圆锥曲线必背法知识讲解

1、圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-椭圆一、椭圆定义椭圆三定义，简称和比积.1、定义1:（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a）2、定义2:（比）到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e）3、定义3:（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.定点为短轴顶点，定值为负值.（定值ke21）二、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，a a 方、b方除以 C C通径等于2ep,ep,切线方程用代替焦三角形计面积，半角正切连乘b注解：i、k轴短轴与焦距，形似勾股弦定理

2、长轴2a,短轴2b,焦距2c,则：a2b2c22、1 准线方程准焦距，a a 方、b方除以 c c2a准线方程：x展（a方除以C）一一 b2_准焦距 P P：焦点到准线的距离：P一（b方除以C）c3、显径等于2ep,ep,切线方程用代替椭圆的通径d:过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距.一一 cb122b2离称为椭圆的通径.（通径 d2ep2）aca过椭圆上（xo,yo）点的切线方程，用（xo,yo）等效代替椭圆方程得至h4,.、xxyyd等效代替后的是m是：下F14、焦三角形计面积，半角正切连乘b焦三角形：以椭圆的两个焦点FI,F2为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形.半

3、角是指F1PF2的一半.2,则焦三角形的面积为：Sbtan-|证明|：设PFi|m,PF2n，则mn2a.由余弦定理：222mn2mncos4c4a24b2(mn)24b2222mn4b,即：2b(1cos)mn.222cos2-2即：2mncossin又：1cos2sin-cos2,所以：椭圆的焦点三角形的面积为SFIPF2btan2.三、椭圆的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、I 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中

4、，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角， 当弦为焦点弦时(过焦点的弦)，那么切线是两个焦点弦的角平分线.2、|切点连线求方程，极线定理须牢记22若为(x0,y0)在椭圆三1外，则过历作椭圆的两条切线，切点为a2b2”2,则点Po和切点弦Pi，P2分别称为椭圆的极点和极线.切点弦P1P2的直线方程即极线方程是争岩1(称为极线定理)3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距mn|PFI|PF2|2b21cos故：SAF1PF2mnsin212b2-sin21cos;sinb1costan一2弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即20AB得中线.这两条直线

5、的斜率的乘积，等于准线距离xc巳去除准2Pb2焦距p一,其结果ZE：kABkOM2cxca4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点为M(x0,y0),弦 AB 称22一x0 xy0yx0v。为中点弦，则中点弦的方程就是丁丁丁正,是直线方程.弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点P0（x0,y0）的弦AB,其22xoxy0yxy中点M的方程就是丁丁了正，仍为椭圆.a0ab这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义，差比交线反比例1、定义1：（差）平面内，到两个定点F1,F2的距离之差的绝

6、对值为定值2a（小于这两个定点间的距离,F2|）的点的轨迹称为双曲线。 定点FI,F2叫双曲线的限点即：|PFiPF2I2a2、定义2:（比）平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的叵口，定直线叫双曲线的屉3、定义3:（交线）一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为|双曲线。4、定义4：（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函数y一的图x象称为双曲线证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得至h22xy,证明：因为xyk的对称轴是yx,yx,而二:21的对称轴是abx轴，y轴，所以应该旋转 45.设旋转的角度为

7、（0,顺时针）（为双曲线渐进线的倾斜角）贝U有：Xxcosysin,Yxsinycos取45,则:oo2XYxcos45ysin451222Xyxy2xy22而xyk,所以，XY2xy2k由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，a a 方、b b 方除以 c c通径等于2ep,ep,切线方程用代替焦三角形计面积，半角余切连乘 b b注解：1、k k 轴短轴与焦距：形似勾股弦定理222长轴 2a2a, ,短轴2b,焦距2c,则：abcabc实际上，双曲线是

