空间解析几何

1、数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间曲面和曲线空间曲面和曲线在几何空间中:空间空间对象对象 点点, , 线线, , 面面基本基本工具工具 ：向量代数向量代数 坐标坐标, , 方程组方程组, ,目录方程方程目录第一节向量及其线性运算向量： 既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。向量表示：1M2M a21MM模长为1的向量.模长为0 的向量.0|a21MM| |向量的模： 向量的大小.或或1、概念单位向量：零向量:ae1、概念自由向量： 与起点无关的向量，可平行移动.相等向量： 大小相等且方向相同的向量.ab负向量： 大小相等但方向相反的向量.a

2、a a向径： 空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量. 2、两非零向量的关系相等： 大小相等且方向相同的向量.ab ab记为平行或共线： 方向相同或相反的两个非零向量. / /ab记为垂直： 方向成90夹角的两个非零向量. ab记为注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。ababb2、两非零向量的关系共面： 把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.abc1、向量的加减法 加法：cba abc（平行四边形法则）特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）向量的加

3、法符合下列运算规律：交换律：.abba 结合律：cbacba )().(cba 加负律：. 0)( aa(2) 减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2、向量与数的乘法 定义：设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为 , 0) i|aa , 0) ii0 a , 0) iii|aa aa2a21 数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律：)()(aa a)( 分配律：aaa )(baba )(向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。例1 化简 53215abbba解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例2 试用向量方

4、法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与 平行且相等,BC结论得证.ABCDMab同方向的单位向量，表示与非零向量设aea按照向量与数的乘积的规定，aeaa|aeaa|向量单位化：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.(2)单位向量的表示0.ababa定理设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使(3) 两个向量的平行关系（共线定理）证:充分性显然； 下面证明必要性,/ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ba故故 有有.

5、ba则则此此时时与与同同向向aa又又aab ,b.的唯一性的唯一性再证明再证明 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即证毕注：此定理是建立数轴和坐标的理论依据.,OxiO确确定定了了数数轴轴及及单单位位向向量量设设点点 Oix,P对于轴上任一点对于轴上任一点P,OP对对应应一一个个向向量量,/xiOP数数所所以以，必必存存在在唯唯一一的的实实由由于于 ,.OPxiOPx 使使则则与与实实数数 一一一一对对应应向量向量点点Pi xOP x实数实数 ( 的坐标）的坐标）P. ixOPxP 的的坐坐标标为为1x1、坐标系的构成坐标原

6、点：定点O坐标轴：以O为原点的三条相互垂直的数轴 横轴( 轴)、纵轴( 轴)、竖轴( 轴)三个坐标轴的正方向要符合右手系：以右手握住 轴，当右手的四个手指从正向 轴以 角度转向正向 轴时，大拇指的指向是 轴的正向.x横轴y纵轴z竖轴 oxyzz这三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，记为Oxyz.xyz2xyozxOy面yOz面zOx面空间直角坐标系共有八个卦限2、点、向量与坐标设 是以坐标原点为起点，M为终点的向量， 在空间直角坐标系Oxyz的三条轴的正方向分别取三个单位向量 称为基本单位向量.M xyzoRPAQ aOMOAAM OAOR OPPAOR OPOQOR, , i j kikx

7、iy jzk( , ,R)x y z称有序数组 为向量 或点M的坐标，简记为 或 .( , , )x y zMOM 点向量( , , )x y z( , , )ax y zaaa( , , )M x y zj加法),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 1、向量的加减法与数乘;kajaiazyx ;kbjbibzyx 减法数乘2、平行向量的坐标表示式abba /( ,)(,)

8、xyzxyzb b ba a azzyyxxababab 若某个分母为0，则相应的分子也为0解例3 求解以向量为未知元的线性方程组byxayx24=(3,1,2),=(5, 1,4).-ab其中 解二元一次方程组，易得).(21,2bayabx ,a b以的坐标表示式代入 得),6 , 3, 7()2 , 1 , 3()4 , 1, 5(2 x).1, 1 , 1()4 , 1, 5(21)2 , 1 , 3(21 y例4 已知两点A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及实数 -1，在直线AB上求点M，使.MBAM 解),(111zzyyxxAM ),(222zzyyxxMB

