第二章-流体静力学

1、流流 体体 力力 学学集美大学机械工程学院第二章 流体静力学 流体静力学研究流体在静止状态下的力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面所受到的液体总压力。 静止状态可以分为绝对静止状态和相对静止状态。如果流体相对于固结于地面的坐标系没有运运，就称为绝对静止，如果相对于某个动坐标系没有运动，则称为相对静止。 绝对静止和相对静止具有共性：流体质点之间没有相对运动，流体的粘性作用表现不出来，作用在流体上的压力和质量力达到平衡。 2-1 2-1 静止流体的应力特征静止流体的应力特征 质量力质量力：是某种力场对流体的作用力，其大小与流体质量成正比，其方向则由力场的性质确定。例如，重力，惯性力 单位质量的流

2、体受到的力场作用称为单位质量流体的质量力，简称为单位质量力，以f表示，其单位与加速度的单位相同，即为m/s2。在重力场中，单位质量力就等于重力加速度g，其方向竖直指向地心。 表面力：表面力：指流体微团的表面受到周围物体（固体和流体）的作用力，在流体的表面取一个微元面积A，外法矢为n。作用在面积A上的力有法向力和切向力。法向力与n平行，切向力与n垂直。作用在单位面积上的外力称为应力，N/m2。 流体静止时，切应力为零 也不能承受拉应力，因为如果有拉应力存在，流体必将发生变形运动，所以，静止流体只能承受压应力，即压强，其方向与作用面垂直，并指向流体内部。 静止流体中任意一点的各个方向的压强值都相等

3、静止流体中任意一点的各个方向的压强值都相等 证明： 考虑四面体上的表面力和质量力在x方向的平衡 061,cos21xnnxfzyxxnApzpy：外法矢n与x轴夹角的余弦 nA：斜面的面积 xf：质量力在x方向的分量 xn,cos注意到 zyxnAn21,cos因此 031xnxfxpp当四面体缩成一点时 xyz趋于零 因此 nxpp ypzpnp再考虑y、z方向的力平衡，可以得到、也等于 因此 nzyxpppp2-2流体静止的微分方程流体静止的微分方程 在流场中任取一个边长为dx、dy、dz的六面体。在此六面体内的流体在表面力和质量力的作用下保持静止， 设六面体中心点的压强为p，密度为 单位

4、质量力在y方向的分量为yfy方向的静力平衡方程为 02121dxdydzfdzdxdyyppdzdxdyyppy化简得ypfy1同理可得zpfz1xpfx1这就是流体静止的微分方程，它是由瑞士学者欧拉于1775年首先推导出来的，故又称欧拉平衡方程欧拉平衡方程 （2-1） 由式（2-1）容易得到坐标差为dx、dy、dz的两个邻点的压差为 dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpdpzyx（2-2） 积分上式就可以得到压强p的分布式 对于均质的不可压缩流体，密度是一个常数。这时，上式右边括号内的三项之和也应该是某个函数的全微分全微分 zyx,dzfdyfdxfdzyx由于 dzzdyydxxd因

5、此 xfxyfyzfz即质量力的分量等于函数 的偏导数，因此，称 为力势函数为力势函数。 存在势函数的质量力称为有势力有势力。重力是有势力。不可压缩流体只有在有势力的作用下才能保持静止平衡。 2-3 2-3 静止液体的压强分布静止液体的压强分布选x、y坐标系在水平面上，z坐标为海拔高度，质量力在x、y方向的分量为零，在z方向的分量为 gfz。由式（2-1）得 gdzdpg：单位质量流体的重量 ； 液体的密度 为常数。积分上式得 cgzp或 cgpz（2-3） 上式反映了液体的压强与高度的函数关系。由此式可以看出以下几点：上式反映了液体的压强与高度的函数关系。由此式可以看出以下几点：1 当z为常

6、数时，压强也是一个常值，因此，等压面是一个水平面。这个结论对任何一种不可压缩流体都适用。但是，对于不同的流体，由于它们的密度不同，因此上式的常数c不相同。 2 在同一种液体中，压强p随高度z的增加而变小。 0p0h3 设液面上的压强为，高度为，根据式（2-3），液体中任意一点的压强 ghpzzgpp000（2-4） 式中， hzz0为液深液深，也称为淹深淹深。 0pgh压强沿液深线性地增加。任一点的压强p由两部分组成：和显然，自由面上的压强 0p的任何变化，都会等值地传递到液体中的任何一点，这就是帕斯卡定律帕斯卡定律。 根据式（2-4），很容易画了压强沿液深的分布图。如图2-4所示，挡水面AB

