第二章静电场(二)

1、1第二章 静 电 场(二)22-1 静电场的唯一性定理及其应用2-2 平行双电轴法 2-3 无限大导电平面的镜象法 2-4 球形导体面的镜象 2-5 无限大介质交界平面的镜象2-6 电容与电容的计算 2-7 双输电线的电容 2-8 多导体系统的部分电容 2-9 带电导体系统的电场能量及其分布2-10 虚位移法计算电场力 第二章 静 电 场(二)32-1 静电场的唯一性定理及其应用唯一性定理及其重要意义唯一性定理及其重要意义 静电场中，满足一定边界条件(即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。静电场解的唯一性定理 当场中介质及各导体的分布一定时：(1)给定各导体表面的电位值(见

2、图2-1)，此时由边值问题解得之电位函数为唯一。图2-1 位于不同介质的两给定电位的带电导体4图2-2 位于不同介质的两给定电荷的带电导体(2)导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量(图2-2)，此时由边值问题所解得的电位函数，仅相差一无关紧要的常数。(3)若给定某些导体表面的电位值，及其它每一导体表面(导体表面为等位面)的电荷量 (见图2-3)，此时由边值问题所解得的电位函数为唯一。图2-3 位于不同介质量分别给定电荷和给定电位的两带电导体5唯一性定理的应用唯一性定理的应用等位面法等位面法 根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。如图2-4为两平行

3、输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(这里我们沿其内侧)填充导电媒质(见图2-5)，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。因为这样处理之后：1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即 亦即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。SdnSdD6图2-4 两平行输电线的电场图2-5 沿场的等位面一侧，填充导电媒质后的电场7例例2-12-1 静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中

4、的应用。解解 在物理学中，已知静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。作为唯一性定理的应用，我们来讨论上述结论。图2-6(a)表示一种情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有 ，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。01s图2-6 例2-1图81qSdnS图2-6(b)表示第二种情形。设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其

5、次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有即电位移矢量 的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。总之，在第二种情况下，导体壳内的电场不受壳外电荷的影响。D9平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形。设介质电容率为0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为0102RRE0202RRE ,2-2

6、平 行 双 电 轴 法平行双电轴电场平行双电轴电场(2-1)(2-2) 由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为图2-7 两平行输电线表面电荷分布10 102/ln2ln21RDRdEDRP 202/ln2ln22RDRdEDRP210ln2lnln2ln2RDRDppp（2-5）图2-8 两电轴外任意一点P的电场由叠加原理，点P的电位为(2-4)(2-3)选取坐标轴的原点o为零电位点 ， 点P电位为11图2-9 平行双电轴电场等位线的分布规律 在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面。通常称零等位线的那个等位面为零电位面或中性面。12设某个等位圆之半径为R0，等位圆圆心至中性面距离

7、为x0，以及电轴至中性面的距离为 D/2，则R0、x0与D三者间的关系，可通过简单几何关系求得。在等位圆上选择特殊点A及B，令R2/R1=R2/R1=K(常数)，则有图2-10 两平行同半径圆柱的等效电轴位置000000002222RDxDDxRRxDDxRk(2-6)22002DxR(2-7)13可知： 1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作出以x0为圆心R0为半径的等位圆。 2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等位圆圆心所在处x0的等位圆。 3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在的位置，亦即推求出距离D14图2-11 两平行同半径圆柱体的几何中心轴与等效电轴

8、的位置 具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+及-，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场，而由式(2-7)，可以容易地求得双电轴的位置。平行双电轴法平行双电轴法22002DRx(2-8)152020202022RxRxD由式(2-9)及式(2-10)可求得dxx00dRRdx2202020(2-11)(2-10) (2-9) 对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体，半径R0与R0以及两圆柱体轴心距离d已知，得02020202xddRRdx(2-12)图2-12 两不同半径的平行

9、圆柱体的等效电轴的位置解得x0及x0可求两电轴的距离16图2-13 两不同半径的偏心圆的等效电轴的位置 对于两偏心圆柱套筒的电场，在已知两圆柱套筒半径R0、R0以及圆柱轴心间距离d的情况下，可得ddRRx2220200ddRRx2220200从而可求两电轴的距离D。(2-13)(2-14) 电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用。17cmdRRdx25.235022015502222202020cmxdx75.265 .235000cmRxD76.171525.232222020电轴到中性面的距离为中性面到半径R0的圆柱面的几何中心的距离为例例2-2 空中两根互相平行、