9、设),(zyxM为直线上的点，ABMxyzo注意：注意：点的坐标是向径的坐标，向量的坐标是端点坐标之差。由题意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 向量的模:1、向量的模与两点间的距离公式:有有如如下下图图所所示示作作设设向向量量,),(rOMzyxr ),(zyxMxyzoPQRNKHOROQOPOMr 按勾股定理可得.|222OROQOPO

10、Mr |,| |,| |,|zORyOQxOP 有有,kzORj yOQi xOP 由由222.|rxyz于是得向量模的坐标表示式两点间的距离公式:),(),(222111zyxBzyxA和和点点设设有有点点由由的的模模即即向向量量的的距距离离和和点点则则点点.|ABABBA),(),(111222zyxzyxOAOBAB ),(121212zzyyxx 两两点点间间的的距距离离即即得得BA,.)()()(|212212212zzyyxxABAB 解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222

11、32MM,13MM 原结论成立.解OAOBAB )1 , 3 , 5()5 , 0 , 1( ).4 , 3, 4( .414)3()4(|222 AB).4 , 3, 4(411| ABABe于是于是解设P点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 2、方向角与方向余弦空间两向量的夹角的概念:, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或

12、空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 0() 非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.方向角显然有显然有xyzo 1M 2M PQR , .r 记记非非零零向向量量 的的三三个个方方向向角角为为 ,0 ,0 .0 方向余弦由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 方向余弦通常用来表示向量的方向.),(zyxr 令令向量的方向余弦方向余弦的特征1coscoscos222 re|rr ).cos,cos,(cos 特殊地：单位向量的方向余弦为例8 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 计算解 (1 3,53,1 1)A

13、B ).0 , 2 , 2( 222 |( 2)202 2.AB ; 0cos,22cos,22cos 于是于是.2,4,43 从而从而解,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 3、向量在轴上的投影uMOM e ,()Oeu一般地 设点 及单位向量 确定 轴 如图,(),Prj( ) . uurOMrMuuMMMuOMruOMeru

14、rr任给向量作再过点作与 轴垂直的平面交 轴于点点叫点在 轴上的投影 则向量称为 在 轴上的分向量设则数 称为 在 轴上的投影 记作或向量在轴上的投影是 数(,)xyzaOxyza aaa在直角坐标系中的坐标为,则 在三坐标轴上的投影分别为向量在三坐标轴上的投影= Prj,= Prj,= Prjxxyyzzaaaaaa ,xyzxyzaaaaaa或记作 向量投影的性质( )=|cos( , )uiaaa u()( )( )+=+.uuuiiabab()( )=.uuiiiaa解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为

15、为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.一、向量概念1、概念2、两非零向量的关系二、向量的线性运算1、向量的加减法2、向量与数的乘法三、空间直角坐标系1、坐标系的构成2、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线性运算1、向量的加减法与数乘2、平行向量的坐标表示五、向量的模,方向角,投影1、模与距离公式2、方向角与方向余弦3、向量在轴上的投影第二节向量的内积 外积与混合积其中其中 表示表示 与与 的夹角的夹角. cos|sFW 启示启示实例实例两向量作这样的两向量作这样的运算可以得到一个运算可以得到一个数量数量. .s F Fs1M2M记为 . 为 与 的内积、点积或数量积，记作 或

16、, 其中 为向量 与 的夹角，( , ) |cosa ba ba b 定义定义设 和 是两个向量，则称abab|cosa b a b( , )a bab ab,a b(0) 即|cosPrj,abb|cosPrj,baa|Prjba bba |Prj.aab注注 两向量的内积等于其中一个向量的模和另一个两向量的内积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积向量在这向量的方向上的投影的乘积. .内积的内积的性质性质：2000( ).aba bab 当当 且且 时时，)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0

17、cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 内积符合下列运算规律：内积符合下列运算规律：(1) 交换律：;abba (2) 分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 若 、 为数，则 ).()()(baba (3) 若 为实数，则,kajaiaazyx kbjbibbzyx ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 内积的坐标表达式内积的坐标表达式设在空间直角坐标系Oxyz中， 为基本单位向量，, , i j k cos|baba ,|cosb

