电磁场及波第2章

1、 第二章第二章 静电场静电场 静电场静电场： 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。本章主要内容本章主要内容电场强度电场强度真空中的静电场方程真空中的静电场方程电位电位静电场中的介质和导体静电场中的介质和导体介质中的静电场方程介质中的静电场方程静电场的边界条件静电场的边界条件电位的边值问题电位的边值问题分离变量法分离变量法镜像法镜像法电容和部分电容电容和部分电容电场能量电场能量电场力电场力以库仑定理为基础，导出静电场方程；分析静电场中的媒质特以库仑定理为基础，导出静电场方程；分析静电场中的媒质特性，得到介质中的静电场方程；学习静电场的基本计算方法。性，得到介质中的静电场方程；学习

2、静电场的基本计算方法。2-1 电场强度电场强度1、 电荷密度电荷密度1）物质中的电荷物质中存在有多种形式的电荷，如电子、离子等电荷的最小量度是单个电子的电量Ce191060. 1从微观上看，电荷在空间是离散分布的。我们要讨论的电场是大量的离散分布的电荷共同作用的产生的，是统计平均的结果。这样的电场被称为宏观电磁场。对于宏观电磁场，可以将电荷看成是连续分布的。连续分布的电荷用电荷密度表示。2)电荷（体）密度电荷（体）密度VqrV0lim)(单位：库仑单位：库仑/米米3 (C/m3) 由于这样定义的电荷密度的意义是指单位体积中的电量，因此也称为电荷体密度。 根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V

3、中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为 qr dVV( )在有些情况下，电荷分布在薄层里。 rSq对于这种情况，当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。 面分布的电荷可用电荷面密度表示。 3)电荷面密度电荷面密度sSrqS( )lim0单位为C/m2 如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q为qr dSsS( )在电荷分布在细线上的情况下rql当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。 线分布的电荷可用电荷线密

4、度表示。 4)电荷线密度电荷线密度llrql( )lim0单位为 C/m如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q为 qr dlll( ) 对于总电量为 q的电荷集中在很小区域V的情况当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时， ERdR 小体积V中的电荷可看作位于该区域中心电量为q的点电荷。 ERq( )()rqrr5)点电荷点电荷2. 库仑定律库仑定律 库仑定律指出，在真空中，两个相对静止的点电荷之间的相互作用力的库仑定律指出，在真空中，两个相对静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们电

5、量的乘积成正比，与它们之间的距离平方成反比，其方向大小与它们电量的乘积成正比，与它们之间的距离平方成反比，其方向在它们的连线上在它们的连线上。 Q所受的力为所受的力为RRqQkF2式中式中 Rrr RRRkFm1 48854100012/,./真空中的介电常数真空中的介电常数 rrR在真空中，多个点电荷在真空中，多个点电荷q1q2qiqNQ对一个点电荷对一个点电荷Q的作用力的作用力1r2rirNrr2R1RiRNR等于单个点电荷分别对一个等于单个点电荷分别对一个点电荷的作用力之和。点电荷的作用力之和。iiiniRRQqF41210电场力具有可叠加性。电场力具有可叠加性。 由库仑定律知道，当一点

6、电荷放在另一点电荷的周围时，该点电荷要由库仑定律知道，当一点电荷放在另一点电荷的周围时，该点电荷要受到力的作用，这种力在空间各点的值都是确定的，因此，我们说在受到力的作用，这种力在空间各点的值都是确定的，因此，我们说在电荷周围存在矢量场。这种矢量场表现为对电荷有作用力，故称之为电荷周围存在矢量场。这种矢量场表现为对电荷有作用力，故称之为电场。电场。3. 电场强度电场强度 电场表现为对电荷的作用力，因此是矢量场。电场表现为对电荷的作用力，因此是矢量场。 电场的大小与方向用电场的大小与方向用电场强度电场强度表示。表示。 电场中某电场中某一一点点r处的电场强度处的电场强度E(r)定义为定义为单位试验

7、电荷单位试验电荷在该点所受的力在该点所受的力 qrFrEq)(lim)(0单位为单位为V/m(或或N/C) 根据电场强度定义和库伦定律根据电场强度定义和库伦定律位置在位置在r的点电荷的点电荷q，在，在r点的电场强度为：点的电场强度为：QRRQqkrEQlim)(2030204) (4)(rrrrqRRqrErrrrRRR同理，多个点电荷在同理，多个点电荷在r点的电场强度为：点的电场强度为：niiiiRRqrE1204)(这里，我们就由库仑（实验）定律得到了这里，我们就由库仑（实验）定律得到了真空中一个点电荷与多个点电荷的电场强度。真空中一个点电荷与多个点电荷的电场强度。可以看出，多个点电荷的电

8、场强度等于可以看出，多个点电荷的电场强度等于各单个点电荷的电场强度之和。各单个点电荷的电场强度之和。也就是说，也就是说，电场符合叠加原理。电场符合叠加原理。根据点电荷的电场，利用电场的叠加原理，就可以得到真空中根据点电荷的电场，利用电场的叠加原理，就可以得到真空中已知的各种分布形式的电荷的电场。已知的各种分布形式的电荷的电场。电荷体分布的电场电荷体分布的电场设在区域设在区域V中电荷密度为中电荷密度为 ，下面分析在，下面分析在r点的电场（强度）。点的电场（强度）。 r) (dVr) (dVr304RRRV)(rE同理可得到电荷面分布和线分布的电场强度同理可得到电荷面分布和线分布的电场强度的公式的