10、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量=10-8C/m，圆柱的半径各为R0=15cm,R0=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。解解 对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为R0的圆柱面的几何中心的距离为18 所谓镜象法，是基于唯一性定理的。此方法的特点是以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变。由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜象或曲面镜象)，故称为镜象法。2-3 无限大导电平面的镜象法点电荷对无限大导电平面的镜象点电荷对无限大

11、导电平面的镜象 若有一点电荷q，其与无限大地平面(地为导电平面)相距h高度，试求上半场域中的场量。根据唯一性定理，这个问题所给的条件是齐备的：对于场域内部，除点电荷所在点(奇异点)之外，均满足拉普拉斯方程。图2-14 地面上方h处有一点电荷q19对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷(感应电荷)已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半场域亦充以电容率为0的媒质，且以地平面为镜象，在电荷q的镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变。图2-15 地面下方h处置一镜象电荷-q代替大地影响20图2-16 大地对点电荷电场的影响填充导电媒质后，

12、电荷-q即转移至无限大地平面上，根据等位面法，上半域的电场仍保持不变，即上半域的电场完全可以作为两点电荷电场进行求解。导电平面镜象问题的特点：镜象电荷必在被研究场域边界外，所处位置与场源电荷以平面对称。镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相等，与场源电荷量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。图2-17 用镜象电荷代替大地的影响21无限大导电平面镜象法的应用无限大导电平面镜象法的应用应用(1)：图2-18 夹角为直角的两相联导电平面的镜象(a)直角区域内的点电荷；(b)图(a)的镜象电荷应用（2）：图2-19夹角为的两相联无限大导电平面的镜象(a)特殊角 (2/偶数)区域的点电荷；(b)

13、图(a)的镜象电荷22应用（3）：图2-20 长直圆柱导体对导电平面的镜象 (a)大地上方h处平行放置长直圆柱导体；(b)图(a)的镜象此时要求2/偶数，否则无法将整个空间划分为同一大小的均匀区域，从而不能保证被研究场域的边界电位值为零。23例例2-3 带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，如图所示。由于大气电场的影响将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的上方又架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。工程上采用这种方法使得高压输电线免受雷击，试求由于架空地线的

14、屏蔽作用而导致A处电位的变化。图2-21 例2-3图24hr2ln2001hE02hEhr000212ln2hrhE2ln2000解解 设架空地线单位长度上的感应负电荷为-。地面上的感应正电荷可视为-感应所致，它在大气中产生的电场可以用-的镜象电荷+来代替，如图所示。因为架空地线的半径r0较之它与镜象之间的距离2h小得多，可以认为电轴与几何轴线重合，根据式(2-5)，架空地线的电位为故得因为接地，所以在大气电场中架空地线的电位为25因此，高压输电线A处的电位由原来的 降低为lE00hrlhlhhElElhlhlE2lnlnln200000hrlhlhlhl2lnln00%1 .610 架空地线

15、的重要作用，是使其自身表面造成很大的场强，其值可达大气电场场强的几十倍至几百倍，因此当大气的场强很高发生雷电时，可以引导输电线附近的闪电偏向于架空地线，从而保护高压输电线免受直接的雷击 。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相对值为262-4 球形导体面的镜象球形导体面的镜象 点电荷q的电场中，置有一半径为R的接地导体球(其电位为零)，球心至点电荷的距离为d。在点电荷的电场中，引入一中性导体球后，球面两侧将分别出现等量而异号的感应电荷 +q与-q。球面感生的负电荷(或正电荷)，其数值必较电荷q为小，即q-q。接地导体球对点电荷的镜象接地导体球对点电荷的镜象图2-22 接地导体球邻近

16、点电荷时产生的感应电荷27图2-23 接地导体球对点电荷的镜象 若此时将球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负电荷，球面电位为零。按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为0的同一媒质，并在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷-q，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电场，可视为点电荷q及-q所共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。280442010RqRqp (2-15) 设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径的圆周上的任意点P，其电位表达式为qqRR12 R2及R1分别为点P

