第三章资金的时间价值与等值计算

1、本章主要内容：第一节 资金时间价值及相关概念第二节 资金时间价值的普通复利公式第三节 资金时间价值的其他复利公式第三章第三章 资金时间价值与等值计算资金时间价值与等值计算例题例题2 2. C. C公司年初从公司年初从Y Y银行借入银行借入10001000万元，并约万元，并约定借期为定借期为N年，贷款年利率为年，贷款年利率为i, , 则该公司需要偿则该公司需要偿还多少钱给银行？还多少钱给银行？ 例题例题1. C公司另有公司另有N年后到期的年后到期的500万元的期票一张。万元的期票一张。若现在急用，欲全部提出，那么银行会付给公司多若现在急用，欲全部提出，那么银行会付给公司多少？（已知银行的贴现利率

2、为少？（已知银行的贴现利率为i），会是），会是500万元？万元？若是若是400万元的话，那么剩余的万元的话，那么剩余的100万元？万元？明显，同一笔资金的价值与时间有关。明显，同一笔资金的价值与时间有关。贴现利息票据面额贴现率票据到期期限 年末方案A方案B0-2000-20001+1400+5002+800+7003+600+8004+300+1100表1 A、B方案支出、收入表例3 有两个投资方案A、B，初始投资都为2000万元。在四年内，每年收益都不一样，但是总收益一样。 直观上认为方案直观上认为方案A经济效果比方案经济效果比方案B好好(A两年收回两年收回投资投资)，资金的支出与收入的经济

3、效果好坏不仅与资，资金的支出与收入的经济效果好坏不仅与资金量的大小有关，金量的大小有关，与发生的时间有关与发生的时间有关。所以，资金随着时间的推移，会产生价值的变化增值而且，时间越长，资金的增值越多 表现为：利息多了、利润多了等等这里，计量增值的方法可以用： 总利息或利润的多少来计量， 用单位时间的利息或利润的多少来计量利率利率当然，反时间方向反时间方向来认识这一现象，就是将来时间上的一笔数额的资金，在现在看来是不值那么多的！一、资金时间价值一、资金时间价值第一节第一节 资金时间价值及相关概念资金时间价值及相关概念投资盈利率或收益率；通货膨胀、货币贬值；承担风险。2.影响资金时间价值的因素：1

4、.概念资金在生产和流通过程中，随着时间的推移产生的增值部分。一、资金时间价值一、资金时间价值注意点：注意点： 资金增殖的两个基本条件是：现实生活中，资金的时间价值表现在两个方面： 一是，通过直接投资，从生产过程中获得收益或效益。如，直接投资兴办企业等等二是，通过间接投资，出让资金的使用权来获得利息和收益。如存入银行、放贷、购买债券、购买股票等等一是，货币作为资本或资金参加社会周转 二是，要经历一定的时间1. 利息的概念利息的概念 二、资金时间价值的表现形式二、资金时间价值的表现形式利息和利率利息和利率 狭义：是指因占用资金所付出的代价，或因放弃资金的使用权所得到的补偿。 广义：是指资金投入到生

5、产和流通领域中，一定时间后的增值部分。包括存(贷)款的报酬额和投资的利润。技术经济学的利息是广义的概念。 利息是衡量资金时间价值大小的绝对尺度2. 利率的概念利率的概念 二、资金时间价值的表现形式二、资金时间价值的表现形式利息和利率利息和利率 利率：是指资金在单位时间内所产生的增值(利息或利润)与投入的资金额(本金)之比。 利率=(单位时间的利息/本金)100% 利率是衡量资金时间价值的相对尺度。 如果将一笔资金存入银行，这笔资金就称为本金。经过一段时间之后，储户可在本金之外再得到一笔利息，这一过程可表示为： F=P+I利率几个习惯说法的解释： “利率为利率为8%”指：年利率为8%，一年计息一

