不等式的概念

1、不等式的概念不等式的概念不等式的性质不等式的性质重要不等式重要不等式不等式的解法不等式的解法不等式的证明不等式的证明不等式的应用不等式的应用一一.本章知识结构本章知识结构不等式不等式不等式不等式不等式的性质:一一.单向性单向性:二二.双向性双向性:(传递性,注意找中间量)(注意条件为正)(注意乘的数的正负)(1),(2)(3),0(0)(4),0(0)(5),aboababoab aboababbaab cacbc cab cacbc cab cRacbc(1),(2),(3)0,0(4)0,nnab bcacab cda cb dabcdacbdabnRab 算术平均数与几何平均数算术平均数

2、与几何平均数1.如果如果 ,且且 n1 ,那么那么 叫做这叫做这 n 个个正数的正数的算术平均数. 叫做这叫做这n个正数的个正数的几何平均数.2.定理定理:如果如果 ,那么那么 (当且仅当当且仅当 a=b 时时,取取“=”号号) 推论推论:(二元均值不等式二元均值不等式)如果如果a,b是正数是正数,那么那么 ( 当且仅当当且仅当 a=b 时时,取取“=”号号)12,.,na aaR12.nna aa, a bR222abab2a bab12.naaan重点难点重点难点(1)二元均值不等式具有将二元均值不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积式积式”和将和将“积式积式”转转化为化为“和式和式”的

3、放缩功能的放缩功能.(2)创设应用均值不等式的条件创设应用均值不等式的条件:合理拆分项或配凑因式合理拆分项或配凑因式是常用的解是常用的解题技巧题技巧,而拆与凑成因在于使等号能够成立而拆与凑成因在于使等号能够成立.(3)“和定积最大和定积最大,积定和最小积定和最小”,即即2个正数的和为定值个正数的和为定值,即可求其积最即可求其积最大值大值;积为定值积为定值,则可求其和的最小值则可求其和的最小值. 应用此结论时应用此结论时注意注意:一正一正(各项或因式非负各项或因式非负);二定二定(和或积和或积为定值为定值);三相等三相等(各项或各因式都能取得相等的值各项或各因式都能取得相等的值).必要必要时要作

4、适当的变形时要作适当的变形,以满足上述前提以满足上述前提.不等式的证明不等式的证明:v一.比较法:v(1)差比法:要证ab, 只须证 a-b0.v(2)商比法:要证ab,b0,只须证 a/b1.v步骤:作差 变形 判断差式的正负v 作商 变形 判断商式与1的大小.v注意:差比法变形主要是分解多个因式的积(商)或多个式子的平方和,必须分解彻底.v商比法变形主要是通过适当放大或适当缩小从而利用不等式的传递性判断与1的大小.v处理绝对值:(*)由定义讨论去掉绝对值符号,(*)利用平方去掉绝对值符号.如:22abab解解: a,b是不相等的正数是不相等的正数.211GHabab2()0,22ababA

5、GabGA222222222()204242aba bQ Aaba baab ba bA Q HGAQ1.设a,b是两个不相等的正数,试比较A,G,H,Q的大小.222,1122ababAGab HQab此题应先从特殊的角度去探索,令a=1,b=3,则从而明确了比较方向明确了比较方向.32,3,52AGHQ2ababab()2abababab2()0abababHG例例:已知已知 且且 ,求求4a-2b的范围的范围.不少同学采用下面的方法求解不少同学采用下面的方法求解.一个典型题目的典型错解一个典型题目的典型错解解解: 由于12ab24ab332a326a023b302b34212ab12ab

6、24ab(1)(2)(1)+(2)得(3)(4)+ (-1)1得2上述解法似乎每一上述解法似乎每一步合情合理步合情合理,实际上实际上是是错的错的,先看不等式先看不等式什么什么时候取等号时候取等号,由上述由上述知当知当a=3/2且且b=3/2时才取等号时才取等号,而此时而此时a-b=0,不满足不满足(1)式式,故故4a-2b是不能等是不能等于于3的的.423ab同理验证同理验证4a-2b也不能等于也不能等于12,原因是原因是“同向不等同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向式两边分别相加所得不等式与原不等式同向“.这一性质中这一性质中单向单向的的, (-2)得44 用它来做同解变形用它来做

7、同解变形,是非同解变形是非同解变形,上述解法为了求得上述解法为了求得a,b范围范围,多次多次应用了这一性质应用了这一性质 ,必然使所求必然使所求范围扩大范围扩大了了,因此是因此是错误的错误的.因而用因而用“同向不等式相加法则同向不等式相加法则”尽量只用一次尽量只用一次.正确解法正确解法:解法一解法一待定系数法待定系数法设42()()()()aba ba bab 42 解得3112ab又24ab53()()10abab 即54210ab解法二解法二 换元法换元法令,a ba b 则24,12由abab解得22ab424222223ab 而24,3 36,则531054210ab 解法三解法三 数

8、形结合法数形结合法在坐标平面在坐标平面a0b上上,作出直线作出直线a+b=2,a+b=4.a-b=1,a-b=2,则则 和和 表示平面上的阴影部分表示平面上的阴影部分(包括边界包括边界)如图所示如图所示,令令4a-2b=m,则则b=2a-m/2,显然显然m为直线为直线4a-2b=m在在b轴上截距轴上截距2倍的相反数倍的相反数,易看出易看出,直线直线4a-2b=m过阴影最左边的点过阴影最左边的点A(3/2,1/2)时时,m取取最小值得最小值得;过阴影最右边的点过阴影最右边的点C(3,1)时时,m取最大值取最大值10.425,10.ab24a b 12a b baoa-b=1a-b=2a+b=2a

9、+b=4ABCD0lv二二.综合法综合法:利用某些已经证明过的不等式作为基利用某些已经证明过的不等式作为基础础,再运用不等式的性质推导出所要求的不等式再运用不等式的性质推导出所要求的不等式.这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法. 即即:由因导果由因导果.如证如证 模式为模式为 三三.分析法分析法:从证的不等式出发从证的不等式出发,分析使这个不等式分析使这个不等式成立的充分条件成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化把证明这个不等式的问题转化这些条件具备的问题这些条件具备的问题.如果能肯定这些条件都具如果能肯定这些条件都具备备,那么就可以判定所证的不等式成立那么就可以判定所证的不等式成立.这种证明这种证明方法叫做方法叫做分析法分析法. 即即:执果索因执果索因.模式为模式为:AB12nABBBB12nBAAAA222222212