数字电路 康华光(第五版)ch2逻辑代数

1、12 .逻辑代逻辑代数数2.1 逻辑代数逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 2本章要求：本章要求：1 1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则，掌握逻辑函数的变换和代数化简法。和规则，掌握逻辑函数的变换和代数化简法。2 2、掌握逻辑函数的卡诺图化简法。、掌握逻辑函数的卡诺图化简法。3 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式2.1 逻辑代数逻辑代数2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法逻辑函数的变换及代数化简法2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则42.1 逻辑代数逻辑代数 逻辑代数逻辑代数是分析和

2、设计现代数字逻辑电路不可是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。路的化简、变换、分析和设计。 逻辑关系逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑对立状态分别用逻辑“

3、1” 和和“0”表示。表示。51 1、逻辑常量运算公式、逻辑常量运算公式0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 11 = 00 = 100 = 001 = 010 = 011 = 12.1.12.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式62 2、逻辑常量、变量运算公式、逻辑常量、变量运算公式真值表证明法真值表证明法:变量的取值只能为变量的取值只能为0或或1，分别代入，等式左，分别代入，等式左右两边均相等，即可验证右两边均相等，即可验证 A+0 = AA+1 = 1A+A = AA+A = 1A=AA0 = 0A1 = AAA = AAA = 073 3、逻辑代数

4、的基本定律、逻辑代数的基本定律 逻辑代数的基本定律是化简和变换逻辑函数式，分析、逻辑代数的基本定律是化简和变换逻辑函数式，分析、设计逻辑电路的重要工具。设计逻辑电路的重要工具。1 1）与普通代数相似的定律）与普通代数相似的定律普通代数不适用A+B = B+AAB = BAA+(B+C) = (A+B)+C = B+(A+C)A(BC) = (AB) C = B(AC)A (B+C) = AB+ACA+(BC) = (A+B) (A+C)82 2） 吸收律吸收律BCABCACABACABA)()(BAAABAAABAABA)1 (AABABAA)(BA AABAABAA)(BABAABCACAB

5、A)(93) 3) 包含律包含律AB+AC+BC=AB+AC证：证：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC推论：推论：AB+AC+BCDEF=AB+AC104 4） 反演律（摩根定律）反演律（摩根定律） BABABAAB( (真值表证明法真值表证明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A BABA B11“异或异或”运算运算A A=0A A=1A 0=AA 1=AA B=A B

6、=(A B) 1A B=B AA (B C)=(A B) CA(B C)=(AB) (AC)12 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 代入规则代入规则 在包含变量在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有所有A的位置，则等式仍然成立。的位置，则等式仍然成立。例例：B (A + C) = BA+BC，用用A + D代替代替A，得，得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BCl 代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围13 对于任意一个逻辑函数表达

7、式对于任意一个逻辑函数表达式L，若将其中所有的，若将其中所有的 与（与（ ）换成或（）换成或（+），或（），或（+）换成与（）换成与（）；）； 原变量换为反变量，反变量换为原变量；原变量换为反变量，反变量换为原变量； 将将1换成换成0，0换成换成1； 则得到的结果就是原函数的则得到的结果就是原函数的非函数非函数。2. 2. 反演规则反演规则)(1)(DCBADCB)(AL 0CDBAL例：例：试求试求 的非函数的非函数解：按照反演规则，得解：按照反演规则，得 14LABAC 对于任何逻辑函数式，若将其中所有的对于任何逻辑函数式，若将其中所有的 与（与（ ）换成或（）换成或（+），或（），或（+

8、）换成与（）换成与（）；）； 并将并将1换成换成0，0换成换成1； 那么，所得的新的函数式就是那么，所得的新的函数式就是L的的对偶式对偶式，记作，记作 。 L()()LAB A C例例: 逻辑函数逻辑函数 的对偶式为的对偶式为3. 3. 对偶规则对偶规则对偶规则：对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。侧的对偶式也相等。15化简的主要方法：化简的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法） 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）代数化简法：代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简。运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简。 最简与

9、最简与- -或表达式：或表达式：包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少。包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少。化简的意义：化简的意义：由真值表直接写出的逻辑式及由此画出的逻由真值表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂。若经过简化，则可使用较少的逻辑辑图，一般比较复杂。若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能，从而可节省器件，降低成本，提门实现同样的逻辑功能，从而可节省器件，降低成本，提高电路工作的可靠性。高电路工作的可靠性。 2.1.3 逻辑函数的化简与变换逻辑函数的化简与变换1、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简16例：例：a) 并项法并项法b) 吸收法吸收法例：例：