18、aba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知由此可知两向量垂直的两向量垂直的充要条件：充要条件：00 xxyyzzaba ba ba ba b解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 (3)|Prjba bbaPrj3.|ba bab .43 证cacbbca )()()()(cacbcbca ()b ca ca c 0 cacbbca )()(启示启示实例实例两向量作这样的两向量作这样的运算可以得到一个运算可以得到一个

19、向量向量. .|FOQM sin|FOP LFPQO 定义定义设 和 是两个向量，若向量 满足：ab, ca cb 则称 为 与 的外积、叉积或向量积，记作 .ab, , a b c三个向量组成右手系c| |sin,ca ba bcababc特殊地，当两个向量中有一个是零向量时，规定 .0ab外积的外积的性质性质：. 0)1( aa)0sin0( (2)00 0.ababab 当 且 时，)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 ab(3) |sinSa b 外积符合下列运算规律：外积符合下列运算规律：(1).a

20、bba (2) 分配律：()abcacbc).()()(bababa (3) 若 为实数，则()abcabacabab ,kajaiaazyx kbjbibbzyx ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 外积的坐标表达式外积的坐标表达式设在空间直角坐标系Oxyz中， 为基本单位向量，, , i j k还还可用三阶行列式表示可用三阶行列式表示ab由上式也可推出由上式也可推出()()()yzzyzxxzxyyxaba ba b i

21、a ba bja ba bkyzxyxzxyzyzxyxzxyzijkaaaaaaijkaaabbbbbbbbb,(0,0,0)yzxyxzyzxyxzaaaaaabbbbbb 0ababyzxxyzaaabbb例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kj|ccec ABC解D(0,4, 3)AC (4, 5,0)AB 三角形ABC的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 1 |2SBD| AC

22、|521225BD | 5.BD 例4例例 5 5 设向量设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直，符合右手规则，且4| m，2| n，3| p，计算，计算pnm )(.解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，定义定义设 是三个向量，则称数量积 为向量 的混合积，记作 或 . , ,a b c()a bc, ,a b c()abc abc ()0 ()0()abcabcabc , ,a b c共面ababc设在空间直角坐标系Oxyz中， 为基本单位向量，, , i j k(,)xyza

23、aaa(,)xyzbbbb(,)xyzcccc()()abca b c zyxzyxzyxcccbbbaaa ()yzxyxzxyzyzxyxzaaaaaaijkc ic jc kbbbbbbyzxyxzxyzyzxyxzaaaaaacccbbbbbb, ,0 xyzxyzxyzaaaa b cbbbccc共面混合积的混合积的坐标表达式坐标表达式混合混合积积的的性质性质： 的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积.acbba ()()|cosabcabcab c , ,a b c|cos|Vabc ()()()abcbcacab ()()()baccbaacb VV若 组成右手系（如上图），

24、则, ,a b c解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2),(2cba . 4 例例6 6解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.212121(,)ABxxyyzz| ),( |61ADACABV 313131(,)ACxxyyzz414141(,)ADxxyyzz14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负

25、号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.例例 8 已知向量已知向量 , , , aAB 解bAC 2 ADB(1) 求证求证;|2|2bbabaSADB (2) 当当 与与 的夹角的夹角 为何值时为何值时ADB 的面积最大的面积最大?ab ADCB(1)|21BDADSADB aa1|cos| |sin2a21| sin|cos|.2 a bab | |cos|,sin| | baba a bab |cos|,| , |sinbaba | |212babababaaSADB . |2|2bbaba (2)ADBSa21| sin|cos|2 a 21| |sin2

26、 |,4 当当 , 即即 或或 时时, ADB 的面积最大的面积最大.4 sin21 3 4 ab0ab(,)xyzaaaa(,)xyzbbbb(,)xyzccccab0a b0 xxyyzza ba ba b, ,a b c共面几何关系几何关系向量的向量的代数运算代数运算坐标关系坐标关系设三个非零向量 0 xyzxyzxyzaaabbbccc()0abc yzxxyzaaabbb第三节平面及其方程取定三维空间中的一个直角坐标系，如果空间中的几何图形 S 与三元方程 F( x, y, z ) = 0 具有下述关系：(1) 图形 S 上的任意点的坐标都满足此方程，则 F( x, y, z ) =

