第1章线性空间1-3

1、线性代数与矩阵论线性代数与矩阵论 刘彬刘彬 南京工业大学理学院南京工业大学理学院 矩阵论矩阵论是高等学校和研究院、所面向研是高等学校和研究院、所面向研究生开设的一门数学基础课。作为数学的一究生开设的一门数学基础课。作为数学的一个重要分支个重要分支, 理论具有极为丰富的内容；理论具有极为丰富的内容；作为一种基本工具，矩阵理论在数学学科以作为一种基本工具，矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域都有非常广泛的应用。及其他科学技术领域都有非常广泛的应用。特别是计算机的广泛应用为矩阵论的应用开特别是计算机的广泛应用为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。辟了广阔的前景。例如，系统工程、优化方例如，系统工程、优化

2、方法以及稳定性理论等，都与矩阵论有着密切法以及稳定性理论等，都与矩阵论有着密切的联系。的联系。从而，使矩阵理论近年来在内容上从而，使矩阵理论近年来在内容上有相当大的更新。因此，学习和掌握矩阵的有相当大的更新。因此，学习和掌握矩阵的基本理论与方法，对于研究生来说是必不可基本理论与方法，对于研究生来说是必不可少的。少的。主要参考书目：主要参考书目：1. 刘刘 彬彬, 线性代数与矩阵论线性代数与矩阵论 ,电子版电子版2. 张明淳，工程矩阵理论，东大出版社张明淳，工程矩阵理论，东大出版社3. 刘慧等，矩阵论及应用，化工出版社刘慧等，矩阵论及应用，化工出版社矩阵论矩阵论内容要点索引内容要点索引线性代数（

3、矩阵代数）线性代数（矩阵代数） Ch.1 线性空间线性空间Ch.2 线性变换线性变换Ch.3 欧氏空间欧氏空间矩阵理论矩阵理论Ch.4 矩阵分析矩阵分析Ch.5 矩阵分解矩阵分解第一章第一章 线性空间线性空间1.1线性空间的定义和性质线性空间的定义和性质 线性空间是我们以前学习过的线性空间是我们以前学习过的n维向量空间的推广维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有 一一 数域的概念数域的概念 重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域和工程技术的许多领域

4、。设设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括是由一些复数组成的集合，其中包括不为不为0）仍是）仍是 P 中的数，则称中的数，则称 P 为一个为一个数域数域0与与1，常见数域常见数域：注意：注意：自然数集自然数集N及整数集及整数集Z定义定义都不是数域都不是数域如果如果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数中任意两个数的和、差、积、商（除数有理数域有理数域Q； 实数域实数域R；复数域复数域C .是一个数域是一个数域例例 证明：数集证明：数集 ( 2)2 | ,Qaba bQ 证：证： 000 2,110 2, ,( 2),x yQ 又对又对 2,2,xabycd 设设 则有则有 (2)() 2(

5、 2)x yacbdadbcQ 0,1( 2)Q , , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ 设设20,ab 于是于是也不为也不为0 02ab 矛盾）矛盾） （否则，若（否则，若20,ab 则则2,ab 2,aQb于是有于是有22cdab 为数域为数域( 2)Q).2(22222222Qbabcadbabdac(2)(2)(2)(2)cdababab 二二 线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且这两种运算满足一些重要的规律而且这

6、两种运算满足一些重要的规律, ,如如 空间空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：，定义了两个向量的加法和数量乘法： 在在线性代数线性代数中，我们讨论了数域中，我们讨论了数域 P上的上的n维向量维向量0()() ()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 足上述这些重要的规律，足上述这些重要的规律，即即 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP ( )( )( )( )f xg xg xf x 数域数域P上的一元多顶式环上的一元多顶式环Px中，定义了两个多中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算项式的加法和数与多项式的乘法

7、，而且这两种运算同样满同样满( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x () ( )( )( )kl f xkf xlf x ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x 设设V是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个数域，在集合是一个数域，在集合V中中定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对， ,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应，称

8、为 的的和和，记为，记为 ；与 定义了一种运算叫做定义了一种运算叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：如果加法和数量乘如果加法和数量乘在在 P与与 V的元素之间还的元素之间还加法满足下列四条规则：加法满足下列四条规则： 1 ()()k lkl 数量乘法与加法满足下列两条规则：数量乘法与加法满足下列两条规则： ()klkl （具有这个性质的元素（具有这个性质的元素0称为称为V的的零元素零元