6、次。式中: F本利和 P本金 I利息 “利率为利率为8%，半年计息一次，半年计息一次”指：年利率为8%，每年计息两次，或半年计息一次，每次计息的利率为4%。（名义利率与实际利率）3. 单利计息单利计息 二、资金时间价值的表现形式二、资金时间价值的表现形式利息和利率利息和利率 概念：是指仅对本金计算利息，对所获得的利息不再计息的一种计息方法。:设贷款额为P，贷款年利率为i，贷款年限为n，则本金与利息和F？3. 复利计息复利计息 二、资金时间价值的表现形式二、资金时间价值的表现形式利息和利率利息和利率 概念：是指不仅本金计算利息，而且先前周期的利息在后继周期中还要计息的一种计息方法。:设贷款额为P

7、，贷款年利率为i，贷款年限为n，则本金与利息和F？通常，商业银行的存款(贷款)是按单利(复利)计息复利计息比较符合资金在社会再生产过程中运动的实际状况，在技术经济分析中，一般采用复利计息。例3-1 某企业以6%的年利率向银行贷款1000万元，贷款期5年，以单利和复利计算。问5年后企业支付多少利息?如果贷款期为十年呢？单利法：F= 1000(1+56%)=1300万元 ，I=300万元复利法： F =1000(1+6%)5 =1338万元，I=338万元复利的威力比原子弹还可怕！复利的威力比原子弹还可怕！ 很多人以为致富的先决条件是巨大的资金基础和高额的盈利回报，但其实并非如此。 爱因斯坦曾经说

8、过：“宇宙间最大的能量是复利，世界的第八大奇迹是复利。” 问题：两个年轻人，一个在23岁开始每年投资10000元，直到45岁，每年按照复利15%的收益增长；另一位年轻时候活的自在，32岁才开始投资，为了弥补往日失去的岁月，他每年存20000元，同样按照15%的复利计算，当二人都到45岁时，你认为谁的钱更多？答案：（23岁的年轻人在45岁时，通过复利可以获得137.63万元，而32岁才开始攒钱的人，到他45岁时，虽然每年的投资金额是23岁年轻人人的两倍，但他只能获得68.7万元） 常见的按复利计息的投资产品比如电子式国债（或称储蓄国债）、货币基金。而我们可以自行构建复利的可以是银行存款、银行理财

9、产品、基金红利再投、P2P网贷等。在实际工作中，给定的利率虽然是年利率，计息在实际工作中，给定的利率虽然是年利率，计息周期可能是比年还短的实际单位。如计息单位可周期可能是比年还短的实际单位。如计息单位可以是半年、一个季度、一个月等等。由于计算利以是半年、一个季度、一个月等等。由于计算利息的次数不止一次，在复利条件下每计息一次，息的次数不止一次，在复利条件下每计息一次，都需产生一部分新的利息，因而实际利率就不同都需产生一部分新的利息，因而实际利率就不同了，这就是所谓的了，这就是所谓的名义利率和实际利率名义利率和实际利率的概念。的概念。(1/)(1/)1mmPr mPir mrP m lim(1/

10、) 11mrrrmir me 复利期复利期年复利次数年复利次数计息周期利率计息周期利率(%)实际年利率实际年利率(%)年年16.00006.0000半年半年23.00006.0900季度季度41.50006.1364月月120.50006.1678星期星期520.11546.1797日日3650.01646.1799连续连续0.00006.1837（一）（一） 现金流量图现金流量图 四、现金流量图和资金等值概念四、现金流量图和资金等值概念 一个项目的实施，往往要延续一段时间，在项目寿命期内，各种现金流入和现金流出的数额和发生的时间都不尽相同，为便于分析，通常采用图的形式表示在一定时间内发生的现

11、金流量。横轴表示时间(年、季等)，上下箭头表示现金流量(向上(下)表示流入(出)，箭头长度表示大小)0 1 2 3 4 5 n t 金额金额（二）资金等值概念（二）资金等值概念 例如：现在的100元与1年后的112元，在年利率12%的条件下，是等值的。2.几个相关的概念时值、时值、折现折现或或贴现贴现、 现值现值、 终值终值等等把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额称为“折现折现”或或“贴现贴现”。将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值现值”。与现值等价的将来某时点的资金金额称为“终值终值”或或“将来值将来值”。资金等值计算：资金等值计算：利用等值的概念，可以把在一个时点发生的资