27、 0 叫作 S 的方程的方程, S 叫作方程方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.(2) 所有坐标满足此方程的点都在图形 S 上,图形及其方程则必有 ，从而xyzo0MM设平面通过点 ，并且垂直于非零向量 ，下面建立平面的方程. 设平面上的任一点为 ， ),(zyxMnMM 000 nMMnMxyz0000(,)nA B C( ,) 称垂直于平面的非零向量 为该平面的法向量M MOMOMxxyyzz00000(,) 000()()()0A xxB yyC zzn 平面的点法式方程由于因此xyzo解( 3,4, 6)AB ( 2,3, 1)AC 取ACABn (14,9, 1),

28、所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得. 015914 zyxABCn132643 kji1(1, 1,1),n 2(3,2, 12)n 取法向量21nnn (10,15,5), , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得. 0632 zyx所求平面方程为解二平面的法向量分别为由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0AxBy CzD平面的一般方程法向量nA B C( ,) （三元一次方程）平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点.0 DCzByAx0AxByCzxyzo, 0)2( A

29、, 0, 0DD平面通过x轴；平面平行于x轴.0,B 类似地可讨论： ), 0(CBn x垂垂直直于于 轴轴，0ByCzD0,C 0,AxCzD0,AxByD平面平行于或通过y轴；平面平行于或通过z轴.xyzo, 0)3( BA平面平行于xOy坐标平面.类似地可讨论：0,ACCDz 即即xyzo0,BC平面平行于yOz坐标面.平面平行于zOx坐标面；（常数）,DyB 即即,DxA 即即,DDDabcABC令代入1 czbyaxx轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距xyzocba0AxBy CzD可得平面的截距式方程(4)0,0,0,0ABCD设 是空间中不在同一直线上的三点，则

30、可以建立过这三点的平面方程：则向量 共面，从而混合积设平面上的任一点为 ， ),(zyxMMxyzMxyzMxyz111122223333(,),(,),(,) M M M MM M11213 0 平面的三点式方程即M M M MM M11213, xxyyzzxxyyzzxxyyzz1112121213131310设此平面方程为, 0 DCzByAx由平面过原点知 .D0 0236 CBA(4, 1,2),n 024 CBA,32CBA . 0322 zyx故所求平面方程为解(6, 3,2) 因平面过点，故有例3( , , )nA B C法向量1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平

31、面的夹角.通常规定平面夹角为锐角，即 ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxAnA B C1111(,), 2222(,),nA B C 定义02 按照两向量夹角余弦公式有两平面位置特征：21)1( 1212120.A AB BC C21)2( /11112222.ABCDABCD两平面夹角余弦公式121212cos|cos,| n nn nnn 12(3) 重重合合11112222.ABCDABCD120n n121212222222111222|A AB BC CABCABC120nn例4210 xyz 求求两两平平面面解2222231)1(2)1(|3112

32、01|cos 160 故夹角.601arccos 310.yz和和的的夹夹角角12( 1,2, 1),(0,1,3)nn 例5 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1)，且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.:, , )nA B C 其其法法线线向向量量为为（， 解 设所求平面为：A(x1)+B(y1)+C(z1)=01 nn1212( 1,0, 2),M MM Mn 在在平平面面上上 有有10,(1,1,1)xyzn 又又因因，已已知知平平面面其其，,由由已已知知两两平平面面垂垂直直，则则其其法法线线向向量量亦亦垂垂直直 20AC2 ,AC BC 解解得得 20 xyz化化简简

33、得得为为所所求求平平面面. .1 nn 又又由由， 0,ABC即即20 0ACABC (1)(1)(1)0:A xB yC z代代入入解解之之得得2(1)(1)(1)0 xyz12,20M MnAC 由由有有例5 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1)，且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.1 0|Prj| nPP1010Prj nPP nnPP设 是平面 外一点，点 到平面 的距离为d，则1111(,)P xy z1010|cos,|dPPPP n 1PNn0P P xyz0000(,):0AxBy CzDP0 d101010cos,| PP nPP nPPn10|PP nd