9、公式 dSRRrrEsS20) (41)( ) (41)(20dlRRrrEll电场计算步骤电场计算步骤1、建立坐标系、建立坐标系2、任取计算场的一点、任取计算场的一点-场点场点r3、在源分布区、在源分布区 取点电荷取点电荷 rdq4、写出此点电荷在场点的场、写出此点电荷在场点的场RRdqEd4120RRdq30415、在坐标系中表、在坐标系中表示示dVdqdldqlRR6、积分求和、积分求和dqRRE3041_+4、电力线、电力线电场在空间的分布可用电力线形象地描述。电力线是一族空间有向曲电场在空间的分布可用电力线形象地描述。电力线是一族空间有向曲线，起始于正电荷而终止于负电荷。电力线的稀疏

10、密度表示电场的强线，起始于正电荷而终止于负电荷。电力线的稀疏密度表示电场的强弱，电力线上一点的切线方向表示该点电场的方向。弱，电力线上一点的切线方向表示该点电场的方向。 正电荷的电力线正电荷的电力线负电荷的电力线负电荷的电力线正正电荷的电力线正正电荷的电力线正负电荷的电力线正负电荷的电力线正负带电板之间正负带电板之间的电力线的电力线例例1. 计算半径为计算半径为a，电荷线密度为常数的均匀带电圆环在轴线上的电场强度。，电荷线密度为常数的均匀带电圆环在轴线上的电场强度。 aRdl 解：adxyz建立坐标系建立坐标系在带电圆环取微长度元在带电圆环取微长度元dl此微长度元此微长度元dl相当于一个点电荷

11、相当于一个点电荷在轴线上的电场强度为在轴线上的电场强度为303044RadRRdqRladdldqll22zaR az zR2/32204) (zaadaz zl2/3220204zaazdzEl202/32204dzaazzl2/32202zaazzEl例例2. 计算半径为计算半径为R，电荷面密度为常数的均匀带电圆盘在轴线上的电场强度，电荷面密度为常数的均匀带电圆盘在轴线上的电场强度。 Rxyz解：解：S建立坐标系建立坐标系在园盘上取一个园环带在园盘上取一个园环带d此园环带的电荷线密度为此园环带的电荷线密度为22ddlqSSl由上例的结果，此园环带在轴线上由上例的结果，此园环带在轴线上的电场

12、强度为的电场强度为2/32202/322022zdzzzaazzSl2/322002zdzzESR2/322002zdzzRSRSzzzE02/1220)(12)(1122/1220RzzzzS02limzzzESR020200zzzzSS无限大的带电平板产生的电场为无限大的带电平板产生的电场为小结小结电荷的分布形式电荷的分布形式 电荷体密度电荷体密度 电荷面密度电荷面密度 电荷线密度电荷线密度 点电荷点电荷库仑定律库仑定律电场强度定义电场强度定义几种电荷分布电场强度的计算公式几种电荷分布电场强度的计算公式电力线电力线思考题思考题电荷体密度、面密度、线密度之间有什么关系？电荷体密度、面密度、线

13、密度之间有什么关系？电场强度的物理意义是什么？电力线和电场强度之间有什么关系？电场强度的物理意义是什么？电力线和电场强度之间有什么关系？你能计算点电荷在它所在点上的电场强度吗？为什么？你能计算点电荷在它所在点上的电场强度吗？为什么？ 2.2 真空中的静电场方程真空中的静电场方程 主要内容主要内容分析电场的通量分析电场的通量散度散度环量环量旋度旋度场和源的关系场和源的关系建立静电场方程建立静电场方程分析方法：分析方法：计算点电荷电场的通量和环量计算点电荷电场的通量和环量根据电场的可叠加性得到一般电荷的通量和环量根据电场的可叠加性得到一般电荷的通量和环量利用高斯定理计算电场利用高斯定理计算电场1

14、1）点电荷电场强度在封闭面上的通量）点电荷电场强度在封闭面上的通量 204)(RRqrEdSRRRqSdESS2040204qdSRqS当电荷在封闭面内当电荷在封闭面内当电荷在封闭面外当电荷在封闭面外4d0d1、电通量、电通量E rdSqqSqSS( ),00SSRSdRqSdE204SRSdRq204dq04立体角立体角dSRRd2RSd2 2）电场强度在封闭面上的通量）电场强度在封闭面上的通量根据电场的叠加性，各种分布形式电荷的静电场对封闭面根据电场的叠加性，各种分布形式电荷的静电场对封闭面的通量为的通量为SqSdrE0)(q为封闭面内的总电量。当封闭面内的电荷为体分布时，则为封闭面内的总

15、电量。当封闭面内的电荷为体分布时，则VdVrq)(V为封闭面包围的体积。为封闭面包围的体积。SVdVrSdrE) (1)(0静电场高斯定理静电场高斯定理SqSdrE0)(0SqSdrE)(0ED0qSdDS电位移矢量电位移矢量SSdD电通量电通量电通量密度电通量密度2、静电场的环量、静电场的环量 点电荷的电场中点电荷的电场中 ，电场强度从，电场强度从a点沿曲线点沿曲线l到到b点的线积分为点的线积分为 )11(444)(02020babababarrqrdrqrl drql drE以上线积分结果表明，点电荷电场的线积分仅与积以上线积分结果表明，点电荷电场的线积分仅与积分的两端点有关，与积分路径无