9、素） 数量乘法满足下列两条规则数量乘法满足下列两条规则 : ()() ()kkk,V 对对 都有都有V中的一个元素中的一个元素，使得，使得 ,V ; ;（称为称为 的的负元素负元素） 0 在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V 有有3 线性空间的判定：线性空间的判定：1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向量空间但这里的向量不一定是有序数组但这里的向量不一定是有序数组称为称为线性运算线性运算就不能构成线性空间就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，

10、则此集合运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 4. 在本书中我们在本书中我们主要讨论实数域或复数域上的线主要讨论实数域或复数域上的线性空间，分别简称为实线性空间或复线性空间。性空间，分别简称为实线性空间或复线性空间。 例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px例例2数域数域 P上的次数上的次数小于小于 n 的多项式的全体，再添的多项式的全体，再添的加法和数量乘法，的加法和数量乘法，法构成数域法构成数域 P上的一个线性空间，常用上的一个线性空间，常用 Pxn表示表示上零多项式作成的集合，上零多项式作成的

11、集合，1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 例例3数域数域 P上上 矩阵的全体作成的集合矩阵的全体作成的集合, ,按矩阵按矩阵mn 用用 表示表示m nP 均为数域均为数域 P上的线性空间上的线性空间构成数域构成数域 P上的一个线性空间，上的一个线性空间，按多项式的加法和数量乘按多项式的加法和数量乘 例例4实数区间实数区间 上的所有实值连续函数构成的集上的所有实值连续函数构成的集合合 ，对于通常函数的加法及实数与函数的乘法构成，对于通常函数的加法及实数与函数的乘法构成实线性空间，称之为连续函数空间。记实线性空间，称之为连续函数空间。记 为由所有定为由所有定义在实数

12、义在实数R上的连续函数组成的空间。上的连续函数组成的空间。 ,baC)(RC,ba例例5全体正实数全体正实数R，kk aaabab kk aa判断判断 R是否构成实数域是否构成实数域 R上的线性空间上的线性空间 .1) 1) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR 2) 2) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR logaabb例例5全体正实数全体正实数R，kk aa1) 1) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR logaabb不封闭，如：不封闭，如： 12221log12 R 所以所以R不构成实数域不构成实数域R上的线性

13、空间上的线性空间. . abab kk aa2)2) 首先，首先，R ，且加法和数量乘法对，且加法和数量乘法对R是封闭的是封闭的. .,kaRkR k aaR , ,且且 ak 唯一确定唯一确定 ,a bRababR , ,且且 ab 唯一确定；唯一确定； 事实上事实上, , 其次，加法和数量乘法满足下列算律其次，加法和数量乘法满足下列算律 ()()()()()()abcabcab ca bcabcabc ababbaba R， 111,aaa aR，即即1 1是零元；是零元； 即即a 的负元素是的负元素是 1a 11 aaa ;a R； ()()()llklkklklakaaaakla ;(

14、)()()k lklklklaaa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab R构成实数域构成实数域 R上的线性空间上的线性空间 ;()()k ak b 1(4),aRRa 11,aa从线性空间的定义，可推导出它的一些简单性质。从线性空间的定义，可推导出它的一些简单性质。 证明证明这里仅证明（这里仅证明（1）( (3）, ,其余的证明留作练习。其余的证明留作练习。（1） 零向量零向量0是唯一的是唯一的.（3）00, （4）若）若 ，则，则 或或 。 0k0k0 (1) (1) 设设 和和 都是零元素都是零元素, ,则由定义有：则由定义有： 011000 ,10100

15、0 ,又又 110000 ,100零元素是唯一的。零元素是唯一的。 （3）先证先证 00( (注意等号两边的注意等号两边的“0”代表不同的对象）；代表不同的对象）； （2） 一个向量的负向量是唯一的一个向量的负向量是唯一的.00,k( 1); 对任意对任意 ,V0是是V中的零元素，根据零元素的中的零元素，根据零元素的唯一性唯一性得得 000.再证再证 ( 1) ( 1) ( 1)是是 的负元素，根据负元素的的负元素，根据负元素的唯一性唯一性得得 ( 1). 最后证最后证 00.k0()kk ()kk 10(10)1(1 ( 1)0 ()kk( 1)kk()00kk 0 1.2 线性空间的基、维

