弧长、弦长与扇形面积、弓形面积案例教学设计

1、数学案例教学题目：弧长、弦长与扇形面积、弓形面积案例教学设计作者：左春香 王瑞霞单位：唐山市丰南区职教中心教学内容分析：下料问题是机械专业每天都要遇到的实际生产问题。经常要遇到的是长度、周长、弧长、弦长、扇形、弓形面积和各种体积重量的计算等数学知识。本节数学课紧密地和生产实习的实例相联系，学生经过自己充分地思考和讨论后，能够更深刻地理解和记忆公式，掌握数学知识在专业生产中的应用。教学目的：（1）通过学习掌握圆周长、弧长、弦长、扇形面积和弓形的面积的计算。（2）能熟练运用所学的数学知识解决机械专业中气割、钳工、钣金等工种的计算和下料等实际问题。教学重点：弧长、弦长、扇形面积、弓形面积的计算。 实

2、际生产问题和数学问题的联系。课 时：2课时教学方法：讲练结合、理论联系实际教学用具：投影仪、黑板、硬纸板做成的两个防护罩和一个圆锥形的烟囱帽、胶片7张，如下所示：教学目标：理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。会灵活应用这些知识解决实际问题。胶片1 胶片1三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积,（2）的侧面积 （1） 胶片2 （2） 2CAB练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。 胶片3 3例1 一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接12根辐条，辐条用25mm的圆钢制成。求在轮缘d1=1600mm和轮毂

3、d2=350mm上的辐条中心距lB1、lB2。 胶片4 4 胶片5 胶片5 5例2 扇形钢板如图所示，求其面积。 胶片6 6 胶片7 7教学过程：投影本节课的学习目标出示胶片1教学目标：理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。会灵活应用这些知识解决实际问题。胶片1 胶片1 案例引入：出示胶片2三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积,（2）的侧面积 （1） 胶片2 （2） 2CAB （并用硬纸板按尺寸或比例做两个模型向学生展示，让学生边观察边回答问题）。提出问题：单独提问师： 左图中有几个侧面？是什么形状？生甲： 3个，

4、A和B是扇形的一部分，展开后C可能是矩形。师： 回答得很正确，如何计算各侧面的面积和全面积？生乙： 要计算它的侧面积需要掌握扇形的面积公式，全面积当然就是矩形面积和另两个侧面积之和。师： 有道理，可是，你知道那个矩形的长是多少吗？如何计算？生丙： 要计算它的长度还需要掌握弧长公式。师： 右图中的前后侧面是什么形状？它的面积如何计算？生丙： 前后侧面是弓形师： 用气割方法下料时气割长度各是多少应如何计算？生丁： 是各面边线长度的总和。引入数学知识：师： 要解决这些问题，要用到数学中，弧长、弦长、扇形的面积的计算等。这次课我们就介绍这些知识，同时，共同探讨一下机械专业中有关的下料问题复习导入：出示

5、胶片3练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。 胶片3 3（让学生独立完成，找个别同学回答）生：气割长度为大圆和小圆的周长之和。L=×250×1500=1750=5497.8mm师： 刚才这个问题中，复习了圆周长计算公式：板书：圆的周长：L=d=2r（d为直径）出示胶片4例1 一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接12根辐条，辐条用25mm的圆钢制成。求在轮缘d1=1600mm和轮毂d2=350mm上的幅条中心距lB1、lB2。 胶片4 4师： 这个长度还是一个完整的周长吗？生： 答：不是。师： 请同学们看图，在轮缘上和轮毂上两个辐条中心的部分是什么图形？生：

6、是圆弧。师： 弧的长度应如何计算？本节课我们先研究这个问题。板书： 一、弧长师：360o的圆心角所对的弧长就是圆周长L=d=2r，那么1o的圆心角所对的弧长是多少？生： = 师：于是可得半径为r（直径为d）的圆中，o的圆心角所对的弧长Ln的计算公式：是什么？生： Ln=板书： 360o的圆心角所对的弧长即圆周长 L=d=2r，1o的圆心角所对的弧长是 = 。半径为r（直径为d）的圆中，o的圆心角所对的弧长 Ln= = 师： 有了弧长公式，例1中的问题可迎刃而解了。经学生讨论后得出结论并找学生板演例1 解：两根辐条间所夹的圆心角=30o,轮缘上两根辐条中心距弧长L1=418.88mm 轮毂上相邻

