概率论与随机过程：第6章 过程的概念1

1、第六章第六章 随机过程随机过程 随机过程随机过程 引言引言 现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类：(1)确定性的变化过程：例如例如(2)不确定的变化过程：例如例如 如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。 如何描述这样的变化过程：1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数X1 1( (t ) ),若再次观察，又得到函数X2 2( (t ) ), ,因而得到一族函数.2. 如果在时刻t观察质点的位置X( (t ) ),则X( (t ) )是一个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个

2、随机变量X( (t ) ),于是我们就得到一族随机变量X(t),t0,（最初始时刻为t=0）,它描述了此随机的运动过程. 我们称这种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随机过程。 一、随机过程的定义 1.定义1 设E是一随机实验,样本空间为=，参数T(-,+),如果对每个 ,总有一个确定的时间函数X(,t)与之对应,这样对于所有的 ,就得到一族时间t的函数,我们称此族时间t的函数为随机过程,而族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。 定义定义2 2：设E是一随机实验，样本空间为=，参数T( (-,+) ),如果对任意t T ，有一定义在上的随机变量X( (,t) )与之对应,则称X( (,t

3、),),t T为随机过程，简记为X( (t),),t T 或X( (t) ),也可记为 X( (t) ). 注释：(1) 随机过程X( (t),),t T是定义在T上的二元函数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。 (2)通常将随机过程X( (t),),t T 解释为一个物理系统， X( (t) )表示系统在时刻t所处的状态, X( (t) )的所有可能状态所构成的集合称为状态空间，记为I，对于给定的t0 T，及x I, X( (t0)= )= x 说成是在时刻t0，系统处于状态x.(3)从定

4、义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的推广. 2.随机过程的例 例1:(分枝过程)一个个体（第0代）可能生产 0,1,2个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则Xn, n=0,1,2.是随机过程。 例2: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设Xn是第n次（n1）抛掷的点数，对于n=1,2的不同值,Xn是不同的随机变量，因而Xn, n 1构成一随机过程，称为贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大点数，Xn,n1也是一随机过程。n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654n

5、y样本函数如图样本函数如图 随机过程Xn,tT中参数t通常解释为时间集，便于理解，符合实际。但参数t可以表示为其它的量，例如序号，距离等等.例3: 某120台在时间段0,t内接到的呼唤次数是与t有关的随机变量X( (t ) )，对于固定的t, X( (t ) )是一个取非负整数的随机变量，故X( (t ) ),t0是随机过程。 1t2t3t4t1t2t4t3t14231( )x t2( )x t( )x tt例4:(热噪声电压)电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰，为要消

6、除这种干扰（假设没有其他干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程，现以电阻的热噪声电压为例说明这种变化过程的描述方法，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进行长时间的测量，并把结果记录下来，作为一次试验结果，便得到一个电压-时间函数（即电压关于时间t的函数）V1(t),如图.它在任一确定时刻的值是随机变量.例5: 考虑 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常数，是在（0，2）上服从均匀分布的随机变量，对取定的t， X(t)=acos(t+)是一随机变量,状态空间为 在（0，2）上随机取一，得到一族样本函数 X(t)=acos(t+ ),通常称此随机过程为随机相位正弦波

7、. 这族样本函数的差异是相位不同。 例例6 6：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S=H,TS=H,T，定义：，定义： 1( ) ,()( )2 ( ),cos tHX ttP HP TtTX t t 当出现，其中当出现则是一随机过程。,( )t X tcos tt解：对任意固定的是随机变量，取值为和1234( )X t1( )X t2( )Xtt1( )( )2P X tcos tP X tt12( ),( )X tcos t Xtt此随机过程的样本函数只有两个，即二、随机过程的分类二、随机过程的分类1 1按状态空间按状态空间I I和时间是可列集还是连续集分类和时

8、间是可列集还是连续集分类：(1). 连续型随机过程:T是连续集,且tT,X( (t) )是连续型随机变量,则称过程X( (t) ),tT为连续型随机过程.(2).离散型随机过程: T是连续集，且tT, X( (t) )是是离散型随机变量，则称过程X( (t) ), tT为离散型随机过程。(3).连续型随机序列: T是可列集,且tT, X( (t) )是连续型随机变量，则称过程X( (t) ),tT为连续型随机序列. (4).离散型随机序列:T是可列集, 且tT, X(t)为离散型随机变量, 则称过程X(t),tT为离散型随机序列。通常T取为T =0,1,2或T =0, 1，2,此时随机序列常记