17、至点电荷-q及q的距离。由于点电荷q为确定值，q亦必为确定值，故有 在圆上选取两特殊点C及DkqqRR12(常数)(2-16)RdbRRdbRk(2-18) (2-17)解上式得 b=R2/d29dRqRddRRqRdbRqq2(2-19)由式(2-16)进一步可得 可以验证在点电荷q和-q的共同作用下，原导体球面上任一动点p处的电位为零。这样在求得q与b值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题。分析：（1）当距离d一定时导体球半径R愈大则镜象电荷q亦愈大。这是因为半径愈大时，球面愈大，其离点电荷q愈近，所受电场力愈大，因而球面上感应电荷亦愈多。同理，当R一定时d愈大，球面离点电荷距离愈远，球

18、面所受电场力亦愈小，故球面感应电荷愈小。30（2）当导体球半径愈大时，靠近点电荷q一侧的导体球面其所感应的电荷愈密集，因而与球面感应电荷相等效的镜象电荷q的位置将愈靠近点电荷q之一侧，亦即b愈大；当点电荷q远离导体球时，球面感应电荷的密集程度减少，整个球面上感应电荷面密度愈来愈均匀，因而镜象电荷将愈靠近导体球心，即b随距离d的增大而减小。（3）若运用等位面法考虑上述问题时，可以认为图2-22乃是图2-23沿等位球面填充导电媒质所得。当沿等位球面填充导电媒质后，电荷q即转移至导体球表面，此时导体球外侧的电场仍保持不变，亦即球外的电场，可以视为两点电荷(-q及q)的电场进行求解。31不接地导体球对

19、点电荷的镜象不接地导体球对点电荷的镜象 若引入点电荷场中的导体球不接地，可知导体表面的边界条件:)球面为等位面；)因导体球原不带电，引入电场后，其所感应的正电荷量与负电荷量相等，故球面总电荷量为零。 若在前面所讨论的基础上，于球心o处放置一点电荷q，则能满足上述的边界条件。这样导体球外的电场，即可看为由点电荷q、q及-q三者所共同激发的电场。图2-24 不接地导体球对点电荷的镜象32例例2-4 空气中有一内外半径分别为R11和R22的导体球壳原不带电，其内腔介质为0，若于壳内距球心为b处放置点电荷q，求球壳内外的电场强度和电位。解解 点电荷q在球壳的内、外表面上感应电荷分别为-q和q。可以证明

20、球壳外表面的电荷q是均匀分布的。壳外的电场完全由这些均匀分布的感应电荷所激发，因此得到壳外的电场强度0204RRqE外图2-25 例2-4图33 电位为 (RR22)，其中R为球心到场点的距离， R0为单位矢量。球壳内表面作不均匀分布的感应电荷-q和点电荷q只在球壳内部激发电场，壳内的电场使得半径为R11的内球面为等位面和进入内球面的电位移 的通量为q。 仿照求解导体球外电场时在球内设置镜象电荷的方法求解球面内的电场，在球面外设置镜象电荷-q，如图(b)所示。204Rq外D34由式(2-18)、式(2-19)，令则点电荷-q和q使得半径为R11的球面电位为零，满足等位面的要求，并且没有改变进入

21、内球面的电位移 的通量。所以球面外镜象电荷-q可以代替分布的感应电荷，其在球面内任一点P所产生的电场强度为式中，R1、R2分别是点电荷q、-q到场点P的距离， 为相应的单位矢径。球内点P处的电位应由此两点电荷所产生的电位，及导体球壳电位叠加而成。220112010444RqbRRqRq内02221102010022001210444RbRRRRqRRqRRqE内bRd211bRqRdqq1111D0201, RR352-5 无限大介质交界平面的镜象 设有电容率分别为1及2的媒质区域，区域交界处为无限大平面，若在媒质1中，离界面高度h处，置一点电荷q，欲求此时上、下半无限大场域的电场。 求解上半

22、场域时，将下半场域媒质，换以电容率为1的媒质，且在边界外点电荷q的镜象位置处，放置一未知点电荷q，以代替边界面上分布的束缚电荷的作用。求解下半场域时，将上半场域的媒质换以电容率为2的媒质，在边界外点电荷q处，加置一未知镜象点电荷q，并考虑到无限远电位为零的条件( )，就能运用点电荷公式，求得交界面上任意点P的场量，对于媒质1中的点P有0sin4sin4221RqRqDn(2-20)36图2-28 交界面上的束缚电荷和原电荷用q来代替图2-26 介质交界面外的点电荷图2-27 交界面上束缚电荷用镜象电荷q来代替图2-29 介质交界面上的极化电荷3711144RqRq对于图2-28媒质电容率为2中

