误差基本理论

1、第二章误差基本理论第二章误差基本理论 测量误差的基本概念测量误差的基本概念测量误差的分类和测量结果的表征测量误差的分类和测量结果的表征u 2.3 2.3 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理 u 2.4 2.4 测量不确定度测量不确定度 u 2.5 2.5 测量数据处理测量数据处理一、一、 测量误差的定义测量误差的定义u 测量的目的测量的目的: : 获得被测量的获得被测量的真值真值（约定真值）。（约定真值）。u 真值真值: : 在一定的时间和空间环境条件下，被测量在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。本身所具有的真实数值。 A0u 所有测量结果都带有误差，因为真值是测不

2、出来所有测量结果都带有误差，因为真值是测不出来的。的。u 测量误差测量误差 : :测量结果与真值的差别测量结果与真值的差别二、二、 测量误差的来源测量误差的来源 三、测量误差的表示方法三、测量误差的表示方法0AxxxxAxx：示值示值 ，即，即 测量值测量值读数：直接从仪表读出的数。读数：直接从仪表读出的数。指针式：读数示值数字式：读数=示值xAxCCxA0100%xA 100%AxA 100%xxx x 很小时，可以用示值相对误差代替实际相对误差，绝对误差大时不准确。100%mmmxx 0 0mx|mx |mx A AxAmAmx A mmmxx:mmxx仪表某量程仪表某量程内的最大绝对误差

3、m %mxxSx|%mS因为后者的误差范围小，所以测量结果更好。%2 . 2%5 . 090400%1Sxxmx%7 . 1%5 . 190100%2Sxxmx20lg(1)20lg(1)dBxAA20lg()xxGA dB oxiVAV AAAx若测量的是功率增益，则分贝误差为：若测量的是功率增益，则分贝误差为：10lg(1)dBx2.2 2.2 测量误差的分类和测量结果的表征测量误差的分类和测量结果的表征1211nniixxxxxnn u随机误差定量定义：测量结果与在重复性条件下，对同一随机误差定量定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差被测量进行无

4、限多次测量所得结果的平均值之差 iixx()n0 xA二、二、 测量结果的表征测量结果的表征iiiixAxxxAx0 xAiixx()n 射击误差射击误差示意图示意图 2. 测量结果的表征测量结果的表征|xA 是粗大误差是粗大误差4x图3-1 误差在数轴上的分布 1iipixE(X) dxxxpXE)()( )(XD 为什么？为什么？一般情况下，认为测量中随机误差的分布和随机一般情况下，认为测量中随机误差的分布和随机误差影响下的测量数据的分布服从正态分布。误差影响下的测量数据的分布服从正态分布。)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE

5、222222)2exp(21)()0()( ddpED2 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差( (a a) )随随 机机 误误 差差( (b b) ) 测测 量量 数数 据据0 )( p x xp p( (x x) )0 0图图 3 3 1 1 随随 机机 误误 差差 和和 测测 量量 数数 据据 的的 正正 态态 分分 布布 曲曲 线线随机误差特点：随机误差特点：对称性对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 0)(p1 2 3 a bP(x)概率密度概率密度: :均值均值:

6、 : 当当 时时, ,标准偏差标准偏差: : 当当 时，时， 01)(abxpbxaxbxa ,2ba ba 32ab 3b ba 0 用事件发生的频度代替事件发生的概率。用事件发生的频度代替事件发生的概率。贝努力定理：事件发生的频度依概率收敛于事件发生的概率。贝努力定理：事件发生的频度依概率收敛于事件发生的概率。nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n个相同的测试数据个相同的测试数据x xi i(i=1.2(i=1.2,n),n) 次数都计为次数都计为1 ,1 ,当当 时，则时，则 niiniixnnxXE1111)(（1 1）有限次测量的）有限次测量的数学期望的估计值数学期望的估

7、计值算术平均值算术平均值估估计计()n ()n niixnx11有限次测量值的算术平均有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？值比测量值更接近真值？ *)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n采用统计平均的方法可以有效地减弱随机误差。采用统计平均的方法可以有效地减弱随机误差。算术平均值算术平均值：残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ：xxii 2222111111( )()()

