二重积分计算方法

1、1.1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下, 被积分函数f（x,y）在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1）,即D (x, y)| 1(x) x 2(x), a x b ,其中1(x), 2(x)在a,b上连续，则有f (x,y)dDb 2(x)adx (x)f(x,y)dy；a1 (x)(1)若D为y型区域（如图2）,即D(x,y) 1(y) y 2(y),c y d ,其中(y), 2(y)在c,d上连续,则有f (x, y)dDd2(y)1cdy ) f(x，y)dx (2)2例1计算 ydxdy,其中D是

2、由x 2 , y x ,及xy 1所围成.D x分析 积分区域如图3所示，为x型区域D=x,y 1 x 2,- y xx确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解.算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干 x型或y型区是简单行计域，然后利用公式f(x, y)d f(x,y)d f(x,y)dDDiD2f (x,y)dD3(3)进行计算,例2计算二重积分d，其中D为直线y 2x,x 2y及x y 3所围成的区域.分析：积分区域D如图5所示，区域D既不是x型区域也不是y型区域，但是将可D划分为DiD2_ x _x, y 0 x 1,- y 2x2 y 均为x型x,y 1 x 3,2y y 3 x进

3、而通过公式（3）和（1）可进行计算.解D划分为_-， X_，一 一D1x, y 0 x 1,- y 2x , D2x, y 1 x 3,2y y 3 x则1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复 杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函 数划分积分区域，然后进行计算.例3计算二重积分4y x2 dxdy ,其中D为区D，0 y 2.分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本发现当我们把积分区域划分为Dix2 y 21 x 12 x两部分后，

4、被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很 1容易求得.解区域D如图6可分为D1 U D2 ,其中D1D20 y x21 x 1由公式（3）则2利用变量变换法计算定理1设f (x,y)在有界区域D上可积，变换T :x x u,v , y y u,v ,将u,v平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成x,y平面上的区域D,函数x u,v , y u,v在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式J u,v 匕0, u,v ,则u,vf(x, y)d f x u, v , y u,v J u, v dudv(4)D(4)式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量

5、使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算.x y例4求 ex ydxdy ,其中D是由x 0, y 0, x y 1所围曲线(图7) D分析 由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T : u x y,v x y.在变换T作用下区域D的原像 如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了.1 x - u v解做变换T:2J u,v 1 012y - u v2所以x yex ydxdyD-1ev dudv21 v u duevdu0 v2.2 根据

6、积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有u f x, y ,v g x, y且m u n, v ，则把xy平面上的积分区域 D对应到uv平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算.例5求抛物线yu -,v ,则有 mx x mx, y2 nx和直线y x, yx所围区域D的面积 D .分析D的面积 D dxdy.实际是计算二重积分dxdy,其被积函数很简单，但DD22是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现m L,n工；），），如果设u n,xxxx解D的面积 Ddxdy作变换uxvvyuT :m,n所以D dxdy

7、Du .dudv vdv-4 vnudu =m2233n m3-36dxdy .xyD : xy 1,xy3,y22x, y3x所围区域.分析 积分区域的处理与上题类似,可以做变量替换T:u xy, v它把xy平面上的区域D对应到uv平面上的矩形区域在变换T作用下，区域D的原像u,v 1 uu,v13v所以3x -3dxdyd y xyv uv 3vi .一 dudv3dv idu1 v v uv2.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f xrirr2那么2f x, y dxdy rdrDL y2、f二或f Y形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，

8、可考虑用极坐标变换,02x r cosT :, 0y rsin这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不 是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0 D,且xy平面上射线常数与积分区域D的边界至多交于两点,则必可表小为rir则有f x, y dxdy dDf r cos ,r sin rdr(5)类似地，若xy平面上的圆r常数与积分区域D的边界至多交于两点，则 必可表示r cos ,r sin d(6)(2)如果原点。为积分区域D的内点，D的边界的极坐标方程为r r ，则 可表示成0 r r , 0则有f x, y dxd

9、yDf r cos , r sin rdr(3)如果原点。在积分区域D的边界上，则 为那么rf x, y dxdy d f r cos , r sin rdr(8)D例7计算I , d 其中d为圆域：x2 y2 1 d ,1 x2 y2分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f(x2 y2),且原点为D的内点，故x r cos 0 r 1可采用极坐标变换丁： x rcos ,0 r 1 ,可以达到简化被积函数的目的. y r sin ,02解作变换x rcos ,0 r 1T：,y r sin ,02则有 1,1 r2ydxdy dx dy 4,D Di又故原式 d0例8计算二重积分ydx

10、dy ,其中D是由直线x 2, y 0, y 2 ,以及曲线D积分区圆区区域，X 2V y2所围成的平面区域.分析 首先根据题意，画出积分区域，由于域D与Di一起围成规则图形正方形，且 Di为半 域，根据极坐标变换简化被积函数.解 积分区域如图15所示，D Di为正方形Di为半圆区域，则有ydxdy ydxdy ydxdy ,DD DiDi_ i 2cos 22i cos222.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换: 并且雅可比行列式J u,v abr同样有(9)f x, y dxdy f ar cos , br sin abrdrdDx,y 0 y bJ1

11、0T,022例9计算I c. 1 35dxdy ,其中D d a b分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换x ar cos ,0r 1T:,可以达到简化积分区域和被积函数的目的.y brsin ,02解作广义极坐标变换x ar cos ,0r 1T :, J u, v abry br sin ,0 一2由（9）知3某些特殊函数的计算3.1利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分5 和D2,那么有如果f x,y在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么如果f x,y在Di上各点处

12、的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，那么3fx,yd 2 fx, yd 2 fx, ydDDiD2例10计算 x2ydxdy,其中D为双曲线x2 y2 1及y 0, y 1所围成区域.D分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到 f x, y x2y为x的偶函数，另一方面D关于y轴对称，且f x,y在Di在D2上各点处的值与其在D?上各对称点处的值 恒相等，然后再化为累次积分计算.解 积分区域如图11所示：D1为D在第一象限内的部分，D关于y轴对称，又宜选择先对x后对y的积分次序f x,y x2y为x的偶函数，由对称性有故原式o 32”2 222 2y 2 dy 1 y 2153.2

13、分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分 区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性 质加以讨论.被积函数带绝对值时，首先去掉绝对信号，同样也将积分区域划分成若干个子区域,使每个子区域上被积函数的取值不变号.例11求Dx2 y2 4 dxdy ,其中 D 为x2 y2 9围成的区域.分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得4 0及x2 y2 4 0的两部分，在两部分上分别积分后，再相加.为去绝对信号，将D分成若干个子区域,y2 4在Di内在D2内故原式利用极坐标计算有412例12求 fx ye ,xx, y0,其他