7、的压强可用直线表示。水面的压强（等于大气压）用线段CA表示。水深h处的压强用线段DB表示，其中EB长度等于 gh。平行四边行CDEA表示表面压强p0传播到壁面AB上任何一点的压强，三角形AEB表示仅由于液体受到重力作用而引起的压强。 4 式（2-3）中的第一项目z表示点距离基准面的高度，称为位置高度位置高度，也称为位置水头位置水头；第二项 称为压强高度或压强水头压强高度或压强水头。式（2-3）说明，在静止液体中，位置水头与压强水头之和是一个常数常数。 gp压强水头压强水头的意义可用右图说明。为了测量封闭的高压水箱内某点的压强p，用一个真空的玻璃管（测压管）与容器壁上的一个小孔相连通，小孔与测点

8、同高。在水压力的作用下，测压管的水位升至一定高度 。可见，压强水头就是测压管液柱高度。工程实际所用的测压管都是开口的，显然，开口测压管的液柱高度是 。这里， 是当地大气压。 gpgppaap根据测压管的工作原理，工程上将绝对压强与当地大气压之差称为相对压强相对压强，也称为计示压强或表压强计示压强或表压强，以 表示，即 。如果某点的绝对压强小于当地大气压，则当地大气压与点的绝对压强之差称为真空压强真空压强，用 表示，即 ，真空压强也称为真空度真空度。 gpagpppvppppav压强可以用液柱高度h按 换算出来。通常，测压管所用的工作液体是水或水银。在计算标准中液柱高度有严格的定义。按照中国计量

9、局颁布的国家标准，重力加速度取 。1mmH2O柱高压强定义为4时1 mm水柱产生的压强，1mmHg柱高压强定义为时1mm水银柱产生的压强，1个标准大气压（记为1atm）为760mm水银柱高。0水银密度为 。因此，液柱高压强的柱高值为 ghp280665. 9smg 313595mkgPaOmmH80665. 912PammHg322.1331Paatm1013251在工程实际中，取 ，以简化计算工作。2806. 9smg 例例2-12-1 在海面以下 深处测得海水的表压为 ，当地的重力加速度 ，求海水的平均密度。 mh30kPa309278812. 9smg 解解 表压 ，以 、g、h的值代入

10、，得海水平均密度为 ghp33 .1052mkg例例2-22-2 气象部门使用巴（bar）作为压强单位，某地的大气压为986mbar，求： （1）绝对压强为 时的表压强； （2）绝对压强为 时的真空压强，并用水柱高表示 37 .117mkN35 .68mkN解解 大气压 PaPap55310986. 01010986当绝对压强 时，表压 Pap3107 .117kPapg1 .19当绝对压强 时，真空压强 或柱高 Pap3105 .68kPapv1 .303.069mmH2O 2-4 2-4 液柱式测压计液柱式测压计 液柱式测压计液柱式测压计是根据流体静力学的基本原理，利用液柱高度来测量压强差

11、的仪器 一一U形管和形管和形管形管U形管一端与测点连接，另一端与大气相通。水管中心的压强为p，水密度为 ，U形管工作液体的密度为 ，U形管左液面压强为 ，右液面压强为大气压 1ghpap21ghpghpa或 12ghghppa这样可测得表压强 右图U形管可以测得两个水管的压差 。设U形管左、右液面高差 。为了便于计算，不妨设U形管右液面至管轴线高差为h，显然，左液面压强为 ，右液面压强为 ，故有 21pp hhhgp1ghp2hgghphhgp21或 hggpp21形管实际上是倒放的U形管，显然，压差为 hgpp21二倾斜微压计二倾斜微压计倾斜微压计用于测量气体压差 。由一个底面积为A的容器及

12、截面积为 的玻璃管组成。玻璃管的倾角为 。容器开口接高压 ，管口接低压 。当 时，容器内工作液体（密度为 ）的液面与斜管液面平齐。当 时，容器液面下降 ，斜管液面的读数增加l。工作液体一般为酒精。压差为21pp 0A1p2p21pp 21pp hsin21lhgpp由于 ，因此 hAlA0lAAgpp021sin式中， 称为倾斜系数倾斜系数。由上式看出，对于一定角度的压差，角度 越小，读数l 越大。因此，用这种测压计可测量较小的压差。一般情况下， 很小，可以略去，倾斜系数近似地等于 AA0sinAA0sin三多管压差计三多管压差计多管压差计多管压差计用于测量若干点的气体压差。它由若干支与容器连