23、的点P有sin422RqDn 224Rq 121221nnDD121221qqq 根据连接条件：得(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)111qqq (2-25)联立求解式(2-24)、式(2-25)得qq2121qq2122 (2-27)38图2-30 平行于介质交界面的线分布电荷图2-31 线分布电荷在两种不同介质中的电场 从上两式镜象电荷可以求出，且有惟一确定的值，分别求解所要求的上半场域与下半场域的电场。当12时，q=0，q=q，整场域变为均匀媒质场域，束缚电荷将不复存在。 如图例2-30所示无限大介质平面上，置有一带电长直导线的电场，即可运用上述方法求解。39解解 比照点电

24、荷对无限大介质分界平面的镜象，将式(2-27)推广到线电荷的情形。由于Rh ，可将导线表面电荷视为集中到几何轴线上的线电荷。求水中电场时，将上半空间的媒质换为800，而导线的电荷连同交界面上分布的极化电荷可等效为图2-32 例2-5图例例2-5 离河面高度为h处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量，且导线半径Rh。设河水的电容率为800，求水中的电场强度。81160808022000212 40 yxyxyxehyxhyehyxxeRhyeRxeRhyeRxRRRE22220202202818016216022故水中任一点P(x，y)的电场强度41UQC (2)孤立导体电容的定义：当空间仅存

25、有一孤立导体时，可设另一导体在无限远处，因而孤立导体的电容即是导体所带的电量与其电位之比。即 电容电容 (1)双导体电容的定义：设空间仅有两导体，若两导体分别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值q与两导体间电压U之比，定义为两导体间的电容，通常以C表示 (2-28)(2-29)QC2-6 电 容 与 电 容 的 计 算42RC04 式中：R为孤立导体球的半径；0为空间媒质的电容率。在国际单位制中电容的单位为法拉(F) 。 1F是一个非常大的量。由孤立圆球的电容计算得，地球的电容量不足1F。实用中常采用微法(10-6F或表为F)或皮法(10-12F或表为pF)。 在线性媒质中，两导体间的电容仅决定

26、于两导体本身几何尺寸、相互位置和空间媒质的电容率的量，而与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关。 孤立导体球的电容计算公式(2-30)可看到上述特征。 (2-30)43ll dEU电容的求解方法电容的求解方法 从电容的定义式可知，欲求两导体间电容，可先赋予两导体以等值而异号的电量q，再求在其作用下，两导体间的电压U，然后按定义式(2-28)即可求得两导体间电容C。此时两导体间电压可通过积分式求得。(2-31) 根据电容的定义式，也可先赋予两导体以电压U，再求在此情况下，每导体所具有的电量q，同样按式(2-28)求得两导体间电容C。每导体所具有的电量，可通过积分式求得。(2-32)sSnd

27、SEdSq4422122221221,0V,abCVCQsAdvdvEWdAabVQCAQddsddzsbadlEabbaAQszasE板的电位为板相对则导体间电场强度为匀为电荷在极板上分布均解：忽略边缘效应，认例：两间距为d板面积为A的平行导电板构成一平板电容器，上面板电荷为Q，下面板为Q，问电容是多少？并用系统电容表示媒质中储能。45即因此满足要求的球形电容器的半径比R2/R1101。例例2-6 球形电容器的内球外半径为R1，外球的内半径为R2。介质的电容率为0。要使得这一电容器的电容与空气中半径为R1的孤立导体球的电容之比不超过后者的1%，试确定球形电容器的内外半径比(R2/R1)。 解

28、解 设球形电容器的内导体球的电荷为q，则电容器中的电场强度为 (R1RC0，在上式中，令h，同样可以得到忽略地面影响的电容计算式(2-45)。 按电容的定义，可得考虑地面影响时单位长度两导线间的电容为55部分电容的概念部分电容的概念 在实际问题中常常要遇到带电的多导体系统(如三芯电缆)，此时每两带电导体间均有所谓部分电容存在。图2-39绘出了外壳接地的三芯电缆的部分电容情况，其中C11、C22、C33分别为导体1、2、3对地的自部分电容。C12为导体1、2间的互部分电容,C23为导体2、3间的互部分电容，而C31则为导体3、1间的互部分电容。2-8 多导体系统的部分电容图2-38 三芯电缆图2

