大学物理力学

1、第一册第一册 力力 学学力学力学-研究物体机械运动的科学研究物体机械运动的科学。机械运动机械运动-物体相对位置或自身各部份的相对位置物体相对位置或自身各部份的相对位置随时间发生变化的运动。随时间发生变化的运动。 一、中国古代力学的成就一、中国古代力学的成就： 我国古代记载的力学知识极为丰富。有关于我国古代记载的力学知识极为丰富。有关于力和力矩，杠杆原理，弹性定律，相对运动等等。力和力矩，杠杆原理，弹性定律，相对运动等等。当时都居世界领先地位。但始终未形成系统的力当时都居世界领先地位。但始终未形成系统的力学体系。学体系。二、古希腊时期的力学的成就二、古希腊时期的力学的成就： 亚里士多德（亚里士多

2、德（Aristotlt，公元前，公元前384年年公元前公元前322年）是古希腊伟大的思想家。他的力学理论着眼年）是古希腊伟大的思想家。他的力学理论着眼对对“运动的原因运动的原因”的探索。的探索。 阿基米德（阿基米德（Archimedes，公元前，公元前287年年公元前公元前212年）。主要工作是静力学方向。推出了杠杆原年）。主要工作是静力学方向。推出了杠杆原理。名言是：给我一个支点，我就能把地球挪动。理。名言是：给我一个支点，我就能把地球挪动。还提出了比重原理。最著名的是浮力定理还提出了比重原理。最著名的是浮力定理 古希腊人主要是从整体上对自然界进行观察，古希腊人主要是从整体上对自然界进行观察

3、，未对自然界进行分析研究。古希腊的力学属于萌未对自然界进行分析研究。古希腊的力学属于萌芽阶段。他的理论常常带有猜测的性质。芽阶段。他的理论常常带有猜测的性质。三、近代的力学（我们将学习的内容）三、近代的力学（我们将学习的内容）： 1415世纪后，西方资本主义生产方式开始世纪后，西方资本主义生产方式开始萌芽，这不仅提出了发展科学的需要，还提供了萌芽，这不仅提出了发展科学的需要，还提供了科学发展所需的材料和设备。科学发展所需的材料和设备。 文艺复兴运动后，力学开始发展成为一门独文艺复兴运动后，力学开始发展成为一门独立的学科。立的学科。 17世纪中叶，经过伽利略、笛卡尔、惠更斯世纪中叶，经过伽利略、

4、笛卡尔、惠更斯等科学家的努力，力学实验的基础已经建立起来。等科学家的努力，力学实验的基础已经建立起来。部分运动学规律已经发现。为牛顿定律的建立奠部分运动学规律已经发现。为牛顿定律的建立奠定了基础。形成了近代力学。定了基础。形成了近代力学。力学的许多内容在中学已学过。这里不是简单的力学的许多内容在中学已学过。这里不是简单的重复，而是利用高等数学，更严格，更系统。重复，而是利用高等数学，更严格，更系统。第第 1 章章 （运动的描述）质点运动学（运动的描述）质点运动学1.1 质点运动的描质点运动的描述述质点质点-把实际物体看成只有质量而无大小形状把实际物体看成只有质量而无大小形状 的力学研究对象。的

5、力学研究对象。一、理想模型一、理想模型注意：注意： a. 能否看成质点是相对于所研究的问题而言能否看成质点是相对于所研究的问题而言的（例：单摆的摆球电场中电子）的（例：单摆的摆球电场中电子）b .不能看成质的集合（例：刚体运动，流体不能看成质的集合（例：刚体运动，流体运动）运动）。（物体（物体看成看成“质点质点”）例，地球：例，地球： 公转公转 质点质点 自转自转 刚体刚体 潮汐潮汐 质点系质点系一、一、 参考系参考系 参考系：描述物体运动而选作参考的物体或物体系。参考系：描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。运动的相对性决定描述物体运动必须选

