高考数学圆锥曲线的经典性质50条

1、椭圆与双曲线的对偶性质-(必背的经典结论)1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.5.6.7.8.以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.22若Po(xo,yo)在椭圆与十4=1上，则过F0的椭圆的切线方程是容十誓=1.abab22xy.若P0(x0,y0)在椭圆=十彳=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pab22xy椭圆=+22=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点a2b222xy椭圆

2、2+2=1(ab0)的焦半径公式：abP2,则切点弦P1P2的直线方程是岑+0*=1.a2b2NF1PF2=不，则椭圆的焦点角形的面积为Safg=b2tan.29.|MF/=aex。,|MF21=a-ex（Fi（-c,0）,F2（c,0）MNy。）.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,MFNF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,AA2为椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFXNF.11.AB是椭圆即Kab=22xy二十上2=1的不平行于对称轴的弦,abb2x02

3、0aV。M(x0,y)为AB的中点，则koMkABb2154.5.6.7.8.c.2，S.1PF2 =bc0t 2.222212 .若P0(x0,y0)在椭圆占+与=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是=+誓=，+与.ababab222213 .若F0(x0,y0)在椭圆占十A=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是X?+-y2=jXo2X+-y2y.ababab双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径

4、的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)22xyx0xy0y若P0(x0,y0)在双曲线二一一二1(a0,b0)上，则过P0的双曲线的切线方程是-一=1.abab22若P0(x0,y0)在双曲线*2*=1(a0,b0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、F2，则切点弦P1P2的直线方程是凶段一102y=1.ababx2y2双曲线=一%=1(a0,bo)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点NF1PF2=,则双曲线的焦点角形的面积为abxy双曲线下一式2=1(a0,bo)的焦半径公式：(F1(-c,0),F2(c,0)ab当M(x0,y0)在右支上时，|

5、MF11=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y)在左支上时，|MF1尸ex0+a,|MF2|=-ex0-a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,10.11.12.13.1.2.3.贝UMFNF.过双曲线一个焦点2XAB是双曲线一2aF的直线与双曲线交于两点2yb2二1P、Q,AA2为双曲线实轴上的顶点，AP和A2Q交于点(a0,b0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOMM,A2P和AiQ交于点N,则MFXNF.Kab若P0(x0,y0)在双曲线若P0(x0,y0

6、)在双曲线b22X2ab22=1.过椭圆数).2Xa2X2a2十二12a=1b2(a0,b0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是X0X2X0.2.2bx01/bx0一，即Kabayay。2y02x(a0,b0)内，则过Po的弦中点的轨迹万程是2a椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)高三数学备课组椭圆2,2-ab2_y_XXb22,2abyoyb2=1(abo)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1Pl与A2P2交点的轨迹方程是24=1(a0,b0)上任一点A(X0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,b则直线BC有定向且kBC

7、b2X0a2y0(常22xy右P为椭圆一2*2=1(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1,F2是焦点，PF1F2a,PF2F1aba-c,贝U=tancot.ac22224.设椭圆.十2=1(ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记上F1PF2=aab5.6.7.8.9.10.11.Psin工，/FiF2P=,则有一ssin-sin22xy,八，若椭圆+2T=1(ab0)的左、右焦点分别为ab准线距离d与PF2的比例中项.C一=e.aF1、F2,左准线为L,则当0b0)上任一点，F1,F2为二焦点，a为椭圆内一定点，则2a|AF2|E|PA|十|P

8、F11M2a+|AF1|,当且仅当A,F2,Pab三点共线时，等号成立.(x-Xo)22a2x已知椭圆a的最大值为2x过椭圆a(y-y0)2_.222,22+mI与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是Aa+Bb(Axo+Byo+C).b22b24a2b2=1(ab0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_LOQ.(1)2+2|OP|OQ|OP|2+|OQ|22,2ab22b2;(3)SmPQ的最小值是a.a2b22=1(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则x已知椭圆a设P点是椭圆b2=1(ab0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂

9、直平分线与x轴相交于点P(X0,0),则|PF|二.|MN|22,2a-b-:二Xoa2,2a-bb0)上异于长轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点记/F1PF2，则(i)|PFi|PF2|=ab2b2.(2)1cos-12.c，2，S.PF1F2=btan2.22xy设A、B是椭圆f+J=1（ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，/PAB=c（,NPBA=P,2BPA=,c、a2b2e分别是椭圆的2ab21cos:|一o2a2b2半焦距曷心率，则有（1）|PA|=-22.（2）tan：tan-=1-e.（3）SPAB=2cota-ccosb-a22xy13.已知椭圆一十3=1（ab0）的右准

10、线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右7i线lab上，且BC-Lx轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外

11、点到椭圆中心的比例中项椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.2x双曲线一2-ay，,丁=1(a0,b0)的两个顶点为b2A(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于R、P2时A沪1与A2P2交点的轨迹方X程是今=1.2.过双曲线2,2ab=1(a0,bo)上任一点A(X0,丫0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且3.4.5.kBC=b2Xg2ay。(常数).若P为双曲线b2=1(a0,b0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,/PF1F2=,F2F1=P，则c-a=tancot22(或ca设双曲线2,2ab=

12、tancot(a0,b0)/PF1F2=P/F1F2P=L则有的两个焦点为FF2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,PF1F2中，记FFF2=:-(sin-sin：)c一二e.a22xy/若双曲线2一了=1(a0,b0)的左、右焦点分别为abF1、F2,左准线为L,则当10,b0)上任一点，Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一te点,ab则|AF2|-2aW|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,PP和A,F2在y轴同侧时，等号成立.双曲线一2一已知双曲线b22xa2b1(a0,b0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是=1(ba0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且A222

13、,22Aa-Bb-C.OP_OQ.|OP|2|OQ|212a14a2b2)；(2)|OP|2+|OQ|2的取小值为-;(3)b2b2-a2S&PQ的最小值是2,2ab22.b-a22xy过双曲线-2ab22、xy已知双曲线一22ab2.2abXq.设p点是双曲线SPF1F2=1(a0,b0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于=1(a0,b0),A、B是双曲线上的两点，线段ABM,N两点，弦MN的垂直平分线与x|PF|e的垂直平分线交x轴于P,则JL=一.|MN|22,2ab轴相交于点P(x0,0),贝Ux02或a2x2aY=b2cot.设A、B是双曲线一2a22y2b22=1(a0,b0)上异

14、于实轴端点的任一点，FF2为其焦点记/F1PF2=日,则(1)|PF1|PF2|=.(2)b1-cos-2y2=1(a0,b0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，/PAB=a,2PBA=P/BPA=,c、e分别b213.14.2,.,是双曲线的半焦距离心率，则有(1)pa=2ab12cos2|a-ccos|tan二tan：=1-e2.(3)Spab2,22ab,22COtba22xy.一-已知双曲线2-=1（a0,b0）的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线abl上，且BC_LX轴，则直线AC经过线段EF的中点.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相