16、关，因此，点电荷分的两端点有关，与积分路径无关，因此，点电荷电场的闭合回路线积分为零电场的闭合回路线积分为零ll dE0根据电场的叠加性，多个点电荷或连续分布的电荷的电场都满足上根据电场的叠加性，多个点电荷或连续分布的电荷的电场都满足上式，也就是说，电荷产生的静电场的闭合回路线积分为零。式，也就是说，电荷产生的静电场的闭合回路线积分为零。 静电场是保守场。静电场是保守场。3、真空中的静电场方程、真空中的静电场方程 SqSdrE0)(VVdVdVE000dVEV0 Ell dE0VdVqSSdE00Ell dE00E真空中的静电场方程真空中的静电场方程积分形式积分形式微分形式微分形式真空中的静电

17、场是有散无旋场，散度真空中的静电场是有散无旋场，散度源是电荷体密度。源是电荷体密度。 电荷是静电场的通量源，正电荷是静电荷是静电场的通量源，正电荷是静电场的正源，而负电荷是负源，电力电场的正源，而负电荷是负源，电力线从正电荷出发，终止于负电荷。静线从正电荷出发，终止于负电荷。静电场是保守场。电场是保守场。 SqSdE00 E在电荷分布具有某种特殊对称性的情况下，可以利用真空中的静电场高在电荷分布具有某种特殊对称性的情况下，可以利用真空中的静电场高斯定理计算电场。斯定理计算电场。 例例1 真空中有一个半径为真空中有一个半径为a 的带电球，的带电球，电荷密度为电荷密度为 r a/ar解：解：由于电

18、荷分布具有球对称性，因此其电场由于电荷分布具有球对称性，因此其电场也具有球对称性，也具有球对称性， 在半径为在半径为r的同心球面上，电场的大小相的同心球面上，电场的大小相等，方向与球面的法线方向一致，等，方向与球面的法线方向一致， E dSE dSEdSr ErSSrSr42raardrrarddrdrdVqVrr42020 0 024sinraqdVrar draaV0234Erar raarr ra2030244,，求带电球内外的电场。，求带电球内外的电场。 SqSdE0a电场随半径的变化曲线电场随半径的变化曲线Erar raarr ra2030244,例例2.真空中，电荷均匀分布在一无限

19、长，内半径为真空中，电荷均匀分布在一无限长，内半径为a，厚度为，厚度为b的圆筒的圆筒中，电荷密度为常数中，电荷密度为常数 ，求电场。，求电场。ab解：解：电荷分布沿轴向均匀无限长，且具有轴对电荷分布沿轴向均匀无限长，且具有轴对称性，因此其电场也具有轴对称性，方向称性，因此其电场也具有轴对称性，方向沿圆柱的径向。沿圆柱的径向。 作半径为作半径为 ，长度为，长度为L的圆柱面，在圆柱面的圆柱面，在圆柱面上，电场的大小相等，方向和圆柱面法线上，电场的大小相等，方向和圆柱面法线相同，而在此圆柱的两个端面上，电场方相同，而在此圆柱的两个端面上，电场方向与端面的法线垂直，因此，穿过由圆柱向与端面的法线垂直，

20、因此，穿过由圆柱面和两个端面组成的封闭面面和两个端面组成的封闭面S的通量为的通量为 SSSSlEdSESdESdEdSE11220baa aq=0)(2220001allddVqVaba )2(220001abbllddVqVbaabaabbbaaaaE;22;2; 00200220SqlESdE02电荷为面分布电荷为面分布 如果圆筒的厚度如果圆筒的厚度b很薄，忽略厚度，将电荷看成为面分布，电荷面很薄，忽略厚度，将电荷看成为面分布，电荷面密度为密度为 aabbalabblSqs2)2(2)2(2020 aq=0a)2(220abblalqSaabbaE;22; 0020baabbbaaaaE;

21、22;2; 0020022000;SaEaa 0()()SnnEaEa0()()SnnEaEa表面电荷与界面上电场的关系表面电荷与界面上电场的关系电荷为体分布时的电场分布电荷为体分布时的电场分布电荷为面分布时的电场分布电荷为面分布时的电场分布高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解对称性的场才能得到解析解。计算步骤计算步骤：a a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b) 选择合适的高斯面，使电通量积分简化为选择合适的高斯面，使电通量积分简化为有以下几种情况：有以下几种情况

22、：1 1）球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。）球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳带电球体带电球体 球对称场的高斯面球对称场的高斯面SnSESdE12 2）轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。）轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 轴对称场的高斯面轴对称场的高斯面3 3）无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。）无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。( (a a) )( (b b) )( (c c) )小结小结1）由点电荷的电场出发，计算电场的电通量，得到

23、真空中静电场）由点电荷的电场出发，计算电场的电通量，得到真空中静电场 的的 高斯定理。高斯定理。2）由点电荷的电场出发，计算电场的环路积分；）由点电荷的电场出发，计算电场的环路积分；3）讨论真空中静电场）讨论真空中静电场 方程及真空中静电场方程及真空中静电场 的性质；的性质；4）用真空中静电场）用真空中静电场 的高斯定理计算电场。的高斯定理计算电场。2.3 电位电位 静电场是无旋场，静电场是无旋场， E0E ( )( )rE rRdVV1401( )4VrdVRE 01( )4VrdVR 1410( )rRdVV201( )4Vr RdVR1、的意义的意义 计算单位正电荷在电场力作用下做功计算