8、实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.2、准准线方程准焦距，a a 方、b b 方除以 c c2a准线方程：x xT T（a a 方除以 c c）cb22xsin45ycos45022XY2k2k1(k0)或22YX(2k)(2k)1(k0)准焦距 P P：焦点到准线的距离：P P- -（b b 方除以 c c）点任意一点F1PF2，则双曲线的焦点三角形满足：PF1PF22b21cos2,其面积为；SF1PF2bcot2.h明|：设PFIm,PF2在F1PF2中，由余弦定理得:2PF1PF2cosn22mncosn22mncosF1F2224c24a2

9、(mn)22a4b24b22mn222mncos4b,即：2bmn2b21cos,即：(mn)24b2mn(12b21coscos双曲线的通径 d:过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间cb22b2的距离称为双曲线的通径.（通径 d2ep2）aca过双曲线上P0（xo,y0）点的切线方程，用P0（xo,y0）等效代替双曲线方程,4 山一xxyy得到，等效代替后的是皿 O1 是：7丁14、焦三角形计面积，半角余切连乘b焦三角形：以双曲线的两个焦点已下2为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指F1PF2的一半.22xy_双曲线；T表1的左右焦点分别为FI，F2,点P为双曲线上

10、异于顶ab3、 通径等于2ep,切线方程用代替2.双曲线的焦点三角形的面积为：SF1PF2bcot.三、双曲线的相关公式切线平分焦周角， 称为弦切角定理切点连线求方程， 极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.那么，焦点三角形的面积为:SFiPF2112b2.mnsin-sin221cosb2sin1cos2s

11、incos-b222b2cot-2sin222,故：SF1PF2bcot2同时：SF1PF22沪1巳yp|cyp,故：ypcot-2PF如图，F1PF2是焦点三角形，F1PF2为焦周角，PT为双曲线的切线.则PT平分F1PF2.2、|切点连线求方程，极线定理须牢记22若P0(x0,y0)在双曲线今1外，以包含焦点的区域为内，不包含a2b2焦点的区域为外，则过Po作双曲选的两条切线，切点为Pi、P2,则点Po和切点弦PiP2分别称为双曲线的极点和极线，切点弦(称为极线定理)3、1与中线斜率积，准线去除准焦距弦指双曲线内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即OAB得中线.这两条直线的斜

12、率的乘积，等于准线距离a2,八八.b2xc去除准焦距p-,其结果ZE：cckAB4、中点弦AB的方程：在双曲线中，若弦AB的中点为M(xo,y),称弦AB为中点弦，则中点弦的方程就是：驾驾驾”,它是直线方程.2222abab弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点Po(x0,yo)的弦22x0 xy0yxy.一一一AB,其AB中点M的万程就是=百二T”，仍为双曲线.ababPlP2的直线方程即极线方程是爸翠1a2b2kPbOM2xcac细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线一、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线

13、等距离1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为旭物线.2、二次函数的图象是抛物线.二、抛物线性质焦点准线极点线，两臂点乘积不变焦弦切线成直角，切点就是两端点端点投影在准线，连结焦点垂直线焦弦垂直极焦线，切线是角平分线直角梯形对角线，交点就是本原点焦弦三角计面积，半个p方除正弦注解：1、焦点准线极点线抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：y22px,焦点F*,0),准线xp2p2(抛物线的顶点0(0,0)到定点F(,0)和定直线xp:距离相等)焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A和B,则AB称为焦弦弦中点M(xM,yM),xMxA2xB,yMyA2yB焦弦方程：yk(x9，k

14、为斜率.2、两臂点乘积不变焦点三角形两边OA|和OB的点乘积为定值，且夹角是钝角证明：焦弦AB满足的条件2-y2pxyk（xp）22p2k2（x1）22pxk2x2（k22）px2由韦达定理得：XAXB一4yAyBJ2pxAJ2pxB2PJXAXB2p-pp2,p2即：xAxB7，YAYBp2uuurUULT且：OAOB（XA，YA）（XB，YB）XAXBYAYB324P故：焦点三角形两边之点乘积为定值3、焦弦切线成直角，切点就是两端点即：焦弦两端点的切线互相垂直.证明：如图，由抛物线方程：y22px得到导数：yyp,即：y2y故：kAE卫，kBE卫YAYB2于是：kAEkBE卫-YAYBYA