7、辐条中心距弧长 L2=91.63mm师： 事实上弧与角很难测量，故实际工作中常以弦长为检验尺寸，在一圆周上n等分，求弦长就是圆的内接正n边形的边长。那么弦长如何计算呢？出示胶片5 胶片5 胶片5 胶片5 5师生共同分析：在RtBOC中，BOC=，BC=， = = sinL=2r sin=d sin板书：二、弦长公式由 = = sin得o的圆心角所对的弦长 L=2r sin=d sin其中圆心角=，则L=dsin.师 那么例1中若求轮缘和轮毂上的中心距弦长如何计算？找学生板演生 解：设它们分别为l1和l2，则l1=d1sin=1600×sin15o=414.11mml2= d2sin=

8、350×sin15o=90.59mm评注： 如果再求两辐条间间隙距离，只要把上面的值分别减去25mm即可。出示胶片6例2 有一块钢板如图所示，求其面积。 胶片6 6 师 通过观察，我们看出这块钢板面是什么图形？生 大扇形中去掉了一个小扇形。师 那么我们要求钢板的面积，就得知道扇形的面积如何计算，下面我们探讨扇形的面积公式。同学们知道扇形是什么图形的一部分吗？生甲 圆的一部分。师 整个圆的圆心角是多少度？生 360o师 再接着想一想，在半径为r的圆中，圆心角为1o的扇形的面积是多少？生 师 那么圆心角为o的扇形的面积是多少？生 板书 三、扇形面积公式 由圆心角为1o的扇形面积 得圆心角

9、为o的扇形面积公式为 师 弧长公式与扇形面积公式有什么关系？生 两公式中都含有= Ln。师 那么我们又得出了扇形的另一个面积公式为：生 S = Lnr (教师板书添上此公式) S扇 = = Lnr师 有了这个公式，上面的问题就很简单了（请一位同学板演）。 解：钢板的面积S=238952mm2=0.239m2出示胶片7 胶片7 7师 上面三个图中阴影部分是什么图形呢？这三个图形都是弓形，它和我们看到的哪件物品有关系？生 它和第二个防护罩的侧面是一种图形。师 可见要解决开始提出的问题，我们还得学习弓形的面积公式。 同学们接着观察上面的三个图形中，弓形的面积和扇形的面积有何关系？生 把扇形OAmB的

10、面积以及OAB的面积计算出来，就可以得到弓形的面积，图（1）中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇SABC,图（2）中，弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇SABC,图（3）中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=S圆。板书 四、弓形面积公式（1）弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇SABC,（2）弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇SABC,（3）弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=S圆。师 同学们，通过我们共同探讨和总结得出了哪些结论呢？生 弧长公式、弦长公式、扇形面积公式、弓形面积公式。师 我们掌握了这些知识是非常重要的，

11、而且有些公式不可死记，要理解它的推导过程，同时可以促进我们逻辑推理能力的提高。当然，也可以很容易地解决本次课开始提出的问题了。 出示胶片2三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积和（2）的侧面积 （1） 胶片2 （2） 2ABC 并展开硬纸片做成的模型（1），把各个面展示给学生，让学生求其全面积，(学生板演)。 解：S侧= 262788.56 mm2 S全=2×S侧120×=593401.12 mm2 展开模型（2），让学生求其侧面积，学生板演。解：S侧=× 2×400sin=

12、 131840mm2课下思考题师 拿出做好的烟囱帽模型，这是一个做好烟囱帽模型，谁能看出它是什么形状？生 是圆锥形。师 如果沿一条母线展开这个模型，展开后是什么形状呢？沿一条母线展开这个模型生 是扇形。师 如果已知这个圆锥形的底边周长和母线长，要用铁片做一个烟囱帽，应如何下料？留作课下思考。本节小结：通过本次课的学习，大家应理解对弧长公式，弦长公式，扇形面积公式，弓形面积公式的推导，识记这些公式，并会灵活的应用到实际生活、生产中。板书设计：弧长、弦长与扇形面积、弓形面积复习：圆的周长 L=d=2r一、弧长公式：Ln= （及推导过程）二、弦长公式：L=2r sin=d sin（及推导过程）（其中圆心角=，则L=dsin）.三、扇形面积公式：S扇= = Ln r （及推导过程）四、弓形面积公式： （1）弓