16、数与向量的坐标线性空间的基、维数与向量的坐标 即线性空间的构造如何？即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？怎样才能便于运算？问题问题如何把线性空间的全体元素表示出来？如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）（基的问题）问题问题线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系数发生联系, ,使其能用比较具体的数学式子来表达？使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）（坐标问题） 在线性代数中讨论在线性代数中讨论n维向量时，我们曾引进了线性组维向量时，我们曾引进了线性组合、线性相关合、

17、线性相关(无关无关)、等价向量组、极大无关组等许多重、等价向量组、极大无关组等许多重要概念要概念, 而这些概念仅与而这些概念仅与n维向量的加法及数乘有关，所以维向量的加法及数乘有关，所以不难将它们推广到一般的数域不难将它们推广到一般的数域P上的线性空间上的线性空间V。 定义定义3 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量，个向量， 是数域是数域P中任意中任意r个数个数. 我们把和我们把和r,2112,ra aarraaa2211叫做向量叫做向量 的一个向量组合的一个向量组合或或线性表示线性表示.r,21 如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的线的线性组合，我们也说性

18、组合，我们也说 可以由可以由 线性表示线性表示.r,21r,21例例 向量组向量组 1=(1,2,3), 2=(1,0,2)与向量组与向量组 1=(3,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1) 定义定义4 设设 和和 是向量是向量空间空间V的两个向量组的两个向量组,如果每一个如果每一个 都可以由都可以由 线性表示线性表示,而每一而每一 也可以由也可以由 线性表示线性表示, 那么那么,21r12,.,s iir,2112,.,s 零向量显然可以由任意一组向量零向量显然可以由任意一组向量 线性线性表示，因为表示，因为120000.rr,21就说这两个向量组就说这两个向量组等价等价.等价

19、等价.定义定义5 设设12,rV 若存在若存在不全为零不全为零的数的数 12,rk kkP，使得，使得 11220rrkkk则称向量组为则称向量组为线性相关线性相关的的；12,r 如果向量组如果向量组 不是线性相关不是线性相关的，即的，即12,r 11220rrkkk只有在时才成立。只有在时才成立。 120rkkk则称则称为为线性无关线性无关的的 12,r 例例 令令P是任意一个数域。是任意一个数域。 中向量中向量3P 1=（1,2,3), 2=（2,4,6), 3=（3,6, 9） 例例 5在连续函数空间在连续函数空间C（R）中，讨论向量组的）中，讨论向量组的 线性相关性线性相关性: : 2

20、1,cos,cos2 .xx解解 1cos22cos2xx0cos)2(2cos12xx根据定义根据定义5，向量组，向量组 是线性相关是线性相关的，但向量组的，但向量组 中任意两个都是线中任意两个都是线性无关的。性无关的。 21,cos,cos2xx21,cos,cos2xx 1=（1,0,0)， 2=（0,1,0)， 3=（0,0,1）线性相关线性相关;线性无关。线性无关。 例例 6 6在多项式空间在多项式空间 中，讨论向量组的线性中，讨论向量组的线性关性关性: : xR211, ,.nx xx解解 若若 0112210nnxkxkxkk 则必有则必有 01210nkkkk12, 1nxxx

21、是线性无关的。是线性无关的。 2. 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而而 线性相关线性相关.那么那么一定可以由一定可以由 线性表示线性表示.,21r,21rr,211. 单个向量单个向量 是线性相关的充要条件是是线性相关的充要条件是 0; r,213. 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而而且可以被且可以被 线性表示，则线性表示，则 . .由此推出，两个由此推出，两个,21rs,21sr 等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量。等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量。 仿照以前的证明，可得以下常用的一些仿照以前的证明，可得以下常用的一些结论结论 : 两个以上的向量两个以上的向量

22、线性相关的充要条件线性相关的充要条件是其中一个向量可用其余向量线性表示。是其中一个向量可用其余向量线性表示。 定义定义6 设设V是数域是数域P上一个向量空间上一个向量空间.V 中满足下列两个条件中满足下列两个条件的向量组的向量组 叫做叫做V的一个的一个基基:n,21（1） 线性无关；线性无关； n,21（2）V的每一个向量都可以由的每一个向量都可以由 线性线性表示表示:n,211122.nnxxx 线性空间的基底，维数与坐标线性空间的基底，维数与坐标向量空间的基所含向量个数向量空间的基所含向量个数n叫做的叫做的维数维数, 记记nV dim,而而12( , ,)nnx xxPn,21关于基关于基