29、-39 三芯电缆的部分电容示意56大地影响的双输电线系统及三相输电系统也都是一个多导体系统，它们的互部分电容和自部分电容表示在图2-40中。图2-41中绘出了考虑大地影响时，三相输电线的部分电容情形。在带电的多导体系统中，每一导体的电位与所有带电导体的电荷都是相关的。图2-41 三相输电线的部分电容图2-40 双输电线部分电容57 设在电容率为的线性媒质空间有三个导体，当给定导体1电荷量为q1，其它导体不给电荷时，2、3导体将仅有感应电荷。虽然此时每导体表面电荷密度不为零，但2、3每一导体的总电荷应为零。如果将导体1上的电荷量由q1增加至q1，则导体1上各处的电荷密度，均将同时增加K倍。这是因

30、为导体所带的总电荷量与其表面电荷密度间存在着线性关系。多导体系统中导体电荷与电位的线性关系多导体系统中导体电荷与电位的线性关系图2-42 给定导体1的电荷量在导体2、3上感应的电荷图2-43 感应电荷量与引起感应的电荷成比例58 显然，此时由导体1所发出的电力线，其密度亦将在原有基础上增加K倍，2、3导体上每一导体处感应电荷的面密度亦将同时增加K倍。由面分布电荷电位计算式(1-8) ，并运用叠加原理可知：场中所有电荷分布处，当各点电荷面密度同时增加K倍时，场中所有点的电位(包括导体表面点)亦增加K倍。这就说明：其它导体所带电荷量为零时，当导体1的电荷(或电位)增加K倍时，场中所有点的电位于(或

31、电荷)亦将增加K倍。更一般的说法是：在线性媒质空间的多导体系统中，场中所有点(包括导体表面点)的电位，与每一导体的电荷量间具有线性关系。59多导体系统中的电位系数多导体系统中的电位系数 设在电容率为的线性媒质空间有1、2、3三个导体，若给导体1以电荷q1，而第2、3两导体不给电荷(其上有感应电荷，每导体总电荷量为零)，则根据电位与电荷的线性关系，场中点A的电位式中： 为导体1对点A的电位系数，电位系数的单位为伏特每库仑(V/C)。同理当导体2、3分别带有电荷q2、q3时其在空间点A所产生的电位为式中： 、 分别为导体2及导体3对点A的电位系数。111qAA222qAA3133qAA332211

32、321qqqAAAAAAA(2-50)根据叠加原理，此时场中点A的电位2A3A1A60 如将所观察的点A，分别选取在导体1、2、3上，则得三导体的电位 方程表明：线性媒质空间中各导体的电位与各导体电荷间的线性关系。具有相同下标的电位系数 、 称之为导体的自电位系数，具有不同下标的电位系数 、 、 、 、 、 则称之为两导体的互电位系数，它们都具有明显的物理意义。3132121111qqq3232221212qqq3332321313qqq（2-54）11223312132123313261 仅给导体1以单位电荷时导体1本身所具有的电位数值。此时若以无限远点为零电位点，则当导体1所给电荷为正时，

33、其自身的电位应为正，因而 为正。若当导体1所给电荷为负时，其自身的电位亦应为负，因而比例常数 仍为正，故知自电位系数 恒为正。 、 同理。 仅给导体1以单位电荷时，导体2上所具有的电位数值。当导体1所给电荷为正时，导体2所具有的电位为正，当导体上1所给电荷为负时，导体2所具有的电位亦为负，故互电位系数 亦恒为正。同时可以推及其它具有不同下标电位系数的物理意义，及其恒为正的属性。111111112233212162图2-44 导体1给定正电荷时的电位梯度方向图2-45 导体1给定负电荷时的电位梯度方向 无论是自电位系数或互电位系数，它们的数值将决定于每一导体的几何形状、导体与导体间的相互位置以及

34、空间媒质电容率。无论是空间媒质的改变，或是任一导体的形状与位置的改变，都将影响所有电位系数的数值。63333223113333222211223312211111AAAAAAqAAAAAAqAAAAAAq (2-55) 多导体系统的静电感应系数多导体系统的静电感应系数 在实际问题中，常常已知多导体系统中各导体的电位，此时如果要求各导体的电荷，则可对式(2-54)所示诸方程进行求解。333231232221131211A3332232211A式中(2-56)643132121111q3232221212q3332321313qAA1111AA1212AA1313AA3333(2-58) 其中11