9、成Xn,n=0,1,或Xn,n0。 2 2按分布特性分类：按分布特性分类： 依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 1 1n n维分布函数：维分布函数： 设X(t),tT是随机过程，对于任意整数n1及T中任意n个不同的参数t1 1,t2 2，tn n，称随机向量（X(t1),X(t2),X(tn)）的分布函数 )(,)(,)(,;,22112121nnnnxtXxtXxtXPtttxxxF 为随机过程X( (t) ),tT的n维分布函数.三、随机过程的概率分布三、随机过程的概率分布( (统计描述统计描述) ) 变化n及t1,t2，tn所得到的有

10、限维分布函数的全体 1212121nTtTttttttxxxFFnnn,;,称为X( (t) ),tT的有限维分布函数族。 当n=1时,得到一维分布函数 F( (x; ;t)=P)=PX( (t)x , 一维分布函数的全体 F( (x; ;t), ), tT 称为一维分布函数族. 例例1 1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：12cos 1( ) ,()( ),2 ( )(1)( ;0)( ;1); (2) ( ,;0,1);tHX ttP HP TtTX tF xF xF x x 出现，设出现试确定的： 一维分布函数 ，二维分布函数 1 (0)0 HXT

11、出现解：出现 0 01( ;0) 012 1 1xF xxx故1 (1)1 HXT出现出现 0 11( ;1) 112 1 1xF xxx 故1, 1 (0),(1)0, 1 HXXT出现出现12121212120 11 10( ,;0,1)1 11xxxxF x xxx 且或故且 其他1234( )X t1( )X t2( )Xtt1x2x2( ),0,130,( )442X tVcos t tVtX t 例 ：设随机过程， 在上均匀分布 求在时的密度函数。 ,0,tcos tacos t解：对给定的 若记，( )X taV则的密度函数为： 1 011 ;0 XVxxaafx tfaa其他0

12、1acos1 01;00 Xxfx于是 其他2,42acos22 0;240 Xxfx其他23,42acos 22 03;240 Xxfx其他1,acos 1 10;0 Xxfx 其他0,2acos012P X2 2随机过程的数字特征随机过程的数字特征 函数TttXEtX ),()( 为X( (t) ),tT的均方值函数均方值函数. )()(tXEtX22 为X( (t) ),tT的方差函数方差函数. . )()()(tXDtDtXX 2 为X( (t) ),tT的(自)协方差函数协方差函数. )()()()()(),(),(ttXssXEtXsXCovtsCXXX 为X( (t) ),tT的

13、均值函数均值函数. Rx(s,t)=EX(s)X(t)为X( (t) ),tT的(自)相关函数，简称相关函数相关函数 3.诸数字特征的关系：诸数字特征的关系： )()(),(),(),()(tstsRtsCttRtXXXXXX 2)()(),()(ttttCtXXXX222 例: 设随机过程 X(t)=Ycost+Zsint,t0,其中Y,Z是相互独立的随机变量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)= 2，求X(t),t0均值函数 x x(t)和自相关函数Rx x(s,t)。 解: x x(t)=EX(t)=EYcost+Zsint =costE(Y)+sint E(Z)=0, 因为Y

14、与Z相互独立,于是 sincossincos)()(),(tZtYsZsYEtXsXEtsRX )(sinsin)(coscos22ZEtsYEts )(cos2st 例2: 考虑随机过程 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常数，是在（0，2）上服从均匀分布的随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机相位正弦波的均值函数，方差函数和自相关函数. 解: 的概率密度为 )2 , 0(0)2 , 0(21)( f于是 02120 dtataEtXEtX)cos()cos()()( )cos()cos()()(),(2 tsaEtXsXEtsRX dtsa21coscos20

15、2 sta cos22.2)(),()(222atttRtXXX 例3: 设随机过程X(t)=Y+Zt, tT=(-,+),其中Y，Z是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求 X(t),-t+的一，二维概率密度。解: tT，由正态分布的性质知X(t)服从正态分布: EX(t)=E(Y)+tE(Z)=0, DX(t)=D(Y)+t 2 D(Z)=1+t 2 所以一维概率密度为 )()(),(22122121txettxf 又由正态分布的性质知，对于任意 s,tT， ( (X( (s),),X( (t)服从二维正态分布而 EX(s)= EX(t)=0；DX(s)=1+s2 ,DX(t)=1+t2