23、称为称为的的坐标坐标. 注意注意：1.若线性空间若线性空间V只含有一个零向量，则称只含有一个零向量，则称V 2.若若V中有任意多个线性无关的向量，则称中有任意多个线性无关的向量，则称V是无是无限维的。例如实多项式空间限维的。例如实多项式空间 中，对任意正整数中，对任意正整数n,n, 都是线性无关，从而都是线性无关，从而 是无限维是无限维. . R x12, 1nxxx R x 3.若若V有一个基，则基是不唯一的。但由于有一个基，则基是不唯一的。但由于V的不同的不同基是等价的，从而不同基含有相同个数的向量，因此基是等价的，从而不同基含有相同个数的向量，因此V的的维数是唯一确定。另外，根据前面的结

24、论维数是唯一确定。另外，根据前面的结论2， 在在V的一的一个基个基 下的坐标下的坐标 是唯一的。是唯一的。 n,2112( , ,)nx xx是零空间，并称零空间的维数为是零空间，并称零空间的维数为0;本课程主要讨论有限维线性空间，不讨论无限维线性空本课程主要讨论有限维线性空间，不讨论无限维线性空间间。 例例 3 维几何空间维几何空间R3 ( , , ) , ,x y z x y zR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是是R3的一组基；的一组基； 123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是也是R3的一组基的一组基一般地，向量空间一般地，向量空间12( ,),1,

25、2, nniPa aaaP in为为n维的，维的， 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n就是就是 Pn 的一组基称为的一组基称为Pn的的标准基标准基. 1234, 下的坐标，其中下的坐标，其中 1234(1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1) 解：解：设设 1 1223 344xxxx，则有线性方程组，则有线性方程组12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx解之得，解之得， 12345111,4444xxxx 在基在基 1234, 下的坐标为下的坐标为 5 111( ,)4 444 例例 在线性空间

26、在线性空间 中求向量中求向量 在基在基 4P(1,2,1,1) 例例7求复数集求复数集C分别作为实线性空间和复线性空分别作为实线性空间和复线性空间（对于通常的加法与数乘）的一个基、维数及任间（对于通常的加法与数乘）的一个基、维数及任一复数一复数 在对应基下的坐标。在对应基下的坐标。bia 解解 (1)(1)C看成实线性空间看成实线性空间, ,则可验证则可验证: :bia( , ).a b （2）C看成复线性空间看成复线性空间, ,则可验证则可验证: :bia.abi 例例8求实线性空间求实线性空间 的一个基、维数及任意矩阵的一个基、维数及任意矩阵 在这个基下在这个基下的坐标。的坐标。 2 22

27、 2(), ,1,2.ijijRAaaR i j2 2()ijAa其维数其维数dimC=2dimC=2，复数，复数 在基在基1, i1, i下的坐标为下的坐标为 1, i 是是V的一个基的一个基，其维数其维数dimC=1dimC=1，复数，复数 在基在基1下的坐标为下的坐标为 1 是是V的一个基，的一个基， 解解 设设 1110,00E1201,00E2100,10E2200.01E 若有实数若有实数 ，使得，使得 4321,kkkk0224213122111EkEkEkEk是是 中线性无关组，又对任意中线性无关组，又对任意 ，有，有则容易推得则容易推得 , , 故故 12340kkkk222

28、11211,EEEE2 2()ijAa22R2222212112121111EaEaEaEaA11122122,EEEE 是的是的 个基，个基， 22R4dim22R11122122(,).aaaa任意矩阵任意矩阵A在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为 解解211, ,nx xx211, ,nx xx可由可由 线性表示，所以线性表示，所以 例例9求实线性空间求实线性空间 的一个基、维数及多项式的一个基、维数及多项式 在这个基下的坐标。在这个基下的坐标。 nR x1011( )nnf xaa xax（a为任一实数）也是为任一实数）也是 的一个基。根据的一个基。根据 公式，公式，任意任意 有：有：

29、 121)(, 1nnaxax nR xTaylor( ) nf xR x1)1(2)()!1()()(! 2)()()()( nnaxnafaxafaxafafxf1011( ) nnnf xaa xaxR x是线性无关的，且任意是线性无关的，且任意 为为 的一个基，其维数的一个基，其维数 ， 在这个在这个 nR xnxRndim)(xf011(,).na aa211, ,nx xx基下的坐标为基下的坐标为 另外，容易验证另外，容易验证故故 在在 下的坐标为下的坐标为 )(xf11,()nxaxa(1)( )( )( ( ),( ),).2!(1)!nfafaf afan例例10已知全体正实