13、通的测压管、读数板及支架组成。读数板的垂直偏角为 。工作液体一般是水，密度为 。将测点的压强接至测压管，如果各测点的压强不同，则测压管的液面读数L将不相同。例如， ，则 ，压差为 21pp 21LL cos1221LLgpp例例2-3 用复式压差计测量两条气体管道的压差。两个U形管的工作液体为水银，密度为 ，其连接管充以酒精，密度为 。如果水银面的高度读数为 、 、 、 。求压差 211z2z3z4zBApp 解解 界面1的压强 Ap界面2的压强 122zzgpA界面3的压强 321122zzgzzgpA界面4的压强 BApzzgzzgzzgp342321122例例2-4 杯式水银真空计如图所

14、示，杯的直径 ，测压管直径 ，杯口接通大气时，杯和测压管的水银面平齐。当杯口接低压 时，测压管水银面下降 ，求杯口气压的真空度。 mmD60mmd5pmmh200解解 设管口大气压为 ，水银密度为 ，则 aphhgppa由于 4422dhDh故 hDdgppa21 取水银的密度 313600mkg代入数据，得真空压强为 Pa269392-5 静止大气压的压强分布静止大气压的压强分布 国际标准大气国际标准大气大气层中的压强与密度、温度的变化有关，而且受到季节、时间、气候诸因素的影响。世界各地的大气压强分布不同的。为了便于科技资源的交流，根据各国气象的统计数据，国际上约定一种大气压强、密度和温度随

15、海拔高度变化的规律，这就是国际标准大气国际标准大气。 国际标准大气取海平面为基准面，在基准面上的大气参数为 15T0z20101325mNp 30225. 1mkg 从海平面到1km的高空是对流层，在对流层里，温度随高度线性地减少，其变化规律是 zTT0 式中， ，z为高度（m）， 。11km以上被认为是温度不变的同温层，同温层的温度就是高空11km处的温度。 KT2880mK0065. 01、对流层的压强分布、对流层的压强分布 大气是完全气体，满足状态方程 RTp空气的气体常数 kkgmNR 287，由式（2-1）积分得 zppzTdzRgpdp000积分结果为 2565. 50044308

16、11zzTppRg在11km处， mz110001KT5 .2161012331. 0pp 由状态方程求得 012968. 02、同温层的压强分布、同温层的压强分布 在同温层里，温度恒为高度11km处的温度， 。由状态方程 及式（2-1）得 KT5 .21611RTpzzppdzRgpdp10积分结果为633611000expexp110zzzRTgpp例例2-5 飞机在大气对流层中飞行。地面大气压强 ，温度为25。 若飞机上的气压计读数为 ，求飞机所在高度。 kPap1000Pa4108 . 6解解 对流层大气压强分布为 RgzTpp001 由于 KT2980Pap5010Pap4108 .

17、 6458460T得 mz32432-6 静止液体作用在平面壁和曲面壁上的总压力静止液体作用在平面壁和曲面壁上的总压力 在工程实际中，当设计水坝、水闸、路基等时，除了要知道液体的压强分布之外，还要确定液体对物体壁面的总压力（包括力的大小、方向和作用点） 一平面壁一平面壁 一块倾角为 的平板，左边受水的压力，右边受大气的压力。设此平板位于Oxy平面上，此平面与水面交线为Oy轴。 任取一个微元面积dA，其左侧受到水压力为 ，h为淹深，且 .右侧受到的大气压力为 。此微元面积受到的合力为 ，其方向由液体指向平板，由于大气压力左右抵消，这个力可看作纯粹是液体作用产生的。 dAghpasinyh dAp

18、aghdA总压力 AAydAgghdAFsin式中右边的积分是面积对于Ox轴的静面距静面距，它等于面积A与其形心C到x轴的距离 的乘积，于是 cyAghAygFccsin:形心C的淹深 ch说明说明: 1 平板所受到的液体的总压力的大小，等于平板形心处的表压强 与面积A的乘积 cgh2 无论倾角是多少，也无论平板是什么形状，只要形心的淹深 相同且面积A的大小一样，平板受到的液体总压力的大小总是相同的 ch压力中心压力中心：总压力的作用点D 总压F 对x（或y）轴的矩等于所有微元面积上的压力对该轴的矩 AxyAxyxJgdAygFJgxydAgFDDsinsinsinsin2xyJ：面积A对x、