10、运用公式运用公式 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。，将两项合并为一项，并消去一个变量。1 AACBACBABACCBA)(运用公式运用公式 ，消去多余的与项。，消去多余的与项。AABA)(FEBCDABABA2、代数化简法、代数化简法17 在不能直接运用公式化简时，可通过乘在不能直接运用公式化简时，可通过乘 或加或加 ，进行配项再化简。，进行配项再化简。c) 消去法消去法d) 配项法配项法运用公式运用公式 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAACBCAABCBAAB)(CABABCAB1)( AA0)(AA18)()(CBACACABABCBAACAAB)(CBACABCAABCBCA

11、ABLABABCCABLABABABABCCABABABCABCAB)(ABABCABCABCBAABCCBACABCABABCABABCABCABABABCCAB)(CAAB191. 逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；有公式熟练掌握；2. 代数法化简技巧性强，无一套完善的方法可循，而是依代数法化简技巧性强，无一套完善的方法可循，而是依赖于人的经验和灵活性，因此较难掌握；赖于人的经验和灵活性，因此较难掌握；3.判断用代数法化简后得到的逻辑表达式是否为最简式有判断用代数法化简后得到的逻辑表达式是否为最简式有一定困难。一

12、定困难。代数法化简在使用中遇到的困难：代数法化简在使用中遇到的困难：20“或或-与与”表达式表达式“与非与非-与非与非”表达式表达式 “与与- -或或- -非非”表达式表达式“或非或非或非或非” 表达式表达式“与与- -或或” 表达式表达式DCACLDCAC)(DCCA)()(C+DCADCCA3 3、逻辑函数的变换、逻辑函数的变换逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。21b) b) 应用应用“与非与非”门构成门构成“与与”门电路门电路AL&B&ABL AB&LAa) a) 应用应用“与非与非”门构成门构成“

13、非非”门电路门电路AL AA22d) d) 用用“与非与非”门构成门构成“或非或非”门门LBA&c) c) 应用应用“与非与非”门构成门构成“或或”门电路门电路BAL&BABALBABABABAL23)()(CCDBADBADDABLDBADBA=AB)(DDBAABBAABBAAB BAABCDBADCBAABDDBADABL 例例:已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为要求：（要求：（1）化简得最简的与）化简得最简的与-或表达式；或表达式； （2）仅用与非门，画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门，画出最简表达式的逻辑图。 B A L AB BA & & &

14、amp; & & 解：解： 242.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式2.2.1 最小项的定义及性质最小项的定义及性质2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数25n个变量个变量X1, X2, , Xn的的最小项最小项是是n个因子的乘积，每个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。且仅出现一次。n个变量应有个变量应有2n个最小项。个最小项。 ABCCBAACBA

15、BA、)(不是最小项。不是最小项。例如：例如：A、B、C三个逻辑变量的最小项有三个逻辑变量的最小项有8（23）个，即）个，即 ABCCABCBACBABCACBACBACBA、1、最小项的定义、最小项的定义2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质26l对于任意一个最小项，有且只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，有且只有一组变量取值使得它的值为1；l对于变量的任一组取值，有且只有一个最小项的值为对于变量的任一组取值，有且只有一个最小项的值为1 。2、最小项的性质、最小项的性质 ABC000001010011100101110111010000000010000000001

16、00000010000000001000000001000000001CBABCACBACBACBACABABCCBA三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 10000000273、最小项的编号、最小项的编号 三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：最小项的表示：通常用通常用m i表示最小项，表示最小项，m 表示最小项表示最小项, ,下标下标i (使该最小项为使该最小项为1的变量取值所对应的十进制数的变量取值所对应的十进制数)为最小项号。为最小项号。 ABC0001000000000101000000010001

17、000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001CBABCACBACBACBACABABCCBA28 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 = m7m6m3m1 逻辑函数的逻辑函数的最小项表达式最小项表达式 为为“与与- -或或”逻辑表达式；逻辑表达式； 在在“与与- -或或”式中的每个乘积项都是最小项。式中的每个乘积项都是最小项。CBABCACABABCCBAL),(例例: : 将将变换成最小项表达式变换成最小项表达式。CAABCBAL),(CBBACCABCBAL)()(),(CBABCACABAB