12、金金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算资金等值计算。需要说明的是，需要说明的是，“现值现值”并非专指一笔资金并非专指一笔资金“现现在在”的价值，它是一个的价值，它是一个相对相对的概念。一般地说，的概念。一般地说，将将 t+k时点上发生的资金折现到第时点上发生的资金折现到第t 时点，所得的时点，所得的等值金额就是第等值金额就是第 t+k时点上资金金额的现值。时点上资金金额的现值。进行资金等值计算中使用的反映资金时间价值的进行资金等值计算中使用的反映资金时间价值的参数叫参数叫折现率折现率。终值：Future value （worth）现值：Present value; curren

13、t value时值：Time value折现或贴现:Discount贴现价值 Discounted value第二节第二节 资金时间价值的普通复利公式资金时间价值的普通复利公式现金流量的方式：现金流量的方式： 1.整付整付： 一般指，一笔资金在某一时点一次性流入或流出； 2.分付分付： 一般指，一笔资金在某一时期内的各个时点上，分次性流入或流出。 有定期等额流入或流出，也有定期不等额流入或流出等等 分为：等额分付（年金）、变额分付（等差、等比）等。 i年利率 ； n计息周期(年)；P资金的现值(本金)；F资金的未来值(终值)A资金的等年值(连续每期期末等额支出(收入)中的每一期资金支出(收入)

14、额，年金)G 资金的递增年值(各期的支出(收入)是均匀递增(递减)时，相邻两期资金的支出(收入)额差)一、一次支付终值公式（整付）一、一次支付终值公式（整付）即，已知一笔资金（本金）为即，已知一笔资金（本金）为 ：P，当利率为，当利率为i时，在复时，在复利计息的条件下，求：利计息的条件下，求：n年后的本利和（终值），年后的本利和（终值），F=？),/()1 (niPFPiPFn 式中，（式中，（F/P,i,n）为）为 ：一次支付终值系数。可查复利系：一次支付终值系数。可查复利系数表得到。数表得到。0 1 2 . nPF=?二、一次支付现值公式（整付）二、一次支付现值公式（整付）),/()1 (

15、niFPFiFPn式中，式中，1/(1+i)n为一次支付现值系数，可用符号（为一次支付现值系数，可用符号（P/F, i, n ）表示，可查复利系数表得到。）表示，可查复利系数表得到。0 1 2 nP=?F即，未来的第即，未来的第n期期末一次收入期期末一次收入F数额的现金流量，在利率数额的现金流量，在利率为为i的复利条件下，求现在应一次支出的复利条件下，求现在应一次支出(投入投入)的本金的本金P？三、等额分付终值公式（年金）三、等额分付终值公式（年金）即，已知一笔等额分付资金（年金）为即，已知一笔等额分付资金（年金）为 A求：求：n年后的本利和（终值），年后的本利和（终值），F=？),/(1)1

16、 (niAFAiiAFn式中，（F/A,i,n）为 ：等额分付终值系数0 1 2 3 nA A A A F=?F=A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+A(1+i)+A =A (1+i)n-1+(1+i)n-1+(1+i)+1上述公式推导：第一笔 A的终值为：11)1 (niAF第二笔 A的终值为：22)1 (niAF第三笔 A的终值为：33)1 (niAF第 n 笔 A的终值为：AiAFnnn)1 (所有n个年金A的总终值F = F，即：AiAiAiAFnnn.)1 ()1 ()1 (3210 1 2 3 nA A A A F=? 例：某人从例：某人从26岁起每年末向银行存入岁起每年末向银

17、行存入10000元，元，连续连续10年，若银行年利率为年，若银行年利率为6%，问，问10年后共有年后共有多少本利和？多少本利和？ 解解),/(1)1 (niAFAiiAFn查复利系数表 (F/A,6%,10)=13.181四、等额分付偿债基金公式（年金）四、等额分付偿债基金公式（年金）即，已知n年后的本利和（终值）F求：等额分付资金（年金） ：A =？),/(1)1 (niFAFiiFAn式中，（A/F, i, n）为 ：等额分付偿债基金系数A A A=? A 0 1 2 3 nF五、等额分付现值公式五、等额分付现值公式即，已知一笔等额分付资金（年金）为 ：A求：现值，P=？),/()1 (1