24、单位正电荷在电场力作用下做功AE dlab( )( )bbbaaadldldabl 单位正电荷在电场作用下，从点单位正电荷在电场作用下，从点a位移到点位移到点b，电场力所做的功等于，电场力所做的功等于位移起点的标量场值减去终点的标量场值。位移起点的标量场值减去终点的标量场值。 将电场和重力场相比较，电场对应的标量场相当于重力场中的势能。将电场和重力场相比较，电场对应的标量场相当于重力场中的势能。 表示电场中各点的势能，是从能量角度对电场的描述。表示电场中各点的势能，是从能量角度对电场的描述。 标量场标量场称之为电势或称之为电势或电位电位。 0 E已知电场强度时计算电位已知电场强度时计算电位(

25、)( )paE dlap 当当p点为电位零点，即电位参考点时点为电位零点，即电位参考点时， ( )aE dlap电场中某一点的电位等于单位正电荷在电场作用下从该点位移到电位电场中某一点的电位等于单位正电荷在电场作用下从该点位移到电位参考点时电场力所做功。参考点时电场力所做功。 同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同。有什么关系呢？同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同。有什么关系呢？ 设对于同一电场，以设对于同一电场，以p点为电位参考点时电位为点为电位参考点时电位为 以以q点为电位参考点时电位为点为电位参考点时电位为( )( )rrc2、电位的确定、电位的确定paqapqcal dEl d

26、El dEa)()(pal dEpa)()(对同一电场，选取不同的电位参考点时，其电位仅相差一个与两参考点有对同一电场，选取不同的电位参考点时，其电位仅相差一个与两参考点有关的常数。关的常数。选取不同的电位参考点并不影响所要计算的电压和对应的电场强度。选取不同的电位参考点并不影响所要计算的电压和对应的电场强度。要计算电位，首先要选择电位参考点，如何选择电位参考点？要计算电位，首先要选择电位参考点，如何选择电位参考点？1）在电荷分布在有限区域的情况下，一般选取无限远作电位参考点；）在电荷分布在有限区域的情况下，一般选取无限远作电位参考点；2）在电荷分布沿伸到无限远的情况下，必须选取有限区域中的点

27、作电）在电荷分布沿伸到无限远的情况下，必须选取有限区域中的点作电位的参考点，否则，在数学计算过程中将会发生困难。位的参考点，否则，在数学计算过程中将会发生困难。3）在工程上，由于大地的电位相对稳定，因此，一般取大地为电位参）在工程上，由于大地的电位相对稳定，因此，一般取大地为电位参考点。考点。 3、电位参考点、电位参考点4、电位方程、电位方程E 0 E 2020泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程5、利用电位计算电场、利用电位计算电场E 20( )( )rrRdVV140( )( )rrRdSsS140( )( )rrRdlll140( )rqR40E E 例例1求长度为求长度为L,电荷线

28、密度为电荷线密度为 的均匀带的均匀带电线的电位及电场。电线的电位及电场。解解：建立圆柱坐标系，使具有轴对称性的建立圆柱坐标系，使具有轴对称性的场与场与 无关无关xyzL/2-L/2014dldR ( , , ) z zdldz22()Rzz22014()dzzz积分得积分得22220()22ln4()22LLzzLLzz先计算线电荷上位置先计算线电荷上位置z的微元的微元dl在场点在场点( , ,z)的电位的电位2/2/220) (4)(LLzzdzr1( )()E rzz 22220122()4()()22LLzzLLzz222211()()()22zLLzzL 02E 例例. 求电量为求电量

29、为q，相距为，相距为d的一对正负点电荷组成的电偶极子的电场。的一对正负点电荷组成的电偶极子的电场。解：电偶极子电偶极子电偶极矩电偶极矩210 10 201 2( )444rrqqqrrrrr12, ,r r r可近似看成平行可近似看成平行21 211rrr20( )4p RrRdqpcos21drrdr cos2cos221drrdrr202044cos)(rrprqdr11()sinErrrr 3300cossin24ppErrr电偶极子等位线和电力线电偶极子等位线和电力线6、等位面、等位面电位分布可以用等位面形象描述。电位分布可以用等位面形象描述。等位面图是相邻电位差相等的一系列等位面。在

30、电场较强处，等等位面图是相邻电位差相等的一系列等位面。在电场较强处，等位面间距较近；在电场较弱处，等位面间距大。位面间距较近；在电场较弱处，等位面间距大。根据电场与电位的关系，电场方向总是与等位面法线方向一根据电场与电位的关系，电场方向总是与等位面法线方向一致，并指向电位减小一侧，即电场总与等位面处处垂直。致，并指向电位减小一侧，即电场总与等位面处处垂直。当电荷在某等位面上移动时，由于位移方向与电场方向垂直，当电荷在某等位面上移动时，由于位移方向与电场方向垂直，电场不做功电场不做功。小结小结电位的的意义电位的的意义电位和电场的关系电位和电场的关系电位参考点电位参考点电位方程电位方程利用电位计算

