高等数学之直线及其方程

1、直线及其方程直线及其方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数

2、二、空间直线的对称式方程与参数方程方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1求经过求经过),(),(22221111zyxMzyxM两点的直线方程两点的直线方程解解因为直线过因为直线过21,MM两点两点因此可取因此可取21MM作为直线的方向向量作为直线的方向向量21MMs 121212,zzyyxx 由点向式即得所求直线的方程为由点向式即得所求直线的方程为121121121zzzz

3、yyyyxxxx 直线的两点式方程直线的两点式方程例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解一解一用点向式用点向式在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx解二解二用两点式用两点式已求出一点已求出一点)2, 0 , 1( 再求出一点再求出一点令令1

4、 y得得0 zx532 zx解得解得5, 5 zx点坐标点坐标),5, 1, 5( 所求直线方程为所求直线方程为,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx解三解三由由.043201 zyxzyx两式相加得两式相加得0543 zx)54(31 zx代入方程组得代入方程组得)2(31 zy即即)54(31 zx)2(31 zy称为称为投影方程投影方程实际上这就是所求直线的参数方程实际上这就是所求直线的参数方程对称式方程对称式方程3132435 zyx例例 3 3 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因为为直直

5、线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定两定定点、定向定点、定向例例4求过点求过点A ( 1 , 2 ,2 ) ,且通过直线且通过直线 L12132 zyx的平面方程的平面方程解解设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n由题设知点由题设知点)2 , 1, 2( M为直线为直线L上一点上一点其方向向量其方向向量kjis 3由于所求平面通过点由于所求平面通过点A及及LkjiAMn43 AMsn 431

6、113 kjikji1013 由点法式得所求平面方程为由点法式得所求平面方程为0)2(10)1(13)2( zyx即即051013 zyx例例5求直线求直线412312 zyx与平面与平面062 zyx的交点的交点解解所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为tx 2ty 3tz24 代入平面方程，得代入平面方程，得06)24()3()2(2 ttt解得解得1 t将将1 t代入直线的参数方程，即得代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为所求交点的坐标为2, 2, 1 zyx即交点为即交点为)2 , 2 , 1(M定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222

7、pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 6 6 求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平

8、行的直线方程的交线平行的直线方程. 解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例 7 7 求过点求过点)3 , 1 , 2(M且与直线且与直线12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程. 解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交

9、点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.p

10、CnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 8 8 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角五、平面束五、平面束设有直线设有直线:L)(011111 DzCyBxA)(022222 DzCyBxA考虑考虑0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 其中其中022 因因222111,CBACBA与与不成比例不成比例

11、故故212121,CCBBAA 不全为不全为 0从而从而0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 表示一个平面表示一个平面若一点若一点P在在L上上满足满足 和和 的方程的方程12P则点则点的坐标必同时的坐标必同时P则点则点的坐标也满足的坐标也满足因而因而L表示过表示过 的平面的平面对于对于 的不同值的不同值 ,L表示过表示过 的所有平面的所有平面过过 的平面束的平面束L一般在具体应用时，常取一般在具体应用时，常取11 或或而考虑缺而考虑缺 或或 的平面束的平面束120)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA

12、 例例9求直线求直线 0101zyxzyx在平面在平面0 zyx上的投影直线的方程上的投影直线的方程分析分析过所给直线作一平面与已知平面垂直，过所给直线作一平面与已知平面垂直，两平面的交线即位所求两平面的交线即位所求解解 过所给直线的过所给直线的平面束平面束方程为方程为0)1()1( zyxzyx 即即0)1()1()1()1( zyx这平面与已知平面垂直的条件是这平面与已知平面垂直的条件是01)1(1)1(1)1( 1 所求平面方程为所求平面方程为01 zy这就是过已知直线且垂直于平面这就是过已知直线且垂直于平面0 zyx的平面的方程的平面的方程它与已知平面它与已知平面 的交线：的交线：0 zyx0 zyx01 zy即为所求的投影直线的方程即为所求的投影直线的方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位