必修二《二面角》教学课件

1、 lABPQOBA 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做叫做二面角。二面角。这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱。二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。平面角由平面角由射线射线-点点-射线构成。射线构成。二面角由二面角由半平面半平面-线线-半平面构半平面构成。成。 定义定义 PQlAB二面角的表示二面角的表示l二面角QlP二面角 AB二面角QABP二面角 l二面角二面角 l l 二面角二面角C CABAB D DABCD二面角的画法二面角的画法CEFDAB 一个平面垂直于二面角的棱一个平面垂直于二面角的棱, ,且与两个半且与

2、两个半平面的交线分别为平面的交线分别为OA,OB,OOA,OB,O为垂足为垂足, ,则则AOBAOB叫叫做做二面角的平面角。二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫做直二面角做直二面角. .二面角的度量二面角的度量二面角的平面角的三个特征二面角的平面角的三个特征: :1.1.点在棱上点在棱上2.2.线在面内线在面内3.3.与棱垂直与棱垂直二面角的大小的范围二面角的大小的范围: :1800 lOABAOBPAB二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：、点、点P P在棱上在棱上定义法定义法、点、点P P在一个半平面上在一个半平面上三垂线定理法三垂线定理法、点、点P P在二面

3、角内在二面角内 垂面法垂面法ABPPABOcos原射影SS公式法公式法例例1 1 如图，已知如图，已知P P是二面角是二面角-AB-AB-棱上一点，棱上一点，过过P P分别在分别在、内引射线内引射线PMPM、PNPN，且，且MPN=60MPN=60 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。，求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在在PBPB上取不同于上取不同于P P 的一点的一点O O，在在 内过内过O O作作OCABOCAB交交PMPM于于C C，在在 内作内作ODABODAB交交PNPN于于D D，连连CDCD，可得，可得CODCOD是二面角是二面角-ABAB- -

4、的平面角的平面角设设PO = aPO = a ， BPM =BPN = 45BPM =BPN = 45CO=a，DO=a, PC= a ,PD = a22又又MPN=60MPN=60 CD=PC= a2 COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC过过 A A作作 AOAO 于于O O，过过 O O作作 ODOD l l 于于D D，连，连ADADAO lD例例2 2、已知锐二面角、已知锐二面角 l l ，A A为面为面 内一内一点，点，A A到到 的距离为的距离为2 2 ，到，到l l 的距离为的距离为4 4，求求二面角二面角 l l 的大小。的大小。3解解：则由三垂线定

5、理得则由三垂线定理得 ADAD l l ADOADO就是二面角就是二面角 l l 的平面角的平面角二面角二面角 l l 的大小为的大小为60 60 作作证证计算计算17结论结论 在在RtADO中中,AO=2 , AD=4 ADOADO=60=603二面角的计算步骤二面角的计算步骤1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明所作的角就是所求证明所作的角就是所求二面角的平面角二面角的平面角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”1.1.如图如图 ABCDABCD是正方形是正方形，PDPD平平面面ABCD,ABCD,则则(1)(1)面面PABPAB

6、与面与面ABCDABCD所成二面角所成二面角的平面角是的平面角是_,_,(2)(2)面面PBCPBC与面与面ABCDABCD所成二面角所成二面角的平面角是的平面角是_,_,(3)(3)面面PADPAD与面与面PCDPCD所成的二面角所成的二面角的平面角是的平面角是_,_,(4)(4)面面PACPAC与面与面ACDACD所成的二面角所成的二面角的平面角是的平面角是_._.ABCDPOP PA AD DP PC CD DA AD DC CP PO OD D 练练 习习2、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂垂直圆所在的平面，直圆所在的平面，C是圆上任一是圆上任一点，则二面角点，则二面角

7、P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是3、已知、已知P为二面角为二面角 内一内一点，且点，且P到两个半平面的距离都等到两个半平面的距离都等于于P到棱的距离的一半，则这个二到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABO60OABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为4 4如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC的顶点的顶点P P在底面在底面A

8、BCABC上的射影是上的射影是底面底面RtRtABCABC斜边斜边ACAC的中点的中点O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。2PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21OEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP_._.的大小为_的大小为_则二面角则二面角角,角,与与成30成30角,角,成45成45AB与AB与, ,A A2,2,ABAB, ,ABAB中,中,锐二面角锐二面角5 5llll.MO22 21ABl456 6 如图，已知如图，已知A A、B

9、 B是是120120 的二面角的二面角 ll 棱棱l l上的两点，线段上的两点，线段ACAC，BDBD分分别在面别在面 ， 内，且内，且ACACl l，BDBDl l ，ACAC=2=2，BDBD=1=1，ABAB=3=3，求线段，求线段CDCD的长。的长。ADBClOAC 120 AO=BD=1, AC=271202222 COSACAOAOACCO四边形四边形ABDO为矩形为矩形, DO=AB=3解解ADBClO224CDCODO（方法一）（方法一）6 6 如图，已知如图，已知A A、B B是是120120 的二面角的二面角 ll 棱棱l l上的两点，线段上的两点，线段ACAC，BDBD分分别在面别在面 ， 内，且内，且ACACl l，BDBDl l ，ACAC=2=2，BDBD=1=1，ABAB=3=3，求线段，求线段CDCD的长。的长。二二、二面角的平面角二面角的平面角一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半平