31、电场利用电位计算电场2.4 静电场中的介质与导体静电场中的介质与导体电磁场理论中电磁场理论中,将没将没 有物质的整个空间区域称为自由空间有物质的整个空间区域称为自由空间(Free Space).实际上空间总是有物质的。实际上空间总是有物质的。电磁场理论中，一般将物质称作电磁场理论中，一般将物质称作媒质媒质。物质是由原子组成的，其中包含有电荷（包括电子，原子核，离子等）。物质是由原子组成的，其中包含有电荷（包括电子，原子核，离子等）。当电场中有物质存在时，物质中的电荷和电场之间就会相互有有影响，当电场中有物质存在时，物质中的电荷和电场之间就会相互有有影响，这就是物质和电场的相互作用这就是物质和电

32、场的相互作用。物质中和电场有作用的电荷有两类：物质中和电场有作用的电荷有两类：1）在物质中可以自由移动的）在物质中可以自由移动的自由电荷自由电荷2）在物质中不可自由移动的）在物质中不可自由移动的束缚电荷束缚电荷电场中的物质也就分为两类：电场中的物质也就分为两类：1) 存在有自由电荷的导电媒质（导电体，导体）存在有自由电荷的导电媒质（导电体，导体）2）无自由电荷，仅有束缚电荷的电介质（介质，绝缘体）无自由电荷，仅有束缚电荷的电介质（介质，绝缘体）1、静电场中的导体、静电场中的导体导体中有自由电荷。包括自由电子导体中有自由电荷。包括自由电子和失去电子的离子。和失去电子的离子。-+当一个孤立导体放在

33、电场中，当一个孤立导体放在电场中，E自由电荷在电场力作用下运动。自由电荷在电场力作用下运动。使正负电荷分别聚集到导体的两侧表使正负电荷分别聚集到导体的两侧表面，它们在导体中产生的电场面，它们在导体中产生的电场E和原和原来的电场来的电场E相反，使导体内的电场逐渐相反，使导体内的电场逐渐削弱。削弱。E直到静电平衡直到静电平衡导体内没有电流，没有电场。也没有导体内没有电流，没有电场。也没有净电荷，电荷分布在导体表面附近的净电荷，电荷分布在导体表面附近的薄层里，形成感应面电荷。薄层里，形成感应面电荷。导体表面上感应面电荷的分布使得它产生的电场与外加电场在导体中导体表面上感应面电荷的分布使得它产生的电场

34、与外加电场在导体中互相抵消，从而使导体中的电场为零，导体外区域的电场发生改变。互相抵消，从而使导体中的电场为零，导体外区域的电场发生改变。因为导体内部电场处处为零，所以导体是等位体，导体表面是等位面，因为导体内部电场处处为零，所以导体是等位体，导体表面是等位面，导体表面上的电场与表面垂直。导体表面上的电场与表面垂直。在静电场中的导体内部电场为零。那么，如果导体中有一空腔，空在静电场中的导体内部电场为零。那么，如果导体中有一空腔，空腔中的电场是否也为零？导体内表面上有无面电荷分布呢？腔中的电场是否也为零？导体内表面上有无面电荷分布呢？E如果导体内空腔中有电场，该电场就一如果导体内空腔中有电场，该

35、电场就一定是腔壁上的电荷产生的，总能在腔中定是腔壁上的电荷产生的，总能在腔中找一条电力线找一条电力线0)()(babal dEab要使沿电力线对电场的线积分为零，电场必须为零。也就是说，空腔中电场强度也为零，所以腔壁上也就没有面电荷分布。这说明，不论导体外的电场有多大，导体壳内的电场总为零。.这就是导体壳的静电屏蔽作用。0E导体内部导体内部导体表面导体表面S2介质极化介质极化介质中无自由电荷。组成介质分子的原子中的电子，受分子和原子力介质中无自由电荷。组成介质分子的原子中的电子，受分子和原子力的作用仅在原子核周围运动，束缚在一起。的作用仅在原子核周围运动，束缚在一起。按组成介质的分子中的正负电

36、荷中心是否重合，介质分子分为两类按组成介质的分子中的正负电荷中心是否重合，介质分子分为两类：无极性分子：正负电荷中心重合无极性分子：正负电荷中心重合有极性分子：正负电荷中心不重合有极性分子：正负电荷中心不重合无外电场时，无极性分子组成的这种介质呈电中性。无外电场时，无极性分子组成的这种介质呈电中性。 有极性分子组成的这种介质呈电中性。有极性分子组成的这种介质呈电中性。介质放在电场中，发生介质极化现象，使介质呈电性，产生电场。因此，介质放在电场中，发生介质极化现象，使介质呈电性，产生电场。因此，我们说我们说电场使介质极化，介质极化又影响电场分布电场使介质极化，介质极化又影响电场分布。在电场作用下

37、在电场作用下，组成介质的分子中的组成介质的分子中的正负电荷中心就会受电场力发生位移，正负电荷中心就会受电场力发生位移，从而介质中平均每个分子都有电场方从而介质中平均每个分子都有电场方向的电偶极矩分量，使组成介质的大向的电偶极矩分量，使组成介质的大量分子的电偶极矩统计平均值不为零，量分子的电偶极矩统计平均值不为零，对外产生电场。这种现象叫介质极化。对外产生电场。这种现象叫介质极化。1）什么是介质极化）什么是介质极化位移极化位移极化 取向极化取向极化无极性分子有极性分子2）极化强度）极化强度VpPnnV0lim单位为C/m2单位体积中大量分子电偶极矩的统计平均值单位体积中大量分子电偶极矩的统计平均

