高等流体力学第二章配套例题

1、1. 试对柱坐标形式的微六面体,建立运动方程.rdrdzxzd解:系统总动量变化率 = 控制体内动量变化率 + 经控制面净流出的动量控制体内动量变化率:经控制面净流出的动量r 方向 方向Z 方向()()()()()rrrrrrrrrru urzu urzu uru urrzu uru urrzrru urrzr ()u urz ()zu rurzz ()urrzt 系统总动量变化率()()()()11()()()rzrzrzuru uru uu rurztrzuuuuuruu ruuruurztrrrztrrzDur rzDt 柱坐标中, , rrrzzreeuu eu eu eee 2()(

2、)()()()rzrrzzrrrrrzrrrzzzzzrzzuDuuuu eu eu eDttrrzuuuuuuuuetrrzruuuuuu uuuetrrzruuuuuuuetrrz于是()()()()()()()() SrzrrrzrrrrzzrzzzzpFrprpd dzdrrzrrerzrrerzrre drd dzzz微元体所受的表面力微元体所受的重力()BrrzzFgr rzg eg eg e r rz 依据动量定理1()()rzpDugrprpDtrrz21()()1()()1()rrrrrzrxrrzrrrzrrzzzzzrzzrzuuuuuuuutrrzrgrrrrzuuuu

3、uu uuutrrzrgrrrrzuuuuuuutrrzgrrz()zzzrz sincoszzryrx tgarc22zzxyyxr cos sin sin coswuvuuvuuzr cossinsincoszzrryrrx2. 教科书(1.6)在下边习题求解中会用到以下公式，请参阅有关资料。柱坐标与直角坐标A(r, , z)XZrY( , , )( , , )( , ), ( , ), sincoscossinrzx y zrr x yx yzzrxrxxrrryryyrrzz cos sin sin cos rrzzrrrrzzzzuivjwku eu eu euui evj ewk

4、euvuui evj ewk euvuui evj ewk ew sincoscossin1cos sin sin cos rzuuvwxyzuvwrrrrzuvuvwrrzuuurrz cos sin sin coswuvuuvuuzr cossinsincoszzrryrrx()cos ()sin()cossin cossincossin cossincos srrzrzrzruuuuuvuuuuuvvvuuuurrzrrzuuvuvurrruvuzzuur2in (cos sin )( sin cos ) (cos sin )zrrrrzrrrrzuvuvuvruuvzuuuuuuurr

5、zuuuuuuurrzr cos sin sin coswuvuuvuuzr cossinsincoszzrryrrx cossinsincossinrzryrx tgarcz tgarc22222xyyxzyxr cos sin )sin( sincos coscos cos sinsin cossinvuuwvuuwvuursinsincoscoscossinrrrxsincossincossinsinrrryrrzsincos 球坐标与直角坐标3. 小球在理想流体中作缓慢匀速直线运动，试给出小球表面流体速度 所必须满足的边界条件 wvu,解： 取固定坐标系如图,球面方程为 22220)(

6、azytxx22220)(azytxxF0DtDF0zFwyFvxFutF022)(2)(2000zwyvxxuuxxdttdxu)(00令物面边界条件为 ,式中:0)(00wzvyuuxx0 xx00dxudto 又解: 取运动坐标系 固结在小球上 , zyxo2222azyx2222azyxF球面方程 令流体相对于动坐标系速度 动坐标系和固定坐标系间关系为, ,0wvuu zzyyxxx,00nur kwj viuuur)(02 2 2 Fx iy jz knFF0)(00wzvyuuxx将以上两式代入物面条件得：yx0u4. 试写出自由表面波动时的运动学边界条件 ),(tzxy),(tz

7、xyF0zFwyFvxFutFDtDF0zwvxut)(utzwxutv解： ),(tzxyxyh5. 分别写出绕流固体圆球，圆球状液滴，圆球状汽泡时的边界条件： 解： 1) 固体圆球： ar 0, 0ruurppUuUur,sin,cos2) 液滴 0r为有限值 uur,ar RRruuu)2()1()2()1(, 0rppUuUur,sin,cos3)气泡 ar 0RrppUuUur,sin,cos请注意上述情况均为轴对称运动。2pa 2pa （水平方向 =0）6. 从N-S方程出发，作出适当的假定。推导以下各方程。设不可压缩流体. (a) (b) (c) 2021( )uuuuv tty

8、xy ygypdttdv1)(02()ut )(0tvv 0 0 ( , )uvuuu y txyx22221()xuuupuuuvgtxyxxy 2021( )uupuv ttyxy xg（a）设解： ygypdttdv1)(0(b) 方向的N-S方程22221()yvvvpvvuvgtxyxxy 2222()zzzzzuvtxyxy 2()ut yuxvzc)22221()xuuupuuuvgtxyxxy 对 y 求偏导22221()yvvvpvvuvgtxyxxy 对 x 求偏导求导后的两式相减7. 方程简化：两无穷大平板间的充分发展流动（层流）. 0 0uvwx 0uzz方向无限长 0

9、ut定常流 )(yuu 解： hxyyU 22221()uupuuuvxyxxy 22221()vvpvvuvxyyxy xpydud220ypdxdpydud22Uuhyuy00边界条件：8. 圆管内的充分发展流动（层流）. 0uur()110 0rzzuruuurrrzz 0zut定常流动 0zu轴对称流动)(ruuzz解：连续方程rxyazuz 2222()2 ()rrrrrzrrruuuuuuuutrrrruupufrrr 222()12 ()rrzruuuuuu uuutrrrruupufrrr zzzzzzrzfuzpzuuururuutu2)(zrrrrr2222221)(1式中0 0 1 0()zprpuprzrrr dzdprurrrz1)(10,zuarzur, 0边界条件 ：为有有限值9 圆管进口段，多孔壁，层流定常流动,ConstVw0u0 , 0rrrr rwuuuVx轴对称流动 且为常数 0rut定常流动)(ruurr1 ()0 ( , )xrxxuruuu r xrrx连续方程解： 轴对称流动 ; ( ), ( , ), 0.rrxxuu ruu r xuxrxuru0r.wVconst.wVconst2222()2 ()rrrrrxrrruuuuuuuutrrxruupufrrr 222(