34、n 010101222|()()()|A xxB yyC zzdABC000111222|()|AxByCzAxByCzABC1 0010101(,)PPxx yy zz ),(CBAn D AxByCzDdABC000222| 0111 DCzByAx)(1 P由可得点到平面距离公式1.平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角.3.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程. （注意两平面的位置特征）三点式方程.思考题,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面重合.221042220 xyzxyz 1 11 1. .问问

35、平平面面：与与平平面面：的的位位置置关关系系？解解,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V1 11,3 2abc由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）解,61161cba 化简得令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc 11 1 11666t tt 代入体积式1,6t 666 666xyzxyz 或所求平面方程为第四节空间直线方程xyzo1 2 定义空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221

36、111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程L直线L的方程为A B CA B C111222(,与与不不成成比比例例) )方向向量的余弦称为直线的方向余弦.则必有 ，从而设直线L通过点 ，并且平行于非零向量 ，下面建立直线L的方程. 设直线上的任一点为 ， ),(zyxMMxyz0000(,)sm n p(, ,) 称平行于直线的非零向量 为该直线的方向向量M MOMOMxxyyzz00000(,) s 直线的点向式方程或对称式方程由于因此xyzosL0MM0M Ms 00M Ms pzznyymxx000 2,0 xy 25002xyz注在直线的点向式方程中某些分母为零时, 即平行于

37、z轴的直线；25032xyz表示5322yzx 即平行于yOz面（在平面x=2上）的直线.其分子也应理解为零.例如表示而tpzznyymxx 000令直线的参数方程可得pzznyymxx000 已知直线的点向式方程 ptzzntyymtxx000222(0)mnp解故可取直线的方向向量因此所求直线方程为234.4-13xyz)4 , 3, 2( A例1 一直线过点，且与直线平行，求其方程.依题意,所求直线与已知直线平行,1(4 -1 3)s ，已知直线的方向向量为1(4, 1, 3),ss 124-13xyz解 取已知平面的法向量124231xyz则直线的对称式方程为2340 xyz垂直的直线

38、方程. 为所求直线的方向向量. (2,3,1)n n例2 求过点(1,2 , 4) 且与平面解设所求直线的方向向量为(, ,),sm n p 根据题意知,1ns ,2ns 取21nns ( 4, 3, 1), .153243 zyx所求直线的方程例4 用对称式方程及参数方程表示直线：.043201 zyxzyx解 在直线上任取一点),(000zyx取10 x,063020000 zyzy解得2, 000 zy点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直取21nns (4, 1, 3), 对称式方程,321041 zyx参数方程.3241 tztytx312111 kji1L2

39、L定义直线:1L1111(,)sm np 直线:2L两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角.通常规定直线夹角为锐角，即 . 2222(,)sm np 1s2s 02 111111xxyyzzmnp222222xxyyzzmnpMxy z1111(,)Mxy z2222(,)按照两向量夹角余弦公式有两条直线位置特征：两直线夹角余弦公式m mn np pmnpmnp121212222222111222| 21)1(LL 1212120.m mn np p21)2(LL/111222.mnpmnp121212cos|cos,| s sssss 120ss120ss12(3) LL与与共共面面1212

40、,s s M M 三个向量共面 xxyyzzmnpmnp212121111222012(4)LL 与与异异面面1212,s s M M 三个向量不共面 xxyyzzmnpmnp2121211112220定义直线与其在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角.,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAxsm n p(, ,) nA B C( ,) n s ,2 由由图图知知ns此夹角也为锐角，即 . 02sincos,n s L222222|AmBnCpABCmnp 直线与平面的夹角公式直线与平面的位置特征： L)1(.ABCmnp L)2(/0n s sincos, =n sn