8、111innniiiiis xxxxnxnnnnxsxs)()( niixnx11()()()()()(xExxnsxxsnxxxxs【例【例3.13.1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(7

9、67.111)(12Cnxsonii ()1.767()0.5()11os xs xCnx内包含真值的概率称为置信概率内包含真值的概率称为置信概率 k kxEx )(置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积u 当分布和当分布和 k 值确定之后，则置信概率可定值确定之后，则置信概率可定 u 正态分布正态分布,当当 k =3时时kPc kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大u t 分布与测量次数有关。分布与测量次数有关。当当n20以后，以后，t 分布趋分布趋于正态分布。正态分布于正态分布。正

10、态分布是是t分布的极限分布。分布的极限分布。u 当当n很小时，很小时，t分布的中分布的中心值比较小，分散度较心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，大，即对于相同的概率，t分布比正态分布有更大分布比正态分布有更大的置信区间。的置信区间。 u 给定置信概率和测量次给定置信概率和测量次数数n，查表得置信因子，查表得置信因子kt 自由度：自由度：v=n-1t 分布图t 分布图ktkt（P=1)反正弦均匀三角分布236kka3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0关于置信区间的例题：关于置信区间的例题： c a 0 t 图3 7 多 种 系 统 误 差 的 特

11、征 其 中 ： a -不 变 系 差 b -线 性 变 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -复 杂 规 律 变 化 系 差 d b 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。 多次测量求平均不能减少系差多次测量求平均不能减少系差。 ii0ii0 存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无明显系统误差 马利科夫判据：马利科夫判据：若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，D 值应明显异于零。值应明显异于零。当当n

12、为偶数时，为偶数时， 当当n为奇数时，为奇数时， 阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。 12111( )niiins x / 21/ 21nniiiinD(1 ) / 21(1 ) / 2nniiiinDxs (b) 对称桥式结构(b) 对称桥式结构s sx激励源激励源y=0y=02r1r当当 时，时， 12rxsr 12rr xs 0-v+vxs测量值 xs xsxsxsxxsxsx测量仪器的误差测量仪器的误差 对测量的影响被大大地削弱。对测量的影响被大大地削弱。/ 例例 对某信号源的输出频率进行了对某信号源的输出频率进行了1212次等精度测量（单位次

13、等精度测量（单位kHzkHz），结果如下。），结果如下。请分别用残差观察法、马利科夫及阿贝请分别用残差观察法、马利科夫及阿贝- -赫梅特判据判别是否存在变值系差。赫梅特判据判别是否存在变值系差。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 110.105 110.090 110.090 110.070 110.060 110.055 110.050 110.040 110.030 110.035 110.030 110.020 ix110( 5%)0.05%99xsxsxxxxsxsxUUUVUUUUUUUUUUUUUU 解：n1234560.04880.03380.03380.

14、01380.0038-0.0062n789101112-0.0062-0.0162-0.0262-0.0212-0.0262-0.0362iviv 残差观察法残差观察法结论：结论：存在线性、存在线性、累进性变值累进性变值系差。系差。解：解： 马利科夫判据马利科夫判据612170.2650iiiiDvv结论：存在累进性变值系差。结论：存在累进性变值系差。 阿贝阿贝- -赫梅特判据赫梅特判据2221111110.000756;10.002510.00590.0025niiiiisnsnvv结论：存在周期性变值系差。结论：存在周期性变值系差。统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应统计学的

15、方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。并予以剔除。 莱特检验法莱特检验法 格拉布斯检验法格拉布斯检验法 3()isxm ax()Gs x式中，式中，G G值按值按重复测量次数重复测量次数n n及及置信概率置信概率PcPc确定确定 3456789101195%1.151.461.671.821.942.032.112.182.2399%1.161.491.751.942.12.222.322.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.

