第五章 点的运动学描述和刚体的简单运动

1、1运动学2 运动学是研究物体运动几何性质的科学。运动学是研究物体运动几何性质的科学。是是从从几几何学方面何学方面来研究物体的机械运动，来研究物体的机械运动，不研究物体的运动不研究物体的运动规律与力、惯性等物理因素的关系，单独研究物体运规律与力、惯性等物理因素的关系，单独研究物体运动的动的几何性质，几何性质，包括：包括：运动方程、轨迹、速度和加速运动方程、轨迹、速度和加速度等度等。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的由于物体

2、运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为物体称为参考体参考体，固结于参考体上的坐标系称为，固结于参考体上的坐标系称为参考参考系。系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：时间概念要明确：瞬时瞬时和和时间间隔时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：运动学所研究的力学模型为：点点和和刚体刚体。34 本章介绍三种方法（即本章介绍三种方法（即矢量法、直角坐标法矢量法、直角坐标法和和自然法自然法）研究点相对某一个参考系的几何位置随时）研究点相对某一个参考系的几何位置随时间变化的规律，包括点的运动方程、轨迹、速度和间变化的规律，包括点的运动方程、

3、轨迹、速度和加速度及刚体的简单运动（平移和定轴转动）等。加速度及刚体的简单运动（平移和定轴转动）等。本章内容本章内容 5. 1 点的运动学描述点的运动学描述 5. 2 刚体的平移刚体的平移 5. 3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5. 4 轮系的传动比轮系的传动比 5. 5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度51. 1. 运动方程运动方程选取参考系上某确定点选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点为坐标原点，自点O向动点向动点M作矢量作矢量r，称为点，称为点M相对原点相对原点O的位置矢的位置矢量，简称量，简称矢径矢径。5.1

4、 点的运动学描述点的运动学描述MrO以矢量表示以矢量表示的点的运动的点的运动方程方程)(trr 当动点当动点 M 运动时，矢径运动时，矢径r 随时随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即间而变化，并且是时间的单值连续函数，即矢端曲线即为动点矢端曲线即为动点运动轨迹运动轨迹一、矢量法一、矢量法62. 2. 速度速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*rtrtrvtddlim073. 3. 加速度加速度点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度

5、大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。 有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“.”表示该量对时间的二阶导数。 avr220ddddlimtrtvtvat8速度矢端曲线速度矢端曲线OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向确定加速度的方向确定 如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。 9二、二、 直角坐标法直角坐标法这组方程

6、叫做用直角坐标表示的点的运动方程。123( )( )( )xf tyf tzf tMrkijyxzOyxz有一动点M。也可用它的三个直角坐标表示。也是点运动轨迹的参数方程1. 1. 运动方程运动方程 取一固定的直角坐标系Oxyz，kzj yi xr 则动点M在任意瞬时的空间位置，既可用相对于O的矢径r表示， 由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，所以矢径r 可表示为：10 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。2. 速度若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxvvvv其方向余弦为txvxddtyvyddtzvzddktzjtyitxtrvddddddddkvjvivz

7、yxkzj yi xrvzkvvyjvvxiv),cos( ,),cos( ,),cos(11 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。3. 加速度若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx 其方向也可确定22ddddtytvayy22ddddtztvazz22ddddtxtvaxxktvjtvitvtvazyxddddddddkajaiazyxkvjvivvzyx12解：解： 以以O为坐标圆点，建立如图为坐标圆点，建立如图坐标系。坐标系。M点的坐标为：点的坐标为：sinsinxOMOAr 将将 =w w t带入上式，得带入上式，得M点的点的运动

8、方程运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww BABOKMKwxx例例1 如图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄如图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为长为r ，自水平位置开始以匀角速度自水平位置开始以匀角速度w 转动，即转动，即 =wt，滑槽，滑槽K-K与导杆与导杆B-B制成一体。曲柄端点制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲中滑动，因而曲柄带动导杆柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和作上下直线运动。试求导

9、杆的运动方程，速度和加速度。加速度。13例例2 一人高一人高 h2 ，在路灯下以匀速，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面行走，灯距地面的高为的高为h1 ，求人影的顶端，求人影的顶端M沿地面移动的速度。沿地面移动的速度。解解: 取坐标轴取坐标轴Ox如图所示，由几何关系得如图所示，由几何关系得:上式对上式对t求一阶导数，得求一阶导数，得 M 点的速度为点的速度为:221xxxhhMM2121hhxhxM12112211ddddvhhhtxhhhtxvMMh1h2xMx2MxO14)(tfs 这就是点沿轨迹的运动方程或以弧坐标表示的点的运动方程。三、三、自然法自然法1. 1. 弧坐标弧坐标 设动点M的