19、y两轴的惯性积 xJ：面积A对x轴的惯性矩 平行移轴原理平行移轴原理：任何平面图形对某轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩与图形面积乘以两轴之距的平方的和，任何平面图形对于两条相垂直的轴的惯性积等于它对平行于该两轴的形心轴的惯性积与面积乘以两对平行轴间距的乘积之和，即 AyxJJccCxyxyAyJJCCxx2因此，压力中心的坐标为 AyJxxCCxyCDAyJyyCCxCD1 惯性积 可正可负，故 可能大于也可能小于 。 如果平板对称，则 ， 说明：说明： CxyJDxCx0CxyJCDxx 2 而 ，故 ，即压力中心总是在形心C的下方 0CxJCDyy例例2-6 如图，用一块长L，

20、宽B的平板档水，试求压力中心D的位置。 解解 由于对称性，压力中心D必在对称轴上，即 又 ， ， ，因此 CDxxLyC213121BLJCxBLA LyD32例例2-7 如图，矩形平板将渠道上、下游的水隔开，平板为单位宽度，水平倾角为 。此平板可绕一个固定铰轴O转动。上、下游水深为H和h，设铰轴O到板底边B之距为S（S=OB），求证：为了保证平板在上、下游水压力的作用下不会自动开启，应使 sin32233hHhHS解解 平板在上游的淹水长度 ，下游的淹水长度 。上游的总水压力 ，根据上例，F的作用点距离板底B为 ，下游的总水压力 ，距B为 。为避免平板自动开启，应使合力F 和f 对转轴O的力

21、矩满足 sinHL sinhl gHLF5 . 03Lghlf5 . 03l33lSfLSF整理得sin32233hHhHS二曲面壁二曲面壁曲面壁所受的静止液体的总压力等于所有微元面积上的作用力之和。由于压力的方向与作用面正交，因此，曲面上各微元面积的压力的方向是变化的，这些力构成一个空间力系。右图曲面是二维曲面。所谓二维曲面，是指由平面曲线及母线构成的柱形曲面。图中的ab就是平面曲线，母线则与纸面垂直，母线之长就是柱面的宽度，为简单起见，设宽度为单位1。 将各个微元面积的水压力投影到坐标轴方向，然后再求合力。 对于图示的一个微元面积，其左边受到的液体压力为 ，方向与内法线方向n平行。右边受到

22、的大气压力为 ，因此，微元面积受到液体和大气的合力为 dAghpadApaghdA总压力在x 方向的分量为 AxdAghFcos由于 是斜面dA在 x 方向的投影值，即在平行于 x 轴的光线中投影到一个与 x 轴垂直的平面上的面积，记作 。因此 cosdAcosdAdAxxAxxCxxAghghdAF可见可见：曲面所受到的液体总压力等于曲面在x方向的投影面积的形心处的压强 与面积投影值 的乘积，其中 是投影面积 的形心处的淹深。注意注意： 的形心与曲面的形心的淹深不一定相同。 的作用点可用平面壁的方法确定。 xCghxAxAxChxAxF总压力在 z 方向的分量为 gVhdAgdAghFzAz

23、Azsin式中， 是微元面积 在 z 轴方向的投影值。由图看出， 是一个底面积为 ，高为淹深 h 的柱体，称为微压力体微压力体。全部微压力体之和称为压力体压力体，其体积为V。总压力的竖直分量 等于压力体的液体重量。 sindAdAzdAzhdAzdAzF压力体体积V表示一个数学积分，与压力体内是否有液体无关。一般地说，压力体是由曲面、过曲面的边缘且与z轴平行的铅直线以及过液面的水平面所围的空间的体积。压力体内可能有液体，也可能无液体。图中的压力体是cabd，其内并没有液体。合力在 z 方向的分量的作用点就是压力体的形心形心。实际中的曲面常常很复杂，这时可以将这个复杂曲面分开成若干较简单实际中的

24、曲面常常很复杂，这时可以将这个复杂曲面分开成若干较简单的曲面，分别求出各部分曲面的力，然后再计算它们的代数和。的曲面，分别求出各部分曲面的力，然后再计算它们的代数和。右图表示一块挡水的巨石块，设为二维曲面。为了求曲面abc上的总压力在坚直方向的分量，可以将abc分成ab和bc两部分，其中b为曲面左边最突出的点。曲面ab上的作用力向下，曲面bc上的作用力向上，以向上为正，利用压力体的概念计算分力 为 zFebaebcfzVVgF总压力F的大小以及它与水平轴x的夹角分别为 22zxFFFxzFFarctan例例2-9 输水钢管中心处的静水压强高达 ，钢管直径 ，如果钢的许用应力 ，试设计管壁厚度