6、取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。（如轨迹、速度等）可以不同。 3.常用参考系常用参考系: 太阳参考系（太阳太阳参考系（太阳 恒星参考系）恒星参考系） 地心参考系（地球地心参考系（地球 恒星参考系）恒星参考系） 地面参考系或实验室参考系地面参考系或实验室参考系 质心参考系（后面介绍）质心参考系（后面介绍）“山不转来水在转山不转来水在转，水不转来云水不转来云在转在转 ，” “坐地日行八万里坐地日行八万里 ” 1.2 参照系和坐标系参照系和坐标系 惯性系惯性系自然坐标系自然坐标系to oPnx

7、 xo oy yijkZ Z r rP POx极坐标系极坐标系直角坐标系直角坐标系二、坐标系二、坐标系 坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却但其运动形式的数学表述却可以不同可以不同。三、惯性系和非惯性系三、惯性系和非惯性系;惯性系；惯性定律成立的参照性。惯

8、性系；惯性定律成立的参照性。 惯性定律惯性定律; 即即 牛顿第一定律牛顿第一定律 自由粒子永远保持静止或自由粒子永远保持静止或匀速直线运动状态。匀速直线运动状态。 实用上选实用上选 1535 个恒星的平均位形作为基准惯性系个恒星的平均位形作为基准惯性系地球是一个非精确的惯性系。太阳好一些。地球是一个非精确的惯性系。太阳好一些。一般技术上使用的地面参考系和实验室参考系足够精确一般技术上使用的地面参考系和实验室参考系足够精确是理想化抽象思维的产物。是理想化抽象思维的产物。 标量；一个数标量；一个数+ 单位单位 m，T，t，E能，A功。 2,矢量的加法; 1) 法 CABBA222cosCABABs

9、incosBtgABABC1.3 运动的描述运动的描述.矢量；矢量；1，矢量和标量矢量和标量 矢量矢量; 大小大小, 方向方向, 按按 法则合成法则合成,.,BEavrrf 2) 法法 BAC 3) 解析法解析法jAiAAyxjBiBByxjBAiBABACyyxx)()(22)()(yyxxBABACxxyyBABAtgxAyAAxijyACB 4）减法）减法 )( BABACABBC3，矢量的乘法；，矢量的乘法； 三种三种 1）标量（或常数）乘矢量）标量（或常数）乘矢量 .,.00bkAkk 反向反向例例1， 例例 2，单位矢量，单位矢量vmp0aAA0a 单位矢量（大小为单位矢量（大小为

10、1，方向沿，方向沿A方向）方向）在三维坐标中引入三个单位矢量在三维坐标中引入三个单位矢量;.,kjikAjAiAAzyxkzj yi xr,kji 是三个常矢量，（大小，是三个常矢量，（大小，方向都不变。）方向都不变。）2）标积（点乘），）标积（点乘），cosA BAB xzrijkyBA例例1，功，功 例例2， cosAFSF S2AAAvvmmv212123）矢积（叉乘）矢积（叉乘） CBA大小大小 方向方向 按右手螺旋法则按右手螺旋法则 乘次序不能颠倒乘次序不能颠倒ABBAABCsinCAB例例1，力矩，力矩fLrLfrL,rfL例例2，磁场对一段载流，磁场对一段载流 导线的作用力导线的

11、作用力lIdBlIdf dlIdfB例例3， 以速度以速度 在在 中运动电荷中运动电荷q 受力，受力，vBBvqf例例4， 习题习题 证明证明zyxzyxBBBAAAkjiBA先证先证; kjiii0例例5, 平行四边形面积平行四边形面积 BASABS 平行六面体的体积平行六面体的体积 ABCCBAV)(推论推论1; 则三矢量共面。则三矢量共面。 2， 0CBACBACBA互换。互换。 3，循环置换三矢量，结果不变。，循环置换三矢量，结果不变。BACACBCBA若循环顺序改变，则差一负号。若循环顺序改变，则差一负号。BCACBA习题习题;证明证明 1, 矢量在矢量在 与与 组成的平面内组成的平