16、442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpnm axm inm axm ax,xxxx随机误差符合正态分布，且测随机误差符合正态分布，且测量次数充分大（量次数充分大（1010次）次）解：解： 计算得计算得 s=0.033s=0.033计算计算残差填入表残差填入表3 37 7， 最大，最大， 是可疑数据。是可疑数据。 用莱特检验法用莱特检验法 3 3 s=3 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判断故可判断 是粗大误差，应予剔除。是粗大误差，应予剔除。再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得 ：再

17、 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得 ： s s = 0 . 0 1 6 = 0 . 0 1 6 3 3s s= 0.048= 0.048各测量值的残差各测量值的残差V V填入表填入表3 37 7，残差均小于，残差均小于3 s3 s故故1414个数据都为正常数据。个数据都为正常数据。404.20 x104. 08 8x8x411.20 x【例【例3.33.3】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表结果列于表3 37 7，试检查测量数据中有无粗大误差。，试检查测量数据中有无粗大误差。序号序号测量值测量值 xi / 残差残差vi / 残差残差xi

18、/ （去掉粗大误差后）（去掉粗大误差后）120.42+0.016+0.009220.43+0.026+0.019320.40-0.004-0.011420.43+0.026+0.019520.42+0.016+0.009620.43-0.026+0.019720.39-0.014+0.029820.30-0.104-920.40-0.004-0.0111020.43+0.026+0.0191120.42+0.016+0.0091220.41+0.006-0.0011320.39-0.014-0.0211420.39-0.014-0.0211520.40-0.004-0.011表表3-7 3-7

19、 电炉温度测量值电炉温度测量值2iiW miimiiimiimiiiWxWxx1112121 11niixxniixx10nii211()1niisxn()()s xs xn( )Axk s x 65.2065x误差传播定律误差传播定律(1)PIUPIUPPPIUIUU II UPIUPIU 即222(2)222PRUUPRPPPRURUUURURRPRUPRU 即22(3)222PRIPI RPPPRIRIIRIR RPRIPRI 即说明：误差的合成不是分项误差的简单相加，而与它们之间的函数关系函数关系相关； 对测量方法选择测量方法选择有指导作用。 12313123233121123lnln

20、lnlnlnyixxxiix xyyxxxxxxxyxxxxx1niiifyxx 测量不确定度不确定度扩展不确定度B 类类标标准准不不确确定定度度Bu标准不确定度A 类类标标准准不不确确定定度度Au合合成成标标准准不不确确定定度度CuU99U95U()3kU()2k相对不确定度测量误差测量误差测量不确定度测量不确定度客观存在的，但不能准确得到，客观存在的，但不能准确得到，是一个定性的概念是一个定性的概念表示测量结果的分散程度，可根据表示测量结果的分散程度，可根据试验、资料等信息定量评定。试验、资料等信息定量评定。误差是不以人的认识程度而改变误差是不以人的认识程度而改变与人们对被测量和影响量及测

21、量过与人们对被测量和影响量及测量过程的认识有关。程的认识有关。随机误差、系统误差是两种不同随机误差、系统误差是两种不同性质的误差性质的误差A A类或类或B B类不确定度是两种不同的评类不确定度是两种不同的评定方法，与随机误差、系统误差之定方法，与随机误差、系统误差之间不存在简单的对应关系。间不存在简单的对应关系。须进行异常数据判别并剔除。须进行异常数据判别并剔除。剔除异常数据后再评定不确定度剔除异常数据后再评定不确定度在最后测量结果中应修正确定的在最后测量结果中应修正确定的系统误差。系统误差。在测量不确定度中不包括已确定的在测量不确定度中不包括已确定的修正值，但应考虑修正不完善引入修正值，但应

22、考虑修正不完善引入的不确定度分量。的不确定度分量。“误差传播定律误差传播定律”可用于间接测可用于间接测量时对误差进行定性分析。量时对误差进行定性分析。不确定度传播律更科学，用于定量不确定度传播律更科学，用于定量评定测量结果的合成不确定度评定测量结果的合成不确定度 niixnx111)()(12 nxxXSniinXSxSuA)()( 自由度意义：自由度意义：自由度数值越大，自由度数值越大，说明测量不确定说明测量不确定度越可信。度越可信。2. 2. 标准不确定度的标准不确定度的B B类评定方法类评定方法u B B类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据、类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据、