41、sns 按照两向量夹角余弦公式有0ns 0.AmBnCp解(1, 1,2),n (2, 1,2),s 222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点N,令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得 ,73 t交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为MNMN2133(2,1,3)77712 624(,),777 所求直线方程为.431122 zyx设 是过点 的一条直线，直线L外一点 到直线L的距离为

42、d，则 LMxyz1111(,)d01|sM MdsxxyyzzLmnp000 ：Mxyz0000(,)Mxyz0000(,)s Mxyz1111(,)|Sds01|sM M 和 分别是 和 的方向向量，则 和 之间的距离设有两条异面直线 和 Mxyz1111(,)d212121|()|M MssssxxyyzzLmnp1111111 ：Mxyz2222(,)M2M1xxyyzzLmnp2222222 ：L1L2smnp1111(,) smnp2222(,) L1L2L1L2s1 s2 L1L221ss 2121|Prj|ssdM M定义通过给定直线的所有平面的全体称为平面束. 0022221

43、111DzCyBxADzCyBxA设直线L的方程为 12( , 0)不不全全为为则通过直线L的平面束方程为1111122222()()0A xB yC zDA xB yC zD 11 111122222()0A xB yC zDA xB yC zD 表示除了平面 之外的平面束中的任一平面.22220A xB yC zD当 时，即例7 已知直线xyzLxyz10:10 求L在平面 上的投影方程.xyz:0 解直线L在平面 上的投影即是过L且垂直于 的平面 与 的交线. L 设通过直线L的平面束方程为xyzxyz 1(1)0 整理得xyz (1)(1)( 1)( 1)0 1 1 其中 是待定系数.

44、 要使 ，即 1 (1) 1(1) 1( 1) 10 解得 . 1 即当 时，平面束方程表示平面 ， 1 1 yz2220 代入平面束方程得 ，即yz1:10 所以直线L在平面 上的投影方程为xyzyz010 xyz:0 一、空间直线方程一般式对称式参数式1111222200A xB yC zDA xB yC zD 000 xxmtyyntzzpt 000 xxyyzzmnp222(0)mnp1111111,xxyyzzLmnp：直线1212120m mn np p2222222,xxyyzzLmnp：111222mnpmnp二、线与线的关系二、线与线的关系直线夹角公式:1111(,)smnp

45、 2222(,)smnp 120ss12LL 12/LL120ss1212cosssss 0,AxByCzDmnpABC平面 :L L / 夹角公式：0m AnBpCsin ,xxyyzzmnp三、面与线间的关系三、面与线间的关系直线 L :(,)nA B C (, , )sm n p 0sn 0s n snsn L思考题思考题解答(2, ,6),sm np 且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故当 时结论成立, 0 m6 p, 0 n第五节曲面及其方程求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(z

46、yx07262zyx化简得即说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 定义1 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的方程的方程, 曲面 S 叫做方程方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1)

47、 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 故所求方程为例1 求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM特别,当M0在原点时,球面方程为解 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹方程xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例2 研究方程042222yxzyx解 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都

48、可通过配方研究它的图形.表示怎样曲面半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 5)2() 1(222zyx定义2 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴. .例如例如 :该定曲线称为母线. .建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM( , , )M x y z1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC思考：思考：当曲线 C 绕

49、 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyMxy例4 求坐标面 xoz 上的双曲线22221xzac分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解 绕 x 轴旋转222221xyzac绕 z 轴旋转222221xyzac这两种曲面都叫作旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z单叶双叶xyz引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方

50、程222Ryx解:在 xoy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,xyzxyzol定义3 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l

51、叫做母线.xyzooxzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面椭球面、抛物面抛物面、双曲面双曲面、锥面锥面的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系

52、数不全为 0 )zyx1 1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc时(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z为旋转椭球面;为球面.2.2.抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222z

53、yx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx= xt平面上的截痕是抛物线所有抛物线的顶点也组成一条抛物线.p, q同正p, q同负3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线:

54、 双曲线: 0(2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.xyz1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲

55、面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax5x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴

56、的圆柱面平行于 z 轴的平面1. 指出下列方程的图形:第六节空间曲线及其方程 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：例1 方程组方程组 表示怎样的曲表示怎样的曲线？线？ 6332122zyxyx解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.例2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？