25、Pa610471. 1 Pa61006.98md5 . 1解解 用一个过管轴的切面将管壁截开，并用内力代替。 设管壁拉应力为 ， 则 pd2按要求，应有 2pd由 Pap1509806md5 . 1 Pa61006.98得 mm25.11例例2-10 如图所示，贮水容器壁上装有三个半径 的半球形盖，已知 ， ，求这三个盖子所受的静水总压力。 mR5 . 0mH5 . 2mh5 . 12 解解 盖1 0 xFNRhHRgFz109113232盖2 NRgHFx192542NRggVVVgFabcebcfebafz2567323盖3 0 xFNRhHRgFz3401532322-7 液体的相对静止

26、液体的相对静止 设液体连同容器一起运动，将动坐标动坐标固结在容器上，对于此动坐标，液体无相对运动而保持相对静止。这时，液体在重力、惯性力和压力的联合作用下保持平衡。惯性力也属于质量力，单位质量的液体所受到的惯性力的大小就等于加速度的值。方向则与其相反。 一等加速度直线运动的液体的相对静止一等加速度直线运动的液体的相对静止如图所示，容器及其内液体沿水平方向以等加速度作直线运动。取 z 轴仍为海拔高度方向，x 轴向右。液体受到的质量力为 afxgfz由式（2-2）， gdzadxdp等压面 的微分方程是 0dp0gdzadx积分得 Cxgaz这是一簇斜平面。将坐标原点放在自由面上，则自由面的方程为

27、 xgaz0显然，斜面的水平倾角的正切 gatan液体的压强分布为 Cgzaxp在坐标原点，液体的压强等于大气压 0p，因此上式的积分常数 0pC 故有 ghzzgzxgagpp00这里， zzh0是淹深。 二旋转容器内液体的相对静止二旋转容器内液体的相对静止 右图表示盛有液体的容器绕其中心铅垂线作等角速度旋转时，由于重力和离心惯性力的作用，液面成为一个类似漏斗形状的旋转面。取x、y轴在水平面上，z轴为旋转轴，垂直向上。设任意一点到z轴的距离为r，流体质点在该点的向心加速度为 ，惯性力为离心力。单位质量的流体的质量力在坐标方向的分量为 rar2gfyrfxrfzyx2222sincos代入静力

28、学微分方程（2-2），得 gdzydyxdxdp22等压面的微分方程为 02gdzydyxdx积分得 Cgzyx2222或 （2-11） Cgzr2221这是一簇旋转抛物面。设坐标原点在自由面中心的最低点，则自由面的方程为 22021rgz压强分布为 Czrggp2221（2-12） 由于坐标原点的压强为大气压，因此，积分常数C=p0 ghzzgzrggpp022021淹深h从自由面起算。由上式看出，在同一水平面上，z=常数，r越大，液体的压强越大。这是由于液体受到离心力作用的结果。 例例2-11 用离心铸造机铸造车轮，铁水密度 ，已知： 求铁水对于圆平面AA的总压力。 37000mkgmmh

29、200srad20mmD900解解 铁水的压强分布为 zrggpp22021在平面AA上，z=-h，AA面受到的铁水总压力为 24200214222hRRggrdrppFR以 37000mkgmmh200srad20mmD900代入得 kNF2 .8982-8 浮体的平衡浮体的平衡 考察下图所示的一个对称浮体。在初始状态，浮体是平衡的，重心重心C在上，浮心浮心D在下，C、D同在一条铅垂线上，重力G和浮力F相等，它们都等于abS的体积V与水的 乘积，即 。通过CD的连线称为浮轴浮轴。如图（a）所示。 ggVFG当浮体受到风吹、浪打等外力作用发生偏斜时，浮体没在水中的那部分体积发生了变化，浮力的大小虽然不变，仍等于重力G，但浮心移至D点，如图（b）。通过D的铅垂线与浮轴CD的交点M称为定倾中心定倾中心。M至D的距离MD称为定倾半径定倾半径，记作R。C至D的距离CD称为偏心距偏心距，记作e。浮体的稳定性与定倾半径R以及偏心距e的大小有关。当Re时，浮力和重力组成一个扶正力矩，使浮体从偏斜位置恢复到原来的平衡状态，这种情况称为稳定平衡稳定平衡。当R=e时，浮体在任何倾斜位置都能保持平衡，这种情况称为随遇平衡随遇平衡。 当Re时，浮力和重力组成一个倾复力矩，浮