23、生产厂的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证生产厂的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。书等。u 确定测量值的误差区间（确定测量值的误差区间（, -），并假设被测量），并假设被测量的值的的值的概率分布概率分布，由要求的，由要求的置信水平置信水平估计置信因估计置信因子子k，则，则 B 类标准不确定度类标准不确定度 uB 为为 其中其中 a 区间的半宽度；区间的半宽度； k置信因子，通常在置信因子，通常在23之间。之间。 kuB 分布分布三角三角梯形梯形均匀均匀反正弦反正弦 k (p=1)概率概率P%5068.27909595.459999.73置信因置信因子子0.67611.6451.9602

24、2.5763u 表表3 39 9正态分布时概率与置信因子的关系正态分布时概率与置信因子的关系626/ 1+32u 表表3 31010几种非正态分布的置信因子几种非正态分布的置信因子k k 若没有明确指出或不能分析得出分布情况，可假定为均匀分布若没有明确指出或不能分析得出分布情况，可假定为均匀分布（假设为正态分布）（假设为正态分布）)(),(yxyxEYXCov niiixyyyxxnS1)(11)()(),(),(YXYXCovYXQ )()()1()()()()()()(),(111221ySxSnyyxxyyxxyyxxySxSSyxrniiininiiiniiixy 1/2212111(

25、 )()2(,) () ()NNNCiijijiij iiijfffuyuxr x x u x u xxxx NiiCuu122/1122)()( Niiicxuxfyuifx u uC C(y(y) )1()()NCiiifuyuxx 1 / 2221()()NCiiiuyA ux NiiiiCxxuPYyu12/)()(1212NpppNYXXX 22()()VPIuuuPIV 22222222()()PIVIVPPuuuV uI uIV算术平均值算术平均值Pk57.741951.65991.711001.73表表3 311 11 均匀分均匀分布时置信概率与置布时置信概率与置信因子信因子k

26、 k的关系的关系1 ni NiiiiCeffvxuCyuv1444)()(2)()(21 iixuxu2VPR电压的电压的B类类不确定度不确定度电阻的电阻的B类类不确定度不确定度电压的电压的A类类不确定度不确定度解：解：（1 1）数学模型）数学模型（2 2）计算测量结果的最佳估计值）计算测量结果的最佳估计值RVP2 VVnVVnii32. 255 . 22 . 24 . 23 . 22 . 2/1 WWRVP027. 099.199)32. 2()(22 （3 3）测量不确定度的分析）测量不确定度的分析本例的测量不确定度主要来源为本例的测量不确定度主要来源为电压表不准确；电压表不准确；电阻不准

27、电阻不准确；确；由于各种随机因素影响所致电压测量的重复性。由于各种随机因素影响所致电压测量的重复性。 VnVVnii32.21 VVxxSii13. 0418. 012. 008. 002. 012. 015)(22222512 VVnSxSVu058. 0513. 0)()(2 （4 4）标准不确定度分量的评定）标准不确定度分量的评定电压测量引入的标准不确定度电压测量引入的标准不确定度(a)(a)电压表不准引入的标准不确定度分量电压表不准引入的标准不确定度分量u u1 1（V V）按）按B B类评定。类评定。 a a1 1=2.32V=2.32V1%=0.023V 1%=0.023V (b)

28、 (b) 电压测量重复性引入的标准不确定度分量电压测量重复性引入的标准不确定度分量u u2 2（V V）。按）。按A A类评定。类评定。VkaVu013. 03023. 0)(111 222212( )( )( )0.0130.0580.059cu Vu Vu VVV3 .44058.010013.00594.0)()()(4442421414)( vVuvVuVuvCVeff 01. 0202. 0)(22kUkaRuRVP2 )()()(222221RucVucPuC /023.099.19932.2221VRVVPc2222222(2.32)0.00013/(199.99)PVcVRR WPuC0014. 0)01. 0()00013. 0()059. 0()023. 0()(2222 e