15、YB将式yAyBp2代入上式得：kAEkBEuuuruuir即：AEBE,故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形用向量方法可证.故：EDEFECuuuruur由向量法可证EFAB0即：焦弦AB|与极焦线EF|互相垂直.6、回线是角平分线一即：切线平分焦弦的倾角（或倾角的外角）如图：因为ADE和AFE都是直角三角形，且由定义知：|AF|AD|,AE|AE故ADE0AFE,则对应角相等.由于M是AB的中点,AEB为直角三角形，计算可得E是DC的中点,4、十点投影在准线，连结焦点垂直线即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形证明:坐标C(与yB),D(,YA)22rruuuruuur则：

16、CF(p,yB),DF(p,y)uuruLtr于是：CFDFp2VAVBcuuu将式YAYBP2代入上式得：CFuuuuuur故：CFDF即：焦弦端点A,B在准线的投影点uuurDF0uuiruuurCFDF,即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形5、焦弦垂直极焦线若焦弦AB对应的极点E,则EF为极焦线，于是EFAB即：AE是DAF的角平分线8、焦弦三角计面积，半个p方除正弦即：焦弦三角形的面积为:SAOB2P2sin为焦弦的倾角)证明:AB如图:则:于是:AFGFEMABBF2OFEFsin2P.2sinXAxBXAXB2(XM力2EM1sinGFsin_P.2sin同理，BE是CB

17、F的角平分线7、直角梯形对角线，交点就是本原点即：直角梯形ABCD对角线相交于原点即：A,O,C三点共线；B,O,D三点共线.用向量法证明:uuruuuuuruuurOA/CO,OB/DO2证明：坐标A(32pf，YA)uur2向量：OA(詈,YA),2puumCOYB)各分量之比:uuu(OA)Xuuur(CO)X2YA2P_P22YA2Puuu(OA)uuur(CO)YAyB2YAYAYB将式YAYBp2代入上式得:2YAYAYB2YA2Puuu故：3(CO)Xuur(OA)uur(CO)uuir嚣，即:OA/COuur同理：OB/愣.直角梯形ABCD对角线相交于原点Y(CO)Y故：SAO

18、母|OF|ABsin1P2p.p22sin22sin2sin附：圆锥曲线必背-极坐标一、极坐标通式圆锥曲线的极坐标以准焦距p和离心率e来表示常量，以极径和极角来表示变量0,0,3600)以焦点F（0,）为极点（原点O）,以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p、且垂直于极轴的直线L.极坐标系与直角坐标系的换算关系是：x2y2,arctanx或者：xcos,ysin特别注意：极坐标系中，以焦点为极点（原点），而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程如图，O为极点，L为准线，则依据定义，到定点（极点）和到定直线（准线）的距离之比为定值（定值e）的点的

19、轨迹为圆锥曲线.所以，对极坐标系，请记住:极坐标系的极点O是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点曲线上的点P（,）到焦点F的距离是，到准线的距离是pcos,这就是极坐标下，圆锥曲线的通式对应不同的e,呈现不同的曲线.对双曲线，只是右边的一支对抛物线，开口向右点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；对应不同的e,呈现不同的曲线.根据定义:pcos即:epecos，即：epecos,即:ep1ecos对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.三、极轴旋转90将极轴顺时针旋转90o,即：900,则情况如图.第极坐标系的极点O是椭圆的右焦将极轴旋转180,和分别对应变、极轴旋转180o圆锥曲线的方程为:此时的极坐标系下:对应于直角坐标系下，焦点在y轴的情况，且极点O对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点对双曲线，只