18、C)7 , 6 , 3 , 1 (m29( , ,)()L A B CABABC AB 例例: : 将将 化成最小项表达式。化成最小项表达式。 a.a.去掉非号去掉非号()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb. .去括号去括号ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm302.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出、卡诺图的引出将将n个变量的全部最小项都用小方块表示，并将这些小方个变量的全部最小项都用小方块表示，并将这些小方块按一定规则排列起来（使具有块按一定规则排

19、列起来（使具有逻辑相邻的最小项逻辑相邻的最小项在几何位在几何位置上也相邻），这样得到的图形叫置上也相邻），这样得到的图形叫n变量的变量的卡诺图卡诺图。逻辑相邻的最小项：逻辑相邻的最小项：如果两个最小项有且只有一个变如果两个最小项有且只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如如: :最小项最小项m6=ABC 与与m7 =ABC 在逻辑上相在逻辑上相邻邻m7m631LAB10100100011110三变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图BABABAAB两变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCCBABCACBABC

20、ACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB一变量卡诺图一变量卡诺图10AAm0m1L m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCDLLAAB32各小方格对应于变量不同的最小项，而且上下左右各小方格对应于变量不同的最小项，而且上下左右在几何上相邻的方格内有且只有一个因子不同在几何上相邻的方格内有且只有一个因子不同;水平方向同一行里，最左和最右端的方格也符合上水平方向同一行里，最左和最右端的方格也符合上述相邻规律；述相邻规律；垂直方向同一列里，最上和最

21、下端的方格也符合上垂直方向同一列里，最上和最下端的方格也符合上述相邻规律述相邻规律。2、卡诺图的特点、卡诺图的特点CBABCACBABCACBACBACBAABCCABABLC333、已知逻辑函数画卡诺图、已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上，其余的小方格填上0（有时（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函任何逻辑函数都等于其卡诺图中为数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和的方

22、格所对应的最小项之和。例：例：画出画出）（15,14,11,10, 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0),(mDCBAL的卡诺图的卡诺图。ACDB 0 1 2 3 4 5 6 7 12 131415 89 10 110001111000011110ABCDL 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 134例例: 画出下式的卡诺图画出下式的卡诺图解解:1) 将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式)15,13,10, 6 , 0(m)()()(),(DCBADCBADCBADCBADCBADCBALDCBADBCADCBADCABABCDLDCBADBCA

23、DCBADCABABCDDCBADBCADCBADCABABCDL35ACDB 0 1 2 3 4 5 6 7 12 131415 89 10 110001111000011110ABCDL2) 填写卡诺图填写卡诺图)15,13,10, 6 , 0(mDCBADBCADCBADCABABCDL 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 136ACDB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCDL 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 1、化简的依据、化简的依

24、据DABDADBADBACDBADCBA BDABCDADCBA ADABDDBA DADDA 372、化简的步骤、化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加，即可得最简与将所有包围圈对应的乘积项相加，即可得最简与-或表或表达式。达式。(1) 将逻辑函数写成最小项表达式将逻辑函数写成最小项表达式;(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填其对应方格填“1”，其余方格填，其余方格填“0”。(3) 合并最小项，即将相邻的合并最小项，即将相邻的“1”方格圈成一组方

25、格圈成一组(包围圈包围圈)，每，每一组含一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个乘积项。个方格，对应每个包围圈写成一个乘积项。38画包围圈时应遵循的原则：画包围圈时应遵循的原则： （1 1）包围圈内的方格数一定是）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。个，且包围圈必须呈矩形。（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。（4）所以）所以“1”方格都必须被包围；方格都必须被包围；同一方格可以被不同的包围同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包

26、围圈未曾包围的方格。包围的方格。（3）一个包围圈的方格数要尽可能多一个包围圈的方格数要尽可能多, ,包围圈的数目要可能少。包围圈的数目要可能少。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 39DBBDL BD 例例: 用卡诺图法化简下列逻辑函数用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式或表达式 解：解：(1) 由由L 画出卡诺图画出卡诺图)15,13,10, 8 , 7 , 5 , 2 , 0(),(mDCBAL L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0