30、数已知全体正实数R对于加法与数量乘法：对于加法与数量乘法：,kababk aaa bRkR 构成实数域构成实数域R上的线性空间，求上的线性空间，求R的维数与一组基的维数与一组基. . 解解:即即 x 可由可由 a 线性表出线性表出.任取任取R中的一个数中的一个数 a , 且且 ，则，则a是线性无关的是线性无关的.1a ,log,又有使axRkxR 故故R是一维的，任一正实数就是是一维的，任一正实数就是R的一组基的一组基.( 1)a ,11xRxxx 数数 1 是是 R 的零元素的零元素.kak a logaxxa 1.3基变换与坐标变换基变换与坐标变换 从例从例9可看出，同一个向量在两个不同基

31、下的坐可看出，同一个向量在两个不同基下的坐标一般是不同的，标一般是不同的，因此在处理一些问题时，如何因此在处理一些问题时，如何选择选择适当的基适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题为此我们首先要知道同一向量在不同基实际的问题为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的坐标是如何变化的. 本节主要讨论这个问题。本节主要讨论这个问题。 12,n 定义定义7 设设n维线性空间维线性空间V中有两个基中有两个基 （旧的旧的） 与与 （新的新的） 它们之

32、间的关系为：它们之间的关系为：12,n nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111此关系可此关系可形式地写成形式地写成 1112121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 12,nA 1112121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 12,nA n,21 由过渡矩阵的定义看出，过渡矩阵由过渡矩阵的定义看出，过渡矩阵A的第的第j列正好是向量列正好是向量 在基在基 下的坐标（下的坐标（ ）。 jnj, 2 , 1上式称为上式称为基变换公式基变换公式，其中矩阵，其中矩阵 称为从基称为从基 到基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵。可以。可以

33、证明过渡矩阵必是可逆的。证明过渡矩阵必是可逆的。 n,21()ijn nAa12,n 在形式书写法下有下列运算规律在形式书写法下有下列运算规律1212(,) )(,)()nnA BAB 1212(,)(,)nnAB ； 1212(,)(,)nnAA ；1122(,)nnA 若若 12,n 线性无关，则线性无关，则1212(,)(,).nnABAB 12(,)()nAB 定理定理1设设n维线性空间维线性空间V的一个基的一个基 到另一到另一个基个基 的过渡矩阵是的过渡矩阵是A，V中中 元素元素 在这二在这二个 基 下 的 坐 标 分 别 是 （个 基 下 的 坐 标 分 别 是 （ ） 和和（ ）

34、 ，则有坐标变换公式，则有坐标变换公式 或或 nxxx,21nyyy,21nnyyyAxxx2121nnxxxAyyy2112112,n n,21 证明证明nnyyy2211 可形式地写成可形式地写成12(,)n nyyy21Anyyy2112(,)n12( ,)n nyyy21 又又 nnxxx221112(,)n 12nxxx根据向量在基下的根据向量在基下的坐标唯一性坐标唯一性得到得到 nnyyyAxxx2121nnxxxAyyy21121 或或例例 在在Pn中，求由基中，求由基 12,n 到基到基 12,n 过渡矩阵其中过渡矩阵其中 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n

35、12(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)n解：解： 的过渡矩阵及由基的过渡矩阵及由基 12,n 12,n 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐标下的坐标. . 12,n 12(,)na aa 112n 22n nn 11212100110(,)(,)111nn 1210001 100(,)01 100001n 而，而， 1212100110(,)(,)111nn 故，由基故，由基 12,n 到基到基 12,n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为100110111A 12,n 12,n 到基到基 由基由基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 110001 10001 100001A 11212100110(,)(,)111nn 1210001 100(,)01 100001n 而，而，例例 考虑中考虑中 以下两组向量：以下两组向量： 3R1 , 3 , 2 ,1 , 1 , 1 ,2 , 1 , 33211 , 0 , 2 ,3 , 2 , 1 ,1 , 1 , 1321证明：证明： 和和 都是的基求出由都是的基求出由基基 到基到基 的过渡矩阵。的过渡矩阵。321 , ,321 , ,321 , ,321 , , 解：解： 123123, , ,A , B,321321321 , ,3R BA,-1321321321,321,因此，由