12、面内. 2, 3,证明证明CBABCCBABCACBAzyxzyxzyxCCCBBBAAACBA一、一、运动方程运动方程机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。在坐标机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。在坐标系中配上一套同步时钟，可给出质点运动到各处的时系中配上一套同步时钟，可给出质点运动到各处的时刻，从而得到刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系质点位置坐标和时间的函数关系。该。该函数关系称为质点的运动函数或运动方程。函数关系称为质点的运动函数或运动方程。( ),( ),( )xx tyy tzz tXYZoyxzPnAB( , , )x y z( )( )( )( )rr tx t

13、iy t jz t kkzzjyyixx)()()(121212大小：大小：222zyxr四四. .位移位移: :A AB B1r2rrM MN N21()( )rr ttr trr O OS问题：问题：rr |?222zyxrrzryrxcoscoscosX XY YZ Zo ory yx xz zP Pn nA AB B ijk二、二、 质点的位置矢量质点的位置矢量（位矢、矢径）（位矢、矢径） 用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。opr 该式也叫质点的运动函数或运动方程。该式也叫质点的运动函数或运动方程。例：如图所示：质点沿曲线路径由例：

14、如图所示：质点沿曲线路径由a运动至运动至b，所经路径为所经路径为Sab， a，b的位矢为的位矢为arbrarbrab?bad r?bad r?bad rab 位移大小位移大小Sab 路程大小路程大小rba位移位移trtrrv12( (瞬时瞬时) )速度速度 : :dtrdtrvt0lim平均速度平均速度: :方向：方向： 切线方向切线方向kdtdzjdtdyidtdxkzj yi xdtd)(大小：大小：222zyxvvvv三、三、速度速度 速度：速度： 运动快慢程度和方向运动快慢程度和方向kvjvivzyx速率速率: : 速度的大小速度的大小 ( ( 标量标量 ) )trvvt0limdtd

15、stst0limdtdxvxdtdyvydtdzvzxyzvvvsv2r1rrA AB B四、四、 加速度加速度加速度：描写速度的大小和方向变化加速度：描写速度的大小和方向变化平均加速度平均加速度: :1212ttvvtva方向由速度改变量的方向来决定方向由速度改变量的方向来决定( (瞬时瞬时) )加速度加速度: :kdtzdjdtydidtxd222222方向方向: : 指向轨道曲线凹下的一侧指向轨道曲线凹下的一侧kajaiazyxoZXYABvkdtdvjdtdvidtdvzyx22dtxddtdvaxx22dtyddtdvayy22dtzddtdvazz22d rdt1vxyzaaadt

16、vdtvat0lim2v2v例：质点在平面运动，分别指出下列情况中做何例：质点在平面运动，分别指出下列情况中做何种特征运动？种特征运动？0d rd t0d rd t0d vd t0d vd t静止、转动静止、转动静止静止匀速率运动（直线、曲线）匀速率运动（直线、曲线）匀速直线运动匀速直线运动例：有一质点沿例：有一质点沿x轴作直线运动，轴作直线运动，t时刻的坐标为时刻的坐标为求：求：1.第第2秒内的平均速度。秒内的平均速度。2.第第2秒末的瞬时速度秒末的瞬时速度 2。第。第2秒内的路程秒内的路程234.52xtt1210.521xxVm s 21966dxVttm sdt 2960dxVttdt

17、t=1.5s时改变方向时改变方向1.5121.52.25Sxxxxm质点运动学中的正反问题：质点运动学中的正反问题：质点运动状态质点运动状态位矢位矢瞬时速度矢量瞬时速度矢量)(trdttrdv)(质点运动状态变化质点运动状态变化已知位置（运动函数）已知位置（运动函数）求速度求速度（求导）（求导）求速度求速度求位置（运动函数）求位置（运动函数） （积分）（积分）ktzjtyitxtr)()()()(（运动方程）（运动方程）位移位移21rrr瞬时加速度矢量瞬时加速度矢量dvadt22d rdt求加速度求加速度正问题：正问题：已知加速度已知加速度反问题：反问题：例例1 1 匀加速直线运动匀加速直线运