35、、22、33称为导体的自静电感应系数，12、13、21、23、31、32则为导体间的互静电感应系数，单位为库仑每伏特(C/V)。65 11仅给导体1以单位电位其余导体联接并接地时，导体1上所具有的电荷值。当所给导体1的电位为正时，其上电荷亦为正，11应为正。当所给导体1的电位为负时，其上电荷亦为负，因而11仍应为正，故11恒为正。 21仅给导体1以单位电位，其余导体联接并接地时，导体2上所具有的电荷值。当所给导体1的电位为正时，导体2上所具有的电荷为负，故21为负。所给导体1的电位为负时，导体2上所具有的电荷为正，21仍应为负，故21恒为负 。 按照同样的方法，可推及其它自静电感应系数及互静电

36、感应系数的正负属性。66 如果互电位系数具有互换性质的话，则互静电感应系数亦具有互换性质，即12=21, 13=31, 23=32。当所有静电感应系数，以及导体的电位已知时，由式(2-57)可求得各导体上的电荷。图2-46 导体1给定对地正电位，接地导体2、3上的感应电荷图2-47 导体1给定对地负电位，接地导体2、3上的感应电荷6710011U 10120121022UU 10130131033UU303332313232313132323202322212121213131212101312111UUUqUUUqUUUq（2-62）(2-61)(2-60)(2-59)将以上三式代入式(2-

37、57)中，并稍整理得多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容 在工程实际问题中，多数情况下已知的是导体间电压，因而有必要对式(2-57)进行改写。如令地(或某一导体、或无限远处)为参考导体，电位为零，则有68333332312223222111131211CCC1212C1313C2121C2323C3131C3232C（2-64）333332323131323232222212121313121210111UCUCUCqUCUCUCqUCUCUCq若令（2-63）（2-65） 则由式(2-62)得69 C11、C22、C33导体的自部分电容，即各导体与参考导体间的部分电容； C12、C13、

38、C23、C31、C32相应两导体间的互部分电容，单位法拉(F) 。 C11仅给导体1与地之间施以一单位电压，而其它导体均与导体1相接时，导体1所具有的正电荷量，C11恒为正。 C12除导体2外，包括导体1在内的其余所有导体相联并接地，再于导体1、2、之间施以单位电压(即U121V)时，导体1上所具有的正电荷量，C12为正，当所施电压U12为负时，导体 1上的电荷亦同时为负，而C12仍为正。故C12亦恒为正。 同理可以推及其它自部分电容与互部分电容的物理意义及其均恒为正值的属性。70jiijjiijjiijCC 注意：上述关系中，电位系数、静电感应系数与部分电容，均只决定于体的几何形状与它们间相

39、互位置以及空间媒质的电容率，而与导体间电压和导体所带电压量关。(2-66) 按式(2-65)，作等效电容电路图：自部分电容C11就是导体与地(参考导体)之间所具有的那一部分电容，自部分电容C11在整个导体系统中所拥有的电荷量，亦只是导体1所具有的总电荷q1中与地相关联的那一部分电荷量q10；而互部分电容C12即是导体1、2之间所具有的那一部分电容，互部分电容C12在整个导体系统中所拥有的电荷量，亦只是导体1所具有的总电荷q1中，与导体2相关联的那一部分电荷量q12。 可以证明，互电位系数、互静电感应系数和互部分电容的双下标均可以互换，即71 在引入部分电容概念之后，可以将带电导体系统的电场问题

40、，等效为形象化的静电电容电路问题来进行求解。 静电电路基尔霍夫第一定律为：联结于任一节点的各电容器极板电量的代数和恒等于联结这些极板所带电量的代数和，即q=q0； 静电电路基尔霍夫第二定律为：沿某闭合回路，各支路电压的代数和恒为零，即U=0。 部分电容可借助于电压表及冲击检流计测得。72图2-48 导体1、2、3并联，对地接1V电源图2-49 导体1、3并联接地对导体2加1V电源图2-50 三导体系统的部分电容73图2-51 导体1对地总电容示意图2-52 导体1、2间总电容示意74PC三相输电线的一相工作电容三相输电线的一相工作电容 在实际工作中，对于三相输电线路或三相电力电缆，往往要计算其

