2018年高三高中奥数有关函数通性的试题选讲例题

1、奥数 有关函数通性的试题选讲【内容综述】函数是数学上的一个基本而又重要的概念，在现代数学中，它几乎渗透到各个分支中。函数的性质主要指函数的对称性、单调性和周期性。函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系，恰当地运用函数的对称性，往往可使问题简化。 函数的奇偶性是对称性中最重要的特殊情形。函数的单调性可用函数值的比较给出证明，禾U用函数的单调性，可以比较实数的大小，证明一些不等式和 确定某些函数的值域及最值。设f是D上的函数，如果存在常数TM0,使得对每个xD,都有f(x+T)=f(x-T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期，如果f(x)的所有正周期中存在最小

2、值，称为周期函数f(x)的最小正周 期，一般说函数的周期都是指最小正周期。例题分析：例1已知函数y=f(x)(xR,且x丰0)，对任意非零实数W都有、二一7 0，使得对每一x都有f(x+b)=f(x)。2.就a=1举出一个这种函数f(x)的例子，但f(x)不能是常数。分析 这是一道探索存在性的问题，题中给出的已知条件只有唯一的一个含有a的方程，直觉告诉我们，f(x)的周期定与a有关，于是，我们可从原方程出发，边递推边探索。将代入有解1,帝弟-扌+屮啪带“词故f(x+a)=f(x-a)與邛初+创制卄”*州训朴14胃1也诩即f(x)是一个周期函数，且周期b=2a。2现在我们来构造一个周期为2的，满

3、足(1)式的函数f(x)，由于(1)式可化为这使我们想到最熟悉的周期函数：正余弦，但同时应注意到2f(x)-1非负、周期为2，所以可令2/0门1=例3证明：函数二厂可以表示为两个单调递增的多项式函数之差。证：注意到恒等式IH榊阳呻H悴硼说明一般地，任意实系数多项式可表示为两个单调递增的多项式函数之差。例4设二次函数-I的图象以y轴为对称轴，已知曲十0*1，而且若点(2 在CI讹的图象上，则点川训在函数*二匸门的图象上。(1)求卜;I的解析式而函数g(x)|*(*+】尸 *+珂+1都是单调递增的多项式函数，从而命题得证。不难证实它的确满足条件。说明f(x)不唯一，显然，函数分别是减函数，增函数的

4、 的范围，求出它们的交即可。解（1）因的对称轴为y轴，故斡0,从而八甸（彳）*卫+*。 设血打在柑/（*）的图象上，即扌厂昭*,则点树才州在州40的图象上，即故!11，因此，nn （2）由（1）可得丰閲gS）-t（k） $ +（彳-屮+2_o|阳)-刚 *)4阳-43+ *制P -扌同理，当综上讨论，存在唯一的实数 ：丨k，使得对应的满足要求。（2）设-I以，问是否存在实数-：,使增函数。分析 由已知条件/卜;I的解析式不难求得，欲求 ，可按定义分别求出内是减函数，在一吃-可）和（W内是,0)xl x2设，则砒在rr只需转剛胡d讪和,但然而当函数。E(?J钟，i；，内是减要使内为减函数,，因此

5、，我们只要，所以日曲时内是增函数。例5奇函数H悄的定义域为R当呆卩时，1；卅川札设函数八八-心的值域为 血说，划忖），求a，b的值。分析 可先由已知条件写出m：在R上的解析式，再根据二次函数的单调性分情形讨论张*的最大值和最小值，从而得到关于a、b的方程。解：丫=了或是奇函数当盖4时，函数式为卄*几2*分以下情形讨论:T 时，由同时存在,因为与(3)J；-一时，由(5)U 1 2时，由-2ca0。证明（i）f（x）是奇函数；（ii）f（x）是周期函数，并求出其周期；（iii）f（x）在（0,4a）内为减函数。证：（i）对定义域中的x，由题设知在定义域中存在対兀使忙 F -乃，/（対）叩（站）（1）訂卩si训定义域中的数,，则10-/（可）*（花）+fg-/（i）f(x)为奇函数(ii)因f(a)=1, f(-a)=-f(a)=-1,心”)+1mm若f（x）工0,则/(x + 4) =/( + 3a仍有f（x+4a）=f（x）。 f（x）为周期函数，4a是它的一个周期。7(切了E) +1,01)-/(乃)所以畑）即在（2a,4a）内，f（x）也是减函数，从而命题得证。4-若f（x）=0，则(兀 +2a)Teww-/（兀+4小七力0+帀）+ %彳（卯j(p)VWf(；I：卜JV-(