18、动运动特点：运动特点：匀加速匀加速a a为常量为常量直线运动直线运动一维一维0 0avx x(t=0)(t=0)(t)(t)x x设质点运动轨道为设质点运动轨道为x x轴轴初始条件初始条件(t=0)(t=0)0 x0v0(0)x 求：求：( )?x t ( )?v t 已知：已知：a a和和解：解：求速度求速度求位置（运动函数）求位置（运动函数） （积分）（积分）已知加速度已知加速度 反问题：反问题：dvadtd va d t0t0vv0vvat0vvat由由由由dxvdtd xvd t0t0 xx000()xtxdxvat dt20012xxv tatx 2202vvax例例2 2 自由落体

19、运动：自由落体运动：沿质点运动轨道建立沿质点运动轨道建立y y轴（正方向向下）轴（正方向向下）0 0gy y(t=0)(t=0)(t)(t)y yv已知：已知：a g00y 00v 求：求：( )?y t ( )?v t 解：解：同理可得同理可得vgt212ygt22vgy例例3 3 竖直上抛物体运动：竖直上抛物体运动：沿质点运动轨道建立沿质点运动轨道建立y y轴（正方向向上）轴（正方向向上）0 0y y00v g gag 00v 0vvgt2012yv tgt可以看出：这是位移公式，不是路程公式！可以看出：这是位移公式，不是路程公式！（向下）（向下）（向上）（向上）例例4 4 斜抛运动斜抛运

20、动运动特点：运动特点：匀加速匀加速曲线运动曲线运动二维（平面运动）二维（平面运动）a g 水平方向水平方向x x轴轴竖直方向竖直方向y y轴轴建立坐标系：建立坐标系：X X方向：匀速方向：匀速y y方向：匀加速方向：匀加速yag (t=0)(t=0)00 x 初始条件初始条件00y 轨道函数轨道函数0 xa y yg gx xo o0 xv0yv0vxvyvv(x y)(x y)cos00vvxsin00vvycos0vvxgtvvysin0cos0tvx 2021singttvy2220cos2xvgxtgy矢量分析方法：矢量分析方法：xyvv iv j000 xyvv ivjagg j 0

21、vvgtrxiyj2012rv tgt212gt0v ty yg gx xo o0 xv0yv0vxvyvv(x y)(x y)rjvivsincos00jgtviv)sin(cos00tj gjviv)()sincos(00jgttvitv)21sin()cos(200200)(21)sincos(tj gtjviv1 12 23 3物体由三光滑轨道的顶端下滑物体由三光滑轨道的顶端下滑哪条轨道用时最短？哪条轨道用时最短？1ag2112gt21 112a t1r2211 111122ra tgt2222221122ra tgt2233331122ra tgt2r3r22 212a t23 31

22、2a t123ttt 222123111222gtgtgt 例例5， 求船的求船的 v，a 已知已知； 0vdtdrj hi xrdtdrhrrdtdxhrxidtdxdtrd22220222200vxhxhrrvdtdxvdtdr?22raixhxrv 0 xyhrx2203haxv 例例 一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，满足速度方向相反，满足2,dvkvdt 式中式中 k 为常数。试证明汽艇在关闭发动机为常数。试证明汽艇在关闭发动机后又后又行驶行驶 x 距离时距离时的速度为的速度为0,kxvv e

23、其中其中 v0 是关闭发动机时的速度。是关闭发动机时的速度。解：解：对题中所给关系式对题中所给关系式2dvkvdt作一数学处理如下：作一数学处理如下：2dvdv dxkvdtdx dt分离变量积分：分离变量积分：00lnln,lnvvvkxkxv0,kxvv e即即2dvvkvdx 00,vxvdvdvkdxkdxvv 故故#运动学基本物理量在不同坐标系中的表达运动学基本物理量在不同坐标系中的表达一、直角坐标系一、直角坐标系( )( )( )( )rr tx t iy t jz t k21()( )rr ttr trr 0limtrdrvtdt 0limtvdvatdt 自然坐标系自然坐标系t