41、单位长度上的一相工作电容，其定义为 （2-67）式中：为一相导线或一相(电缆)芯线单位长度上的电荷量；为一相导线或一相芯线的电位。各相芯线位置对称，故有C11C22C33=Ckk，C12= C23= C31= Cij，求每相单位长度上的工作电容。 图2-54(a)、(b)、(c) 可以看出，三芯电缆每相单位长度的工作电容CPCkk+3Cij。在求解一相导线单位长度的工作电容时，必须首先求解系统的部分电容，必须从求解电位系数入手，最终归结为求解电场问题。75图2-53 三芯电缆部分电容图2-54 三芯电缆三相电容示意76图2-55 例2-8图例例2-8 为了测定对称的三芯电缆的各部分电容，将三根

42、缆芯联在一起，测得它们与电缆的铅包皮间的电容为0.051F。又将两根缆芯与铅包皮相联，测得它们与另一缆芯间的电容为0.037F。试计算：(1)电缆的各部分电容；(2)每一相的工作电容；(3)只用两根缆芯时的工作电容。电缆的部分电容如图2-55(a)所示。77解解 电缆的三根缆芯由于几何位置对称，各自部分电容、互部分电容相等，即C11C22C33，C12=C22=C31 (1)三根缆芯相联时，与铅包皮间的电容相当于C11、C22、C33并联的等效电容，3C110.051F，因此各自部分电容均为 C110.017F。两根缆芯例如2、3与铅包皮相联时，它们与缆芯1之间的电容相当C11、C12、C31

43、的并联等效电容， C11+2C12=0.037F，C12=0.01F(2)一相的工作电容为各相间互部分电容构成对称三角形接法，运用-Y变换， 等效电路如图所示。一相的工作电容为(3)只用两根缆芯(例如1与2)时的工作电容将各自部分电容变换为等效三角形接法，等效电路如图(c)所示。其中1233CCCYFCCCCCYP047. 03111211113131CCCY78FCCCCCCC0235. 0312321112121212 缆芯1、2间的工作电容可设想为电源接于1、2时的等效电容 可见缆芯1、2间的互部分电容仅是它们之间的电容的一部分，而这一工作电容是与导体系统的各部分电容有关的。79平板电容

44、器的电场能量与电场能量密度平板电容器的电场能量与电场能量密度 在普通物理学中，已知平行板电容器的电场能量密度计算式 因而平行板电容器的能量表达式可写为 式中：V为电容器两极板所辖空间的体积。上式说明，静电场的能量，是以能量密度的形式，储存于整个电场所遍及的空间，而不是附着于两极板板面有电荷处。它说明有电场处即有能量存在。上式可以推广到非均匀的电场中去。DEEwe21212VVeedVDEdVW212-9 带电导体系统的电场能量及其分布（2-69）（2-68）80图2-56 给定电荷的n个导体的系统多个带电导体系统的电场能量多个带电导体系统的电场能量 为了研究问题简便，请注意下面三项原则：1.基

45、于场的物质性，一定的物质状态，对应唯一的能量状态，因而电场能量确定于场的最终分布状态，而不随其建立方式与过程之不同而不同。2.电场所处空间为线性媒质，因而各导体电位与各导体电荷具有线性关系，电场各量( 、 、 、)适用叠加原理。 3.不考虑电场建立过程中媒质的热损耗及诸如辐射等等所带来的不可逆能量损耗。ED81 设空间有且仅有n个带电导体，其所带电量分别为q1，q2，qk，qn，其相应的电位分别为 ， ， ， 。 在电场建立中的某一瞬间，第一导体上电荷为xq1，则同一瞬间，第2，第3，诸导体上的电荷亦分别为xq2，xq3，xqk，xqn。其中x为小于1的百分数，电场建立开始时它为零，在电场建立

46、终结时其值为百分之百。 当各导体电荷分别为xq1，xq2，xqk，xqn时，此时各导体相应的电位则分别为x ，x ，x ，x 。 设电荷均由无限远处，按比例搬移至各导体，搬移过程中外力反抗电场力所做的功，均以电场能量的方式储存于电场之中，而无其它损失。2k1n12n82 设任一瞬间，第一导体的电位为 ,此时其相应的电荷量则为xq1 。按电位的定义，当从无限远处将电荷增量d(xq1)移至导体1时，外力反抗电场力所作的功为 x d(xq1)。 同理，在此同一瞬间，当第2，第k，第n，诸导体上有电荷增量d(xq2)，d(xqk)，d(xqn)时，则外力反抗电场力所作的功分别为 x d(xq2)，x