10、轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即 MOs(-)(+)15 在运动轨迹上取极为接近的点M和M1，切线的单位矢量分别为和1，指向与弧坐标正向一致。将1平移到点M，则 和1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于

11、切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与 、n构成右手系。2. 自然轴系 16 以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。且三个单位矢量满足右手法则，即曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。曲率曲率nbsssdd1lim017由左图知：由左图知：2sin2 100，s垂直，且有垂直，且有与与时时当当n 则nnsssss1limlimdd00相关的计算结果相关的计算结果 又因为又因为s为正时，点沿切向为正时，点沿切向 的正方向运动，的正方向运动， 指指向轨迹内凹一侧；反之

12、则相反。于是有向轨迹内凹一侧；反之则相反。于是有183 点的速度 tststrvttddlimlim00用矢量表示为： 在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。srt0时时，有有当当vdtdsv194 点的切向加速度和法向加速度 由于所以nvvntsst1ddddddtvtv vttvaddddddddnaaaantnt法向加速度切向加速度，va tva2ntdd=其中nvtva2dd20naaaantntnvtva2dd 上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由两个分矢量组成：是由两个分矢量组成：切向加速度切向加速度 反映

13、速度代数值对时间的变化率，反反映速度代数值对时间的变化率，反映速度大小的变化，它的方向沿轨迹的切线方向；映速度大小的变化，它的方向沿轨迹的切线方向；法向加速度法向加速度 反映速度方向改变的快慢程度，它反映速度方向改变的快慢程度，它的方向沿主法线的方向，指向曲率中心。的方向沿主法线的方向，指向曲率中心。atana2122tnaaa大小：大小：方向：方向：tn|tanaantaaa全加速度全加速度为为切向加速度切向加速度和和法向加速法向加速度度的矢量和的矢量和22200t12ssv ta tttddacva t 了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保

14、持不变。0ssvt 如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为曲线匀变速运动。现在来求它的运动规律。 tavvt023例例3 3 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R16cm，料斗沿铅垂提，料斗沿铅垂提升的运动方程为升的运动方程为y2t2，y以以cm记，记，t 以以s计。求卷筒边缘一点计。求卷筒边缘一点M在在t4s时的速度和加速度。时的速度和加速度。解：解：此时此时M点的点的切向加速度切向加速度为：为：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s当当

15、t=4 s时时速度速度为：为：M点的点的法向加速度法向加速度为：为：OMRMA0AM0yatan attsv4dd22s/cm16Rvan24M点的全加速度为：点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aaOMRMA0AM0yatan a25例例4 列车沿曲线轨道行驶，初速度列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度，速度均匀增加，行驶均匀增加，行驶s=1km后，速度增加到后，速度增加到v2=54km/h，若铁轨曲线形状如图若铁轨曲线形状如图1-17所示。在所示。在M1、M2点的曲率点的曲率半径分别为半径分别为1=600m, 2

16、=800m 。求列车从。求列车从M1到到M2所所需的时间和经过需的时间和经过M1和和M2处的加速度。处的加速度。M1M2v1v1at2解：解：20021tatvssttavvt02222122s/m1 . 0100025152svvatat1（1）求从）求从M1到到M2所需时间所需时间261an1a1(2)求列车经过求列车经过M1和和M2时的时的法向加速度法向加速度：(3)求列车经过求列车经过M1时的时的全加速度全加速度：s1001 . 051512tavvt221222s/m281. 060015vana2an2M1M2v1v1at2at1221211s/m042. 06005van2222

17、121s/m108. 0042. 01 . 0ntaaa（4）求列车经过）求列车经过M2时的时的全加速度全加速度：2222222s/m293. 0281. 01 . 0ntaaa4 .6715 .192227 例例5 杆杆AB绕绕A点转动时，带动套在半径为点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小的固定大圆环上的小护环护环M 运动，已知运动，已知 wt (w为常数为常数)。求小环。求小环M 的运动方程、速的运动方程、速度和加速度。度和加速度。解：解：建立如图所示的直角坐标系。则建立如图所示的直角坐标系。则即为小环即为小环M 的运动方程。的运动方程。2cos2sinRyRxtRytRxww2c