24、o oPnx xo oy yijkZ Z r rP POx极坐标系极坐标系直角坐标系直角坐标系二、 平面极坐标系平面极坐标系 不是常矢量，是质点所在位置不是常矢量，是质点所在位置的函数。的函数。,re:e1. A1. A点的点的位置矢量位置矢量：( )( )( )rr tr t e t2. 2. 质点在质点在 t t 时间内的时间内的位移位移为：为：12()( )rr ttr trr 1rAC横向位移横向位移2rCB径向位移径向位移图中图中：( ) ,OAOCr t2OBOCr 当当 t t 很小时，有很小时，有：22rrr e 1,rre o( )re tX( )r t()re tt ()r

25、 tt AB1rC2rr( )et()ett 坐标系中有两相互垂直的单位矢量：坐标系中有两相互垂直的单位矢量： B B点的位置矢量：点的位置矢量：()()()rr ttr tt e tt平面极坐标系：位矢长度为平面极坐标系：位矢长度为 r, r, 辐角为辐角为。沿着沿着 r 和和增加的方向增加的方向12()( )rr ttr trr 2rrer e 在直角坐标系中，有关系式：在直角坐标系中，有关系式：利用矢量求导数方法，可得出下述两式利用矢量求导数方法，可得出下述两式: :()rrrrd rededrdrverreredtdtdtdtxyree1reeeedtddtedrrd eed t 径向

26、速度径向速度横向速度横向速度cossinreijsincoseij 3.3.质点的速度质点的速度12000limlimlimtttrrrvttt 4.4.质点的加速度质点的加速度()rd rer edvadtdt其中：其中：2()rrrrrea e称为径向加速度称为径向加速度(2)rrea e称为横向加速度称为横向加速度()rrr ererer ererrdededrdrerererdtdtdtdt2()(2)rrrerrerra ea eedtedrredtedrvrere三、三、 自然坐标系自然坐标系已知质点的运动轨迹，在轨迹上选取任意一点为原点，建立自已知质点的运动轨迹，在轨迹上选取任意

27、一点为原点，建立自然坐标系。然坐标系。位置：用轨迹长度位置：用轨迹长度 s s 来描述，来描述，位移：位移：s ,s ,即即A,B A,B 间轨迹长度。间轨迹长度。o oA A( ) t( )n tB B()tt()n tts s( ) tt1. 1. 质点位置与位移质点位置与位移：切向单位矢量：切向单位矢量n：法向单位矢量：法向单位矢量两者的方向互相垂直，两者的方向互相垂直，并且均随时间而变化。并且均随时间而变化。2.2.速度速度vv其大小为：其大小为：dsvdt速度只有切向方向分量，没有法向方向分量。速度只有切向方向分量，没有法向方向分量。3.3.加速度加速度()dvd vdvdavdtd

28、tdtdt当当 t t 很小时，很小时，n dnd过过A A点作曲率圆，半径为点作曲率圆，半径为 ，dsdddsvnndtdt2ndvvdvvavnnaa ndtdt 式中：式中：2nva切向加速度，切向加速度，dvadt法向加速度法向加速度o oA A( ) t( )n tB B()tt()n tts s( ) ttd 圆周运动圆周运动质点做曲线运动时，质点做曲线运动时，可以看作各个瞬间做不可以看作各个瞬间做不同曲率半径的圆周运动同曲率半径的圆周运动线速度线速度（圆周运动速率）（圆周运动速率）dsvdt角速度角速度ddt线量与角量关系：线量与角量关系：对匀速圆周运动：对匀速圆周运动：2Trs

