利用导数研究函数的图像-曲线的绘制

1、第四节 利用导数研究函数的图像 曲线的绘制主要内容：一、函数的凸凹性二、利用导数绘制函数的图像 在研究函数特性时往往需要在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形出函数的较精细的图形. .本节将本节将研究这个问题研究这个问题. .一、曲线弯曲方向凹凸性观察右图：观察右图：xyo)(xfy )0(fx 当当 从从小小变变大大时时，也也从从小小变变大大. .( )xfx ( )f x 的的图图像像为为凹凹弧弧单单调调增增加加( )f x 切线的斜率切线的斜率越来越大越来越大观察右图：观察右图：

2、xyo)(xfy )0(fx ( )xfx 当当 从从小小变变大大时时，从从大大变变小小. .( )f x 的的图图像像为为凸凸弧弧单单调调减减少少( )fx 切线的斜率越切线的斜率越来越小来越小例例判判断断曲曲线线的的凹凹凸凸性性31.yx 解解当当时时，0 x 当当时时，0 x 0,) 曲曲线线在在为为凹凹的的. .(0,0).注注意意到到点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点(,0 曲曲线线在在为为凸凸的的；23,yx 6 ,yx :(,).D 0,y 0,y 凸凸弧弧凹凹弧弧3yx ( ),( ).yf xPPLLyf x 当当曲曲线线上上的的一一动动点点沿沿着着曲曲线线移移

3、向向无无穷穷点点时时 如如果果点点到到某某定定直直线线 的的距距离离趋趋向向于于那那么么直直线线就就称称为为曲曲线线的的一一条条定定义义 零零渐渐近近线线二、利用导数绘制函数的图像、曲曲线线的的渐渐近近线线1曲曲线线的的渐渐近近线线铅铅直直渐渐近近线线水水平平渐渐近近线线斜斜渐渐近近线线()x垂垂直直于于轴轴的的铅铅渐渐近近线线渐渐近近线线直直 如如果果或或那那么么就就是是的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线000lim( )lim( )( ).xxxxf xf xxxyf x 水水平平渐渐近近线线 平平行行于于轴轴的的渐渐近近线线()x 如如果果或或为为常常数数 那那么么就就是是的的一一条条水水

4、平平渐渐近近线线lim( )lim( )()( ).xxf xbf xb bybyf x 例例如如有有两两条条铅铅直直渐渐近近线线1(2)(3)2,3.yxxxx 两条两条铅铅直渐近直渐近线线有有两两条条水水平平渐渐近近线线arctan,.22yxyy 如如果果或或为为常常数数那那么么就就是是的的一一条条斜斜渐渐近近线线lim ( )()0lim ( )()0( ,)( ).xxf xaxbf xaxba byaxbyf x 斜渐近线斜渐近线求法求法: :( )lim,lim ( ).xxf xaf xaxbx即即为为曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线( ).yaxbyf x 斜斜渐渐近近线

5、线( )lim( )lim,lim ( ),( ).xxxf xxf xaxf xaxyf x 注注意意： 如如果果不不存存在在， 或或存存在在但但不不存存在在 可可以以断断定定不不存存 在在斜斜渐渐近近线线 例例求求曲曲线线的的渐渐近近线线2(2)(3)2( ).1xxf xx 解解 函函数数的的定定义义域域为为:(,1)(1,),D 112(2)(3)lim( )lim,1xxxxf xx 曲曲线线的的渐渐近近线线铅铅直直渐渐近近线线水水平平渐渐近近线线斜斜渐渐近近线线提示与分析：提示与分析：定义域不存在的点定义域不存在的点自变量趋向无穷远自变量趋向无穷远处，函数的极限处，函数的极限斜渐近