18、)1 (niAPAiiiAPnn式中，（P/A, i, n）为 ：等额分付现值系数0 1 2 3 nA A A A P=?iiAFiFPnn1)1 ()1 ( 例：某设备经济寿命为例：某设备经济寿命为8年，预计年净收益年，预计年净收益20万元，残万元，残值为值为0，若投资者要求的收益率为，若投资者要求的收益率为20%，问投资者最多，问投资者最多愿意出多少钱购买该设备？愿意出多少钱购买该设备？ 该问题等价于在银行的利率为该问题等价于在银行的利率为20%的条件下，若存款者的条件下，若存款者连续连续8年每年从银行取出年每年从银行取出20万元，则现在应存入银行多万元，则现在应存入银行多少钱？少钱？),

19、/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn查复利系数表 (P/A,20%,8)=3.837六、等额分付资本回收公式六、等额分付资本回收公式即，已知一笔投资（本金）为即，已知一笔投资（本金）为 P，求，求n期内等额回收年金，期内等额回收年金，A=？),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnn式中，（P/A,i, n）为 等额分付资本回收系数0 1 2 3 nA？ P 一元钱的本利和一元钱的贴现值每期一元钱的本利和可筹措一元钱基金的等额序列每期一元钱的贴现值可回收一元钱资本的等额序列niPF)1 ( ),/(niPFniFP)1 (),/(niFPiiAFn1)1 (),/(niAF1)

20、1 (niiFA),/(niFAnniiiAP)1 (1)1 (),/(niAP1)1 ()1 (nniiiPA),/(niPA普通复利公式汇总表普通复利公式汇总表 niPF)1 ( ),/(niPFniFP)1 (),/(niFPiiAFn1)1 (),/(niAF1)1 (niiFA),/(niFAnniiiAP)1 (1)1 (),/(niAP1)1 ()1 (nniiiPA),/(niPA普通复利公式之间的关系普通复利公式之间的关系1.两两互为倒数2.乘积关系( (P/A, i, n)= )= (F/A, i, n) (P/F, i, n)(F/A, i, n)= (P/A, i, n

21、) (F/P, i, n)3.等额分付资本回收公 式与等额分付偿债基金公式有以下关系 (A/P, i, n)= (A/F, i, n) + i第三节第三节 资金时间价值的其他复利计算资金时间价值的其他复利计算一、复利周期小于支付周期的计算一、复利周期小于支付周期的计算（季度）（季度）0 1 2 3 4 5 6 7 8 910001000元元36 37 38 39 40F=？10001000元元0 1 2 3 4 5 6 7 8 910001000元元36 37 38 39 40F=？10001000元元方法一：采用一次支付的利息公式，将各笔支付折算到第10年年末。（注意：季利率=12%/4=3

22、%） F=1000(F/P, 3%, 36)+ 1000(F/P, 3%, 32) + + 1000(F/P, 3%, 4)+ 1000=18028方法二：将复利期由季度换算为年，使复利期和支付间隔相同，这样就将这种特殊情况变为一般的等额多次支付。已知名义利率为r，一年计息次数为m，则年实际利率i为 i=(1+r/m)m-1=(1+12%/4)4-1=12.55% F=1000(F/A, 12.55%, 10)=18028二、复利周期大于支付周期的计算二、复利周期大于支付周期的计算三、连续复利计算公式三、连续复利计算公式m lim(1/) 11mrrrmir me 方法一方法一：将普通复利计算

23、公式中的利率用：将普通复利计算公式中的利率用 i 代替，然代替，然后对各复利系数关系式求极限值。后对各复利系数关系式求极限值。(1/)1mir m方法二方法二：用连续复利的实际利率公式代替原普通复利：用连续复利的实际利率公式代替原普通复利公式中的公式中的 i ，然后直接求出连续复利公式。，然后直接求出连续复利公式。三、连续复利计算公式三、连续复利计算公式例如，例如，一次支付连续复利终值系数一次支付连续复利终值系数推导如下：推导如下：(/, , )(1)(1)nmnrF P i nim(/, , )nrF P r nelim(/, , )lim(1)mnnrmmrF P r nem(1/)1mir m三、连续复利计算公式三、连续复利计算公式例如，例如，一次支付连续复利终值系数一次支付连续复利终值系数推导