16、 tsZtYZsYEtsRtsCXX 1),(),( 22111,tststsX 所以二维概率密度为 2222222121212122222121211)1)(1(21)1(21exp1)1()1(21),;,(txttxxtxttttxxf 其中=x x( (t1 1, t2 2) ). 3, ( )3 , ,1,4 ,0,2 ,( )A BX tAtB tTA BANBUX t 例 ：设是两个随机变量，试求随机过程:的均值函数和自相关函数。如果相互独立，且问的均值函数和自相关函数又是怎样的？ ( )( )XtE X t解： ( )3 ( )tE AE B1212( , )( )( )XRt

17、 tE X t X t221 21212()3() ()9 () ,t t E AttE ABE Bt tT1,4 ,0,2ANBU当时，224( )1,()5,( )1,()3E AE AE BE B,A B又因为独立，()( ) ( )1E ABE A E B故121 21212( )3,( ,)53()12 ,XXttRt tt tttt tT 225( ), ,(0,)( )X tABtCttA B CNX t 例 ：设其中是相互独立,且都服从正态分布的随机变量， 试证明是正态过程,并求它的均值函数和自相关函数。 ( )X t解：是正态过程121122,( )( )( )nnnu uu

18、 u X tu X tu X t对任意一组数 服从一维正态分布21122111( )( )( )nnnnnii ii iiiiu X tu X tu X tAuButCut而, ,( , ,)A B CA B C因为是相互独立的正态变量，故是三维正态变量，( )X t所以是正态过程1212, ,( ),( ),( )nnt ttTX tX tX tn对任意一组实数服从 维正态分布2111, ,nnnii ii iiiiAuBututA B CC是的线性组合，因此它服从一维正态分布，续续下面计算均值函数和自相关函数:( )( )( )()()()0,E AE BE CE ABE ACE BC因为

19、2222()()()E AE BE C2( )XtE ABtCt故2( )( )( )0E AE B tE C t1212( , )( , )XXCt tRt t221122()()E ABtCtABtCt2221 212(1)t tt t四、二维随机过程 1定义定义： X( (t) )、Y( (t) )为定义在同一样本空间和同一参数集T上的随机过程，对于任意t T，若( (X( (t),),Y( (t)是二维随机变量，则称( (X( (t),),Y( (t),t T为二维随机过程。 2有限维分布函数和独立性有限维分布函数和独立性(1) ( (X( (t),),Y( (t),t T为二维随机过

20、程,对于任意的正整数n和m，以及任意的t1 1, ,t2 2, , ,tn n；t1 1, t2 2,tm m T ，称n+m元函数F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =PX(t1)x1, X(tn) xn；Y(t1) y1,Y(tm) ym为( (X( (t),),Y( (t),t T的n+m维分布函数，类似的可定义有限维分布函数族。 （2）若对于任意的正整数n和m，以及任意的t1 1, ,t2 2, , ,tn n；t1 1, t2 2,tm m T，任意的x1 1,x2 2,xn n；y1 1,y2 2,ym m R,有 F(x1,x2,xn；y

21、1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm)=FXX(t1)x1, X(tn) xn FYY(t1) y1,Y(tm) ym 称X( (t) )与Y( (t) )相互独立，其中FX，FY分别为X( (t) ),Y( (t) )的有限维分布函数. 3 3二维随机过程的数字特征二维随机过程的数字特征 (1) 互相关函数: 称 RXY(s,t)=EX(s)Y(t) RYX (s,t)=EX(t)Y(s) 为X( (t) ),Y( (t) ),t T的互相关函数. 若对于任意的s,tT, RXY(s,t)=0,称X( (t) )与Y( (t) )正交. (2)互协方差函数： )()()()()

22、,(ttYssXEtsCYXXY )()(),(),(tstsRtsCYXXYXY 若对于任意的s,tT,有CXY(s,t)=0, 称X( (t) ),Y( (t) )不相关. 若X( (t) ),Y( (t) )相互独立，且二阶矩存在，则X( (t) ),Y( (t) )不相关. 称为( (X( (t),),Y( (t),t T的互协方差函数.显然例1: 设有两个随机过程X( (t) )=g1 1( (t+ ) )和Y(t)= =g2 2( (t + + ) )，其中g1 1( (t ) )和g2 2( (t ) )都是周期为L的周期函数, 是在(0,(0,L) )上服从均匀分布的随机变量.求互相关函数RXY(s，t)的表达式.解: )()()()(),(21 tgsgEtYsXEtsRXYdxLxtgxsgL1)()(201 令v=s+x , 利用g1 1( (t ) )和g2 2( (t ) )的周期性，有 dvxstgvgLtsRLSSXY)()(1),(21 dvvstgvgLL)()(1201 例2: 设X(