18、os2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOxy228故故M点的速度大小为点的速度大小为wRvvvyx222其方向余弦为其方向余弦为cos( , )cos2xvvv icos( , )sin2yvv v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故故M点的加速度大小为点的加速度大小为2224wRaaayx且有且有2222444()4xyxywwww aijijrABMOxy2vxvyva29MMRo例例6 半径为半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚无滑动地滚动动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，。设

19、轮子保持在同一竖直平面内运动， ，试，试分析轮子边缘一点分析轮子边缘一点M的运动。的运动。tw30此处有影片播放此处有影片播放31解：解：取坐标系取坐标系Axy如图所示，并设如图所示，并设M 点所在的一个点所在的一个最低位置为原点最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为点坐标为)cos1 (cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。这是旋轮线的参数方程。oRCAxyMM点的速度和加速度为：点的速度和加速度为：jtRitRj yi xv)sin()cos1 (wwww-当当M点与地面接触，即点与地面接触，即 时，时，M点速度等于零。点速度等于零。k2jtRitR

20、j yi xa)cos()sin(22wwww )sin(sinROMACx32如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行平行移动移动，简称，简称平移平移。5.2 刚体的平移刚体的平移33摆式输送机的料槽摆式输送机的料槽直线行驶的列车车厢直线行驶的列车车厢 刚体平移时，其上各点刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也的轨迹不一定是直线，也可能是曲线。可能是曲线。 （直线平移）（直线平移） （曲线平移）（曲线平移）34yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A

21、1O 结论：结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。点的运动。平行移动刚体内各点的速度和加速度平行移动刚体内各点的速度和加速度BArrBABAvvBAaa 另外可知，只要把点另外可知，只要把点B的轨迹沿的轨迹沿BA方向平行移动一段距方向平行移动一段距离离BA，就能与点，就能与点A的轨迹完全重合。的轨迹完全重合。 35 在刚体运动的过程中，若在刚体运动的过程中，

22、若刚体上刚体上或或其延伸部分上其延伸部分上有有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为为刚体的定轴转动刚体的定轴转动，简称，简称转动转动。该固定不动的直线称为。该固定不动的直线称为转轴转轴，简称为简称为轴轴。5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3637 固定平面固定平面A与动平面与动平面B间的夹间的夹角角称为刚体的称为刚体的转角转角。转角。转角是是一个代数量，它确定了刚体的一个代数量，它确定了刚体的位置，用弧度位置，用弧度(rad)表示。表示。 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负符号规定：符号规定：自自z 轴的正端看去，轴的正端

23、看去，1. 转角和运动方程转角和运动方程转角转角 是时间是时间t 的单值连续函数，即的单值连续函数，即( )f t这就是刚体绕定轴转动的这就是刚体绕定轴转动的运动方程运动方程。一、转动方程、角速度和角加速度一、转动方程、角速度和角加速度38转角转角 对时间的一阶导数，称为对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，刚体的瞬时角速度，用用w 表示表示: :ddtw 角速度角速度表征刚体转动的快慢和方向，表征刚体转动的快慢和方向，是代数量，是代数量，其单其单位为位为rad/s 。2.2.定轴转动刚体的角速度和角加速度定轴转动刚体的角速度和角加速度（1 1）角速度）角速度 逆时针为正逆时针为正 顺时针为

24、负顺时针为负符号规定：符号规定：自自z 轴的正端看去，轴的正端看去，39角速度对时间的一阶导数，称为角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加刚体的瞬时角加速度速度，用字母，用字母a 表示，即表示，即22ddddttwaw角加速度表征角速度变化的快慢，也是代数量角加速度表征角速度变化的快慢，也是代数量, ,单位为单位为rad/s2 。如果如果w 与与a 同号，则转动是加速的；如果同号，则转动是加速的；如果w 与与a异号，则转动是减速的。异号，则转动是减速的。（2 2）角加速度）角加速度40 工程上常用转速工程上常用转速n 来表示刚体转动的快慢。来表示刚体转动的快慢。n 的单的单位是转位是转/