38、值大量实验表明，介质极化后，极化强度与电场强度的关系为大量实验表明，介质极化后，极化强度与电场强度的关系为EPe0e介质的极化率介质的极化率3) 极化介质产生的电位极化介质产生的电位 ) (dVrPp20( )4p RrR204) ()(RdVrPRrd20 ) (41)(RdVRrPrV21 RRR 1 ) (410dVRrPVfAAfAf)(RPPRPR11)1( SVdSRnPdVRrPr 41 ) ( 41)(00PnPSSSVdSRrdVRrr ) ( 41 ) ( 41)(00VVdVPdVq SdSPq VdVRrPRrP) () (410束缚电荷束缚电荷物质（媒质）物质（媒质）

39、导电体导电体介质介质介质分子介质分子电偶极子电偶极子介质极化介质极化极化强度极化强度产生电场产生电场束缚电荷束缚电荷PnPSVVdVPdVq SdSPq 0E4) 击穿场强击穿场强介质击穿介质击穿当电场大于或等于某一数值时，介质中的束缚电荷就会脱离分子成为当电场大于或等于某一数值时，介质中的束缚电荷就会脱离分子成为自由电荷，使介质导电，从而失去绝缘性能，这种现象叫做介质击穿。自由电荷，使介质导电，从而失去绝缘性能，这种现象叫做介质击穿。击穿场强击穿场强刚发生击穿时所对应的电场强度称之为击穿场强刚发生击穿时所对应的电场强度称之为击穿场强。空气的击穿场强大约为空气的击穿场强大约为云母的击穿场强大约

40、为云母的击穿场强大约为橡胶的击穿场强大约为橡胶的击穿场强大约为变压器油的击穿场强大约为变压器油的击穿场强大约为玻璃的击穿场强大约为玻璃的击穿场强大约为聚乙烯塑料击穿场强大约聚乙烯塑料击穿场强大约击穿电压击穿电压mV /1036mV /101006mV /10406mV /10126mV /1096mV /10186小结小结1）什么是介质极化）什么是介质极化2）极化强度）极化强度3) 极化介质产生的电位极化介质产生的电位4) 击穿场强击穿场强2.5 介质中的静电场方程介质中的静电场方程SqSdrE0)(ll dE00 E0E真空中的静电场方程真空中的静电场方程积分形式积分形式微分形式微分形式在介

41、质中，出现了束缚电荷，因此方程中应加上束缚电荷。在介质中，出现了束缚电荷，因此方程中应加上束缚电荷。SqqSdrE0)(0 ESdSPq PSqSdPrE)(00PEPED0SqSdrD)( D1）介质场方程的导出）介质场方程的导出PED0EPe0EEDe0000)1 (er介质的介电常数r介质的相对介电常数ED2）介质中静电场方程）介质中静电场方程积分形式积分形式SqSdrD)(静电场高斯定理ll dE0微分形式微分形式 D0EED电位方程EE2为常数时3） 介质特性介质特性电场中，介质的特性由其介电常数确定。电场中，介质的特性由其介电常数确定。ED介质的结构方程介质的结构方程r与坐标无关，

42、是常数均匀介质与坐标无关，是常数均匀介质与坐标有关，是函数非均匀介质与坐标有关，是函数非均匀介质与电场大小无关线性介质与电场大小无关线性介质与电场大小有关与电场大小有关非线性介质非线性介质与方向无关与方向无关各向同性介质各向同性介质与方向有关与方向有关各向异性介质各向异性介质)(r)(E各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵zyxzyxEEEDDD333231232221131211ED均匀、线性、各向同性介质的介电常数与坐标位置，电场的大小和均匀、线性、各向同性介质的介电常数与坐标位置，电场的大小和方向都没有关系，是一常量，是简单介质。方向都没有关系

43、，是一常量，是简单介质。介质名称r介质名称r空气1.0006石英3.8油2.3云母5.4纸3（干燥）木材1.5-4有机玻璃 3.45水81石蜡2.1树脂3.3聚乙烯2.26聚苯乙烯2.55 DED)( EEE均匀介质均匀介质 E介质中的束缚电荷介质中的束缚电荷)11()( 0DEPrrrD1) 11(无源区的均匀介质中无源区的均匀介质中04）用介质中的高斯定理计算电场）用介质中的高斯定理计算电场 当媒质与电荷分布具有相同的特殊对称性时，即自由电荷，束缚电当媒质与电荷分布具有相同的特殊对称性时，即自由电荷，束缚电荷或和感应电荷都具有相同的特殊对称性时，就可以利用介质中高斯荷或和感应电荷都具有相同

44、的特殊对称性时，就可以利用介质中高斯定理方便地计算电场。定理方便地计算电场。例例1.半径为半径为a的导体球带电量为的导体球带电量为q，球外包一层厚度为，球外包一层厚度为b，介质常数为，介质常数为的介质，求导体球的电位。的介质，求导体球的电位。解：导体球和介质包层是同心的，都具有相同导体球和介质包层是同心的，都具有相同的球对称性，而电荷所在的导体球面是等的球对称性，而电荷所在的导体球面是等位面位面,那么电荷是均匀分布在球面，也具有那么电荷是均匀分布在球面，也具有相同的球对称性。相同的球对称性。对半径为对半径为r的同心球面的同心球面qDrSdDrS2424rrqD 在在 ara+b 204rrqE