29、 rv rdds 1r2rvss0 0 x xA Ar( )v tv()tv()v tt()nv()()ntvvv 0limtdvvadtt 00()()limlimntttvvtt ntaa0limttvatdvdt切向加速度切向加速度ta大小：大小：方向：方向：切线方向切线方向线量与角量关系：线量与角量关系：ddt角加速度角加速度()v ttss0 xA( )v trdtrddtdvatr0| () |limnntvat法向加速度法向加速度na大小：大小：方向：方向：指向圆心方向指向圆心方向C CB B()v ttss0 0 x xA A( )v tr( )v tv()tv()v tt()

30、nvtrBCvtlim0trsvtlim0tsrvtlim0vrvrvan2rBCvvn )(圆周运动的加速度圆周运动的加速度切向加速度切向加速度ta速度大小变化产生的加速度速度大小变化产生的加速度法向加速度法向加速度na速度方向变化产生的加速度速度方向变化产生的加速度tdvadt切向加速度切向加速度ta大小：大小：方向：方向： 切线方向切线方向法向加速度法向加速度na大小：大小：方向：方向：指向圆心指向圆心圆周运动的总加速度圆周运动的总加速度ntaaa22ntaaaa的大小的大小rvan2r2rntervedtdv2nterer2也可以采用也可以采用“自然坐标系自然坐标系”来推导：来推导：C

31、B()v ttss0 xA( )v trtenetevv)(tet)(dttetdtedtvdadtedvedtdvtt?dtedttednteded)1 (ntedtddtednenerv ntervedtdva2圆周运动中线量与角量关系：圆周运动中线量与角量关系：rs rv dtdsv dtdrat2randtdvatdtd匀变速匀变速圆周运动（圆周运动（类似匀变速直线运动）类似匀变速直线运动）t02021tt)(20202rvan21-4 1-4 相对运动相对运动1-4 1-4 相对运动相对运动平动参考系平动参考系 K K2 2 相对于平动参考系相对于平动参考系 K K1 1 的位置矢量

32、为的位置矢量为 R1K1oRp p2r1r位置矢量：位置矢量：R速度：速度：dRudt加速度：加速度：202dud Radtdt2. 2. 已知参考系已知参考系 质点质点P P的位置的位置 , ,速度速度 , ,加速度加速度2K2rva12rrR1. 1. K K2 2 系相对系相对 K K1 1 系系1K1rva 求参考系求参考系 质点质点P P的位置的位置 , ,速度速度 , ,加速度加速度2K2o12rrR （绝对位移）（绝对位移） （相对位移）（相对位移）（牵连位移）牵连位移）rrR 人 对 地人 对 车车 对 地12drdrdRvvudtdtdt00a12rrRvvu伽利略速度变换伽

33、利略速度变换绝对运动绝对运动= =相对运动相对运动+ +牵连运动牵连运动rrR 人对地人对车车对地0aaa当两参考系相对做匀速直线运动时当两参考系相对做匀速直线运动时0dvdvduaaadtdtdtaavvu人对地人对车车对地1K1oRp p2r1r2K2o例：如图所示，在水平面上三个彼此距离为例：如图所示，在水平面上三个彼此距离为L的质点的质点A、B和和C以以大小为大小为v的速度互相追逐，质点运动方向始终指向它追逐的对象，的速度互相追逐，质点运动方向始终指向它追逐的对象，求：（求：（1）质点需要多长时间才能追上其目标？）质点需要多长时间才能追上其目标？ （2）试写出描述质点运动轨迹的方程。）试写出描述质点运动轨迹的方程。ABCLv（1）待选择答案：）待选择答案：A. L/v B. L/2vC. D. 2L/3v E. 永远无法追上，永远无法追上，F.此题无解此题无解.vL33启发：两个质点相对运动问题启发：两个质点相对运动问题解：解：三个质点彼此之间作相对运动，运三个质点彼此之间作相对运动，运动轨迹对三角形动轨迹对三角形ABC的中心的中心O具有具有旋转对称性。旋转对称性。BvrCBvvv考虑考虑C质点相对质点相对B的运动，有的运动，有rv将将 在在BC连线方向的投影连线方向的投影vr/为为/3cos32rvvvv 追逐过程中，追逐过程中，