25、/分分(r/min)， 与与n的转换关系为的转换关系为20.16030nnnw（1 1）匀速转动）匀速转动( (w w = =常数常数) )（2 2）匀变速转动匀变速转动(a 常数常数)3.3.特殊情形特殊情形t+=0200021tttawaww41 刚体作定轴转动时，其内刚体作定轴转动时，其内各点在与轴垂直的平面内作各点在与轴垂直的平面内作圆周运动，圆周的半径圆周运动，圆周的半径R等等于该点到轴线的垂直距离。于该点到轴线的垂直距离。sR动点动点速度速度的大小为的大小为ddddsvRRttw 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度如图设任一点由如图设任一点由O运动到运动到M。

26、以固定点。以固定点O为弧坐标为弧坐标s的的原点，按原点，按角的正向规定弧坐标角的正向规定弧坐标s的正向，于是的正向，于是1.1.速度速度 w w , a a对整个对整个刚体刚体而言而言(各点都一样各点都一样)； v, a 对刚体中某个对刚体中某个点点而言而言(各点不一样各点不一样)。42即：即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。线而指向转动的一方。ddddsvRRttw43tddd()dddvaRRRtttwwa（1 1）切向加速度为

27、：）切向加速度为：即：即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它，它的方向由角加速度的符号决定，当的方向由角加速度的符号决定，当a 是正值时，它沿是正值时，它沿圆周的切线，指向角圆周的切线，指向角 的正向；否则相反。的正向；否则相反。2.2.加速度加速度44222n()vRaRRww（2 2）法向加速度为：）法向加速度为：即：即：转动刚体内任一点的法向加速度转动刚体内任一点的法向加速度( (又称向心加又称向心加速度速度) )的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴的大小，

28、等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。轴线。45如果如果w 与与a 同号，角速度的绝对值增加，刚体作加同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度速转动，这时点的切向加速度at 与速度与速度v 的指向相同；的指向相同；如果如果w 与与a 异号，刚体作减速转动，异号，刚体作减速转动， at 与与v 的指向相的指向相反。这两种情况如图所示反。这两种情况如图所示atat46 (1) (1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴

29、线的垂直距离成正比。度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a 与半径与半径间的夹角间的夹角 都有相同的值。都有相同的值。点的全加速度为：点的全加速度为：2224tnt2ntanaaaRaaawaw47例例5-1 齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知变转速和转向。如图，已知r1、r2、1、a1，求求2、a2 。 解：解：因啮合点无相对滑动，所以因啮合点无相对滑动，所以tt1212,vvaa由于由于111222tt111222,v

30、rvrararwwaa于是可得于是可得11212122,rrrrwwaa即即112221rrwawaw1a1r1O1O2r2w2a2v1v2at1at248 解：解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为42 tdtdw222dtda求当求当t=1s时，则为时，则为rad/s2w2rad/s2a因此轮缘上任一点因此轮缘上任一点M 的速度和加速度为的速度和加速度为m/s4 . 0wRv2m/s4 . 0aRat22m/s8 . 0wRanARMOvana方向如图所示。方向如图所示。 例5-2 一半径为一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴的圆轮绕定轴O的转动方程的转动方程

31、为为 ，单位为弧度。求，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当求当t=1s时，物时，物体体A 的速度和加速度。的速度和加速度。tt4249 M点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为ARMOanaa22222m/s894. 0)8 . 0()4 . 0(ntaaa43265 . 02arctgarctgwa如图如图。 现在求物体现在求物体A的速度和加速度。因为的速度和加速度。因为MAss 上式两边求一阶及二阶导数，

32、则得上式两边求一阶及二阶导数，则得MAvv tMAaa因此因此m/s4 . 0Av2m/s4 . 0Aa50P解：例例5-35-3 在刮风期间，风车的角加速度在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角其中转角 以以rad计。若初瞬时若初瞬时 ，其叶片半径为其叶片半径为0.75m 。试求叶片转过两圈试求叶片转过两圈( )( )时其顶端时其顶端 P 点的速度。点的速度。 2rad/s 2 . 0arad/s6 , 000wrad 4wwwwaddddddddttww2 . 0ddwwww40d 2 . 0d 02022)4(2 . 0wwrad/s22. 8 wm/s17. 6 wrv51主动轮与从动轮角速度之比称为主动轮与从动轮角速度之比称为传动比传动比，记为，记为i12。5.4 轮系的传动比轮系的传动比齿轮传动（外啮合）齿轮传动（外啮合）齿轮传动（内啮合）齿轮传动（内啮合）52带轮传动带轮传动531) 1) 齿轮传动齿轮传动121221RiRww即：即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故121221zizww即：即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速