6、线与水平渐近斜渐近线与水平渐近线不会同时出现线不会同时出现112(2)(3)lim( )lim.1xxxxf xx 2(2)(3)lim2 1xxxxx 2(2)(3)2 (1)lim1xxxx xx 又又( )limxf xx .1x 是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线24.yx是是曲曲线线一一条条斜斜渐渐近近线线的的2(2)(3)lim(1)xxxx x2, 4, 通分通分412lim1xxx 的的两两条条渐渐近近线线如如图图2(2)(3)( )1xxf xx 、利利用用导导数数绘绘制制函函数数的的图图像像2图形描绘的步骤：图形描绘的步骤：(1)(2)(3)(4)确确定定函函数数的的定定

7、义义域域；考考察察函函数数的的对对称称性性、周周期期性性；求求函函数数的的间间断断点点、不不可可导导点点，把把定定义义域域分分成成若若干干个个子子区区间间；列列表表讨讨论论函函数数在在各各个个凸凸驻驻子子区区间间内内的的增增减减性性、性性，判判断断极极值值点点凹凹点点和和拐拐点点；确确定定曲曲线线的的渐渐近近线线；求求曲曲线线上上的的一一些些辅辅助助点点，比比如如与与坐坐标标轴轴的的交交点点；根根据据以以上上讨讨论论，从从左左到到右右，把把曲曲线线上上的的特特殊殊点点用用平平滑滑曲曲线线连连接接起起来来，完完成成作作图图(5)(6)(7).( )x ( )0,0,xx 驻驻点点令令得得 例例作

8、作函函数数e e的的图图形形23( ).xx 解解 定定义义域域为为:(,),D 函函数数为为偶偶函函数数，令令得得特特殊殊点点( )0,22,22.xxx 只只需需做做的的函函数数图图像像，(0,) ( )x e e22,xx e e2()x eeee22224.xxx e e2( 2)xx e e得得水水平平渐渐近近线线2lim ( )lim0,. 0 xxxxy 列列表表确确定定单单调调区区间间、凹凹凸凸区区间间及及极极值值、拐拐点点.x( )x ( )x ( )x 002 极极大大值值12(0,)2 220 拐拐点点e e21(,)22(,)2 凸凸凹凹e ee ee ee e2222

9、22( )2,( )242(21).xxxxxxxxx xyo2222 1三、应用举例这这是是一一道道关关于于最最大大、最最小小值值的的应应用用题题.例例已已知知某某厂厂生生产产 件件产产品品的的成成本本为为 元元 ，问问：若若使使平平均均成成本本最最小小，应应该该生生产产多多少少件件产产品品？若若产产品品以以每每件件元元售售出出，要要使使利利润润最最大大，应应该该生生产产多多少少件件产产品品？24( )25000200()40(1)(2)500 xxC xx 先先建建立立目目标标函函数数，然然后后再再用用求求最最值值的的方方法法求求出出未未知知量量. .提示与分析：提示与分析：解解由由得得2

10、(1)( )25000200,40 xC xxd d因因而而d dCx 平平均均成成本本250( )2000040 xC xx() 225000,140 x 舍去舍去d d令令得得d d0,Cx 故故生生产产件件产产品品可可使使平平均均成成本本最最小小1000.或或10001000.xx 唯一唯一驻点驻点利利润润函函数数(2)( )L x d d由由得得d d30006000,20Lxxx故故生生产产件件产产品品，可可使使利利润润最最大大6000.2(25000200)40 xx500 x总总收收入入成成本本唯一唯一驻点驻点函数的增减性函数的增减性最值问题最值问题例例心心理理学学研研究究表表明明，小小学学生生对对概概念念的的接接受受能能力力即即学学习习兴兴趣趣、注注意意力力、理理解解力力的的某某种种量量度度 随随时时间间 的的变变化化规规律律为为问问 为为何何值值时时学学生生学学习习兴兴趣趣增增加加或或减减退退？何何时时学学习习兴兴趣趣最最大大？25()( )0.12.6430,30.GtG ttttt 解解( )0.22.60.2(13),G ttt 所所以以是是的的最最大大值值13( ).xG t 13. 可可见见讲讲课课开开始始后后第第分分钟钟时时小小学学生生兴兴趣趣最最大大 在在此此时时刻刻之