45、)11(444)(202baaqrqdrrqdrl dEarbaabaaED例例2.同轴形电容器，内导体半径为同轴形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为，外导体内半径为b。它们之间填充。它们之间填充介质，长度为介质，长度为L。如果在内外导体之间加电压。如果在内外导体之间加电压V，忽略边缘效应，求此电容，忽略边缘效应，求此电容器中的电场。器中的电场。解：解：此电容器为轴对称结构，如果忽略边缘效应，此电容器为轴对称结构，如果忽略边缘效应，在电容器中的同轴圆柱面上电位移矢量的大小在电容器中的同轴圆柱面上电位移矢量的大小相等，方向为圆柱面的法向。相等，方向为圆柱面的法向。设内导体上带电荷为设内导体上

46、带电荷为q，取半径为，取半径为 的同轴圆的同轴圆柱面和其两端面构成封闭面柱面和其两端面构成封闭面SqLDSdDS2LqD2LqE2EDabLqLqdl dEVbabaln22abVLqln21lnabVE 小结小结1）介质场方程的导出）介质场方程的导出2）静电场方程）静电场方程3） 介质特性介质特性4）用介质中的高斯定理计算电场）用介质中的高斯定理计算电场2.6 静电场的边界条件静电场的边界条件1）什么是边界条件）什么是边界条件 为什么要了解边界条件为什么要了解边界条件不同媒质介面两侧，电场的关系称为边界条件。不同媒质介面两侧，电场的关系称为边界条件。媒质界面不均匀处出现束缚电荷或感应电荷，媒

47、质界面不均匀处出现束缚电荷或感应电荷，使界面两边的电场出现不连续，并使微分形式使界面两边的电场出现不连续，并使微分形式的静电场方程不能用在分界面上。因此，当讨的静电场方程不能用在分界面上。因此，当讨论的区域存在两种或两种以上媒质时，就需要论的区域存在两种或两种以上媒质时，就需要建立不同媒质分界面两边电场的关系的边界条建立不同媒质分界面两边电场的关系的边界条件。件。2）分界面两侧电位移矢量法向分量的关系）分界面两侧电位移矢量法向分量的关系跨分界面上取一个很小的柱形封闭面跨分界面上取一个很小的柱形封闭面SDSDSdDnSnh210snnDD21sDDn)(21Sqsh 0SSDSDsnn213）分

48、界面两侧电场强度切向分量的关系）分界面两侧电场强度切向分量的关系0ldlE0h021lElEttttEE2121EnEn4）介质与介质界面的边界条件）介质与介质界面的边界条件0snnDD21ttEE21nnEE2211ntntEEEE222111221111tgtgEn不连续不连续 为什么为什么En不连续？不连续？ 界面上有束缚面电荷！界面上有束缚面电荷！如何计算界面上的束缚面电荷如何计算界面上的束缚面电荷SSPPSnnh)(120nnSPP12EDP)()(21210nnnnsDDEEsnnsEE)(210在两种介质边界上，无自由电荷在两种介质边界上，无自由电荷 snnEE()012电位在两

49、种介质界面上的边界条件为电位在两种介质界面上的边界条件为 1122nnnnEE2211ttEE2112SSdPqsnnDD21ttEE21边界条件边界条件两种介质边界两种介质边界nnEE2211ttEE211122nn12界面上的束缚面电荷界面上的束缚面电荷snnsEE)(210snnEE()0125)导体表面导体表面(导体与介质界面导体与介质界面)的边界条件的边界条件 snnDD21ttEE21SnD0tE电场垂直于导体表面，且表面上的感应电场垂直于导体表面，且表面上的感应电荷面密度等于表面上的电位移矢量的电荷面密度等于表面上的电位移矢量的大小。大小。 对应的电位的边界条件为对应的电位的边界

50、条件为 sn常数 导体表面是等位面导体表面是等位面 例例1. 两块导电平板平行放置，之间填充厚度分别为两块导电平板平行放置，之间填充厚度分别为d1和和d2的两层介质。两导的两层介质。两导电板间的电压为电板间的电压为V，忽略边缘效应，求它们之间的电场及电荷分布。，忽略边缘效应，求它们之间的电场及电荷分布。解：解： 忽略边缘效应，忽略边缘效应， 导电板上的电荷均匀分布导电板上的电荷均匀分布 在导电板之间，电场电力线为平在导电板之间，电场电力线为平行的直线，方向为从正指到负，行的直线，方向为从正指到负，两介质中的电场分别是均匀的两介质中的电场分别是均匀的 1122EEE dE dV1122EVdd1

51、21221EVdd211221正、负极板上的电荷面密度分别正、负极板上的电荷面密度分别为 snnDEVdd11111212211221212222ddVEDnns两介质界面的束缚电荷面密度为两介质界面的束缚电荷面密度为 )()( 2112210120ddVEEnns小结小结1）什么是边界条件，为什么要了解边界条件）什么是边界条件，为什么要了解边界条件2）分界面两侧电位移矢量法向分量的关系）分界面两侧电位移矢量法向分量的关系3）分界面两侧电场强度切向分量的关系）分界面两侧电场强度切向分量的关系4）介质与介质界面的边界条件）介质与介质界面的边界条件5) 导体表面导体表面(导体与介质界面导体与介质界

