSSS) ) NBCNBCNCB NCB （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）NBCNBCABN ABN NCBNCBDCN DCN 即即ABCABCDCBDCB。 巧求三角形中线段的比值巧求三角形中线段的比值 例例 1. 1. 如图如图 1 1，在，在ABCABC 中，中，BDBD：DCDC1 1：3 3，AEAE：EDED2 2：3 3，求，求 AFAF：FCFC。 解：过点解：过点 D

43、 D 作作 DG/ACDG/AC，交，交 BFBF 于点于点 G G 所以所以 DGDG：FCFCBDBD：BCBC 因为因为 BDBD：DCDC1 1：3 3 所以所以 BDBD：BCBC1 1：4 4 DCBA110图O111图DCBAMN即即 DGDG：FCFC1 1：4 4，FCFC4DG4DG 因为因为 DGDG：AFAFDEDE：AE AE 又因为又因为 AEAE：EDED2 2：3 3 所以所以 DGDG：AFAF3 3：2 2 即即 所以所以 AFAF：FCFC：4DG4DG1 1：6 6 例例 2. 2. 如图如图 2 2，BCBCCDCD，AFAFFCFC，求，求 EFEF

44、：FDFD 解：过点解：过点 C C 作作 CG/DECG/DE 交交 ABAB 于点于点 G G，则有，则有 EFEF：GCGCAFAF：ACAC 因为因为 AFAFFC FC 所以所以 AFAF：ACAC1 1：2 2 即即 EFEF：GCGC1 1：2 2， 因为因为 CGCG：DEDEBCBC：BD BD 又因为又因为 BCBCCDCD 所以所以 BCBC：BDBD1 1：2 CG2 CG：DEDE1 1：2 2 即即 DEDE2GC2GC 因为因为 FDFDEDEDEFEF 所以所以 EFEF：FDFD 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且小结

45、：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！ 初中几何辅助线常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把助线。辅助线，如何添？把握定握定理和概念。理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称 以称 以后关系现。后关系现。 角平分线平行

46、线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及和差及倍半，延长缩短可试验。倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式线段和差不等式，移到同一三角去。，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和梯形问题巧转换，变为和。 平移腰，移对角，两腰延长作出高

47、。如果出现腰中点，细心连上中位线平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆圆形形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想

48、证明是切线，半径垂线仔细辨。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点

49、公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。虚心勤学加苦练，成绩上升

50、成直线。 二二 由由角平分线角平分线想到的辅助线想到的辅助线 口诀：口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：角平分线具有两条性质：a a、对称性；、对称性；b b、角平分线上的点到角两边的距离相等。、角平分线上的点到角两边的距离相等。对对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线；从

51、角平分线上一点向两边作垂线； 利用角平分线，构造对称图形利用角平分线，构造对称图形（如（如作法是在一侧的长边上截取短边作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线与角有关的辅助线 （一） 、截取构全等（一） 、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，

52、希望同学们能掌握相关的几何规一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图如图 1 1- -1 1，AOC=AOC=BOCBOC，如取，如取 OE=OFOE=OF，并连接，并连接 DEDE、DFDF，则有，则有OEDOEDOFDOFD，从而，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。为我们证明线段、角相等创造了条件。 （1 1） 如图如图 1 1- -2 2，AB/CDAB/CD，BEB

53、E 平分平分BCDBCD，CECE 平分平分BCDBCD， 点， 点 E E 在在 ADAD 上， 求证：上， 求证： BC=AB+CDBC=AB+CD。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论

54、延长还是截取明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证： 在此题中可在长线段简证： 在此题中可在长线段 BCBC 上截取上截取 BF=ABBF=AB， 再证明， 再证明 CF=CDCF=CD， 从而达到证明的目的。， 从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以这

55、里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长延长 BEBE 与与 CDCD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。的延长线交于一点来证明。自已试一试。 （2 2） 已知：如图已知：如图 1 1- -3 3，AB=2ACAB=2AC，BAD=BAD=CADCAD，DA=DBDA=DB，求证，求证 DCDCACAC 分析：此题分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。其它问题自已证明。 （3 3） 已知：如图已知：如图 1 1- -4 4，在，在ABCABC

56、 中，中，C=2C=2B,ADB,AD 平分平分BACBAC，求证：，求证：ABAB- -AC=CDAC=CD 图1-1OABDEFC图1-2ADBCEF图1-3ABCDE分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？延长来证明呢？ 练习练习 （1 1） 已知在已知在ABCABC 中

57、，中，ADAD 平分平分BACBAC，B=B=2 2C C，求证：，求证：AB+BD=ACAB+BD=AC （2 2） 已知：在已知：在ABCABC 中，中，CAB=2CAB=2B B，AEAE 平分平分CABCAB 交交 BCBC 于于 E E，AB=2ACAB=2AC，求证：，求证：AE=2CEAE=2CE （3 3） 已知：在已知：在ABCABC 中，中，ABAB AC,ADAC,AD 为为BACBAC 的平分线，的平分线，M M 为为 ADAD 上任一点。求证：上任一点。求证：BMBM- -CMABCMAB- -ACAC （4 4） 已知：已知：D D 是是ABCABC 的的BACBA

58、C 的外角的平分线的外角的平分线 ADAD 上的任一点，连接上的任一点，连接 DBDB、DCDC。求证：求证：BD+CDAB+ACBD+CDAB+AC。 （二） 、角分线上点向角两边作垂线构全等（二） 、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 (1)(1)如图如图 2 2- -1 1，已知，已知 ABAD, ABAD, BAC=BAC=FAC,CD=BCFAC,CD=BC。 求证：求证：ADC+ADC+B=180B=180 分析：可由分析

59、：可由 C C 向向BADBAD 的两边作垂线。近而证的两边作垂线。近而证ADCADC 与与B B 之和之和为平角。为平角。 (2)(2)如图如图 2 2- -2 2，在，在ABCABC 中，中，A=90A=90 ，AB=ACAB=AC，A ABD=BD=CBDCBD。 求证：求证：BC=AB+ADBC=AB+AD 分析：过分析：过 D D 作作 DEDEBCBC 于于 E E，则，则 AD=DE=CEAD=DE=CE，则构造出全等三角形，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。的方法。

60、 (3)(3)已知如图已知如图 2 2- -3 3，ABCABC 的角平分线的角平分线 BMBM、CNCN 相交于点相交于点 P P。求证：。求证：B BACAC 的平分线也经过点的平分线也经过点 P P。 图1-4ABCDE图2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF分析：连接分析：连接 APAP，证，证 APAP 平分平分BACBAC 即可，也就是证即可，也就是证 P P 到到 ABAB、ACAC 的距离相等。的距离相等。 练习：练习： 1 1如图如图 2 2- -4 4AOP=AOP=BOP=15BOP=15 ，PC/OAPC/OA，P PD DOAOA， 如如果果 P