47、d(xqk)，x d(xqn)。在此瞬间，外力反抗电场力所作的功的总和，即电场在此瞬间所获得的电场能量。故有nkkknkkkexdxqxqdxdW11（2-70）1x2kn183 式(2-72)说明，带电导体系统的电场能量，等于各导体电位与其所带电量乘积之和的一半。当k=1时，得孤立带电导体的电场能量表达式；当k=2时，则得我们熟知的两带电导体的电场能量表达式。kknknkkkeeqxdxqdWW111021(2-72)（2-71）亦即就整个电场建立的全过程而言，电场能量kknkveqdVDEW1212184代入式(2-72)，得电场能量 两种方法所得到的结果相同，电场能量储存于整个电场占据的

48、空间。104R102821RqqWe例例2-9 真空中的孤立带电导体球带有电荷q，半径为R1，计算电场储存的能量。 解解 方法一：应用式(2-69)计算。在RR1空间里，电场强度 ，电位移矢量 ，由式(2-69)，电场能量0204RRqEED0102222002084422211RqdRRRqdVEdVDEWRVve方法二：应用式(2-72)计算。将导体球的电位852-10 虚位移法计算电场力 基于功能守恒原理，电场力作功与电场能量的变化，应该平衡于外部电源所作的功： 电场力所作的功电场能量的变化 =外部电源所作的功 所谓虚位移法，即是基于功能转换过程而建立的。假设带电导体系统的电场中，某一被

49、研究的带电导体，在电场力的作用下，作一想象的微小位移，电场能量亦相应存在想象的微小变化，根据功能守恒原理，即可求得该带电导体所受的电场力。由于该方法中导体的位移是想象(虚构)的位移，故称之为虚位移法。虚位移法虚位移法86dWdWdgfeg(2-73)图2-57 给定电荷的平板电容器的虚位移 设一横轴坐标g，其起算点在正极板处。并设想负极板在电场力fg的作用下，沿坐标g方向移动一微小距离dg，此时电场力所作的功为fgdg，平行板电容器相应的电场能量变化量为dWe，外部电源所作的功为dW，则有平行板电容器电场力计算平行板电容器电场力计算871.先研究平行板电容器不与外界电源(如电池)相连接时的情况

50、，即保持极板电荷q不变，此时其功能转换仅在系统内部进行，故有0egdWdgfegdWdgf常数qgegWWfSlqCqWe22122SqdgdWfqeg22常数 因在电场力作用下所作的功恒为正(力与位移的方向总是一致的)，即fgdg0，故当fg0时，dg0，即电场力企图使负极板向正极板方向移动。故所求极板的力为吸力。（2-77）平行板电容器的能量表达式为电容器极板所受的电场力为(2-75)或 从而得88dqqddWe2121图2-58 给定电位的平板电容器虚位移（2-78 ) 电容器极板间电场能量的变化乃是由于电容器极板电荷增量dq所致。而电容器极板的电荷增量dq是电源将其由电源负极推向电源正

51、极的结果。2研究平行板电容器接有外界电源(电池)时，极板所受的电场力。令负极板接地，其电位为零。正极板的电位为电源正极的电位 。设负极板在电场力fg作用下，位移一微小距离dg。由于两极板与外部能源相联，故电容两极板电位保持不变。电容器电场能量的变化量为89此时电源所作的功为 dq。根据前面所述的功能转换关系，则有 dqdqdgfg21egdWdqdgf21 此结果与式(2-77)所示的结果完全相同。运用电荷不变或电位不变的条件，只是我们在处理同一问题时所采用的不同方法而已。常数gegWWf/2122SUCUWeSqlSUWWfgeg222222常数（2-79）(2-80)故得(2-81)(2-82)从而得则90从上可见，为了正确地计算带电导体在电场中所受电场力，应该注意下面3个要点：(1)选择一个合适的坐标系来描写导体的虚位移情况，并将电场能量写为位移坐标的函数。(2)选择一个方便的计算公式进行计算。例如在求平行板电容器极板所受的电场力时，选取式(2-75)较为方便。此时应该注意公式运用