52、面)的边界条件的边界条件2.7 电位的边值问题与解的唯一性电位的边值问题与解的唯一性 1）什么是电位的边值问题）什么是电位的边值问题一个已知有界区域中的（静）电场的源一个已知有界区域中的（静）电场的源 E及有界区域边界上电场的边界条件，求解电场的问题及有界区域边界上电场的边界条件，求解电场的问题0E可以分为两步求解：可以分为两步求解： 先求解电位先求解电位 ，再求电场强度，再求电场强度E求解电位求解电位 就是求解就是求解 满足给定边界（边值）条件下满足给定边界（边值）条件下2的解。的解。电位的定解问题又称为电位的定解问题又称为电位的边值问题电位的边值问题。 2）电位边值问题的分类）电位边值问题

53、的分类根据已知区域边界条件（定解条件）的不同，电位边值问题分为三类：根据已知区域边界条件（定解条件）的不同，电位边值问题分为三类：第一类是给定区域边界上的电位值，这类问题又称为狄里赫利第一类是给定区域边界上的电位值，这类问题又称为狄里赫利(Dirichlet)问题；问题；第二类是给定区域边界上的电位的法向导数值，又称为纽曼第二类是给定区域边界上的电位的法向导数值，又称为纽曼(Neumann)问题。问题。第三类是混合边值问题，在区域的一部分边界上给定电位值，另第三类是混合边值问题，在区域的一部分边界上给定电位值，另一部分边界上给定电位的法向导数值。一部分边界上给定电位的法向导数值。 2fS2gS

54、n3）电位边值问题解唯一的条件）电位边值问题解唯一的条件 对于具体的边值问题，对于具体的边值问题， 求解前必须讨论以下问题：求解前必须讨论以下问题：解的存在性解的存在性解的唯一性解的唯一性解的稳定性解的稳定性求解方法求解方法静电场电位边值问题解的唯一性定理指出：静电场电位边值问题解的唯一性定理指出：当在场域中电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上满足三类当在场域中电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上满足三类边值条件之一时，电位是唯一的。边值条件之一时，电位是唯一的。 唯一性定理是关于边值问题的一个重要定理。唯一性定理是关于边值问题的一个重要定理。它不仅指出了满足边值条件的场方程的解是唯一

55、的；它不仅指出了满足边值条件的场方程的解是唯一的；而且，当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能够找而且，当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足场方程的话，则到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的解。根据唯一性定理可以确信它即是所要求的解。解：解：bra002由题意，电位具有球对称性由题意，电位具有球对称性)(),(rr0)(122drrdrdrdr0sarr0br21)(crcr)11()(02brars021sac bacs022例例2. 在无限大、电位为零的导

56、电平板上方垂直放置一个无限长的、张角为在无限大、电位为零的导电平板上方垂直放置一个无限长的、张角为 的导电圆锥，电位为的导电圆锥，电位为V。求导电圆锥与导电平板之间区域中的电位。求导电圆锥与导电平板之间区域中的电位。x =V =0解：解：这种结构具有轴对称性，因此电位与这种结构具有轴对称性，因此电位与 无关，又由于无限大的电位边界上无关，又由于无限大的电位边界上电位与电位与r无关，所以电位仅是无关，所以电位仅是 的函数，的函数，电位方程为电位方程为 2210rddddsin(sin)( )ln()ctgc122( )V/ 2()20cVtg12ln()c20( )ln()ln()Vtgtg22

57、z2小结小结1）什么是电位的边值问题）什么是电位的边值问题2）电位边值问题的分类）电位边值问题的分类3）电位边值问题解唯一的条件）电位边值问题解唯一的条件 4）举例求解电位方程（一元函数）举例求解电位方程（一元函数）2.8 2.8 分离变量法分离变量法 分离变量法是一种最经典的求解微分方程的方法，分离变量法分离变量法解题步骤：解题步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。它适用于求解具有理想边界条

58、件的典型边值问题 。采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程的通解，只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。解：选定直角坐标系Vyxaxayayaxaxyayx)0,()0,()0,0()0,0(22220000（1）（2）（3）（4）(5）边值问题例1.一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁(盖)与三壁绝缘且保持电位为V，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。 02222222zyx2) 分离变量分离变量)()(),(yYxXyx02222yx0 XYYXXY/0 YYXX0)()(ygxf2xk2yk00 0 2222yxyxkkYkY

59、XkX3）解常微分方程解常微分方程xjkxjkxxececxX21)(yjkyjkyyececyY43)(022yxkkkx与与ky y一个是实数，另一个是虚数。一个是实数，另一个是虚数。取实数的对应周期（三角）函数，取实数的对应周期（三角）函数，取虚数的对应指数函数取虚数的对应指数函数。由边界条件由边界条件, ,在在 x x方向可为三角函数方向可为三角函数, ,因此取因此取kx x为实数为实数 在在 y y方向可为指数函数方向可为指数函数, ,因此取因此取ky y为虚数为虚数xyjkk22xykkykykyyxxececyYykcykcxY4343)()sin()cos()(02XkXx)s

60、in()cos()(21xkcxkcxXxx如果如果02xk022xk02XXxxececxX21)()()(),(yYxXyx)sin()cos(4321ykykxxxxececxkcxkc4)4)由边界条件确定常数由边界条件确定常数Vaxayayaxaxyayx)0,()0,()0,0()0,0(00001c34cc2 3sin()xxk yk yxc ck xee 0)sin(akxmakxamkx, 3 , 2 , 1m)sin(),(1yamyammmeexamAyx12sin()()mmmVAx sh ma?mA1( , )2sin()()mmmmx yAx shyaa12()si