传热学-第三章

1、3-1 非稳态导热的基本概念1. 定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热， 2. 分类第三章非稳态导热第三章非稳态导热)(，rft 瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定值；如钢坯在炉内的加热 周期性非稳态导热：物体的温度随时间做周期性的变化；如室式热处理炉炉壁的导热着重讨论瞬态非稳态导热3. 温度分布：4. 两个不同的阶段 非正规状况阶段(不规则情况阶段) 正规状况阶段(正常情况阶段)温度分布主要取决于边界温度分布主要取决于边界条件及物性条件及物性温度分布主要受初始温度温度分布主要受初始温度分布控制分布控制 非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段非稳态导

2、热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态5. 热量变化1 板左侧导入的热流量2 板右侧导出的热流量12006. 学习非稳态导热的目的(2) 非稳态导热的导热微分方程式(3) 求解方法),(f(zyxft ; )()()(ztzytyxtxtc分 析 解 法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法：集总参数法、积分法数 值 解 法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律高等数学高等数学数值分析数值分析数理方程数理方程7. 毕渥数本章以第三类边界条件为重点。(

3、1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： 流体与物体表面的对流换热 物体内部的导热tfhtfhxt 0 tfhxt 0hrh1rhhrrBih1(2) 毕渥数的定义：物理意义：固体内部导热热阻与其界面上换热热阻之比hhrrBih1无量纲数无量纲数当Bi时，r rh ；因此，可以忽略对流换热热阻当Bi0 时，r t,固体与流体间的表面传热系数h，固体的物性参数均保持常数。 求：根据集总参数法确定物体温度随时间的依变关系 解： 建立非稳态导热数学模型 方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程： 物体内部导热热阻很小，忽略不计。 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是的一元函数，而与坐标x

4、、y、z无关，即： 可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）。 cztytxtct2222220222222ztytxt(a) cddt则有： 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即： tot物体被冷却， 应为负值 由（a），（b）式得： 这就是瞬时时刻导热微分方程式。方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量(b) )(ttAhV)(ttAhddtcV)(ttAhddtcV. 物体温度随时间的依变关系ddtVctthA-)(dVchAd方程式改写为：令= tt，则有00)0(ttddVchA-初始条件初始条件控制方

5、程控制方程00dVchAdVchA ln0dVchAd 积分 VchAetttt00其中的指数：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()(2)()(AVaFoAVhBivvFov是傅立叶数vFovBiVchAee0物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：sJwkgKJmmkgmKmwVchA13322%8 .361e 0即与 的量纲相同，当 时，则1hAVc1VchA此时上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余温度 已经达到了初始过余温度的36.8。称 为时间常数，用 表示。hAVchAVcc%8.36e10cvvFoBi 36.8%0 如果导热体的热容量(cV)小、换热条件好

6、(h大)，那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数 ( cV / hA) 小。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的(微细热电偶、薄膜热电阻)%83. 1 40时，当hAVc工程上认为=4 cV / hA时，导热体已达到热平衡状态3. 瞬态热流量导热体在时间 0 内传给流体的总热量： 当物体被加热时当物体被加热时(tt，流体与板面间的表面传热系数h为一常数。 求：在非稳态过程中板内的温度分布。平板非稳态导热微分方程：导热微分方程xtat22)0,0(xcztytxtct22222200 xxtxtthxt)( (对称性对称

7、性) )边界条件00tt初始条件引入变量过余温度令txtx),(),(xhxxxxxa0000,0022方程可化为：用分离变量法可得其解析解为：eFonnnnnnn210cossincossin2),(x式中2aFo n为超越方程 的根nnBitan2. 无限长圆柱的分析解已知：半径为R的实心圆柱，初温为t0，初始瞬间将其放于温度为t的流体中，而且t0t，流体与板面间的表面传热系数h为一常数。 求：在非稳态过程中圆柱内的温度分布。圆柱非稳态导热微分方程：导热微分方程rtrrrat)0,0(Rr00rrtRrtthrt)(边界条件00tt初始条件ztztrrtrrrtc)()(1)(12eFon

8、nnnnnnJJJJ2121200102),(Rr式中2RaFon为超越方程 的根nnnBiJJ01用分离变量法可得其解析解为：3. 圆球的分析解已知：半径为R的实心球，初温为t0，初始瞬间将其放于温度为t的流体中，而且t0t，流体与板面间的表面传热系数h为一常数。 求：在非稳态过程中圆球的温度分布。 0222!21mmmvmvmvmxxJ第一类 v 阶贝塞尔函数trtrrtrrrtc)sin(sin1)(sin1)(122222圆球非稳态导热微分方程：导热微分方程rtrrrat22)0,0(Rr00rrtRrtthrt)(边界条件00tt初始条件eFonnnnnnnnnn210cossinc

9、ossinsin2),(Rr式中2RaFon为超越方程 的根Binncos1用分离变量法可得其解析解为：对于一维非稳态导热问题，其解均可表述为, 0,0BiFf4. 非稳态导热正规状况阶段解的简化 数值计算表明，当Fo数大于0.2时，取无穷级数的首项，其计算误差小于1%eF021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(对于平板)cos()(),(1m与时间无关与时间无关10)(),(Jm与时间无关与时间无关对于圆柱eFoJJJJ211211201011102),(eFomJJJ211211201110211sin)(),(m对于圆

10、球eFo21111111110cossincossinsin2),(eFom211111110cossincossin2与时间无关与时间无关若令Q为0，内所传递热量00001)(),(ttcVdVxttcQQVeFvdVV)(1111110021cossinsin2sin1考察热量的传递Q0 非稳态导热所能传递的最大热量)(00ttcVQ5. 非稳态导热的热量计算时刻 的平均过余温度对于平板此处此处的A，B及函数f(1)见P127表3-1 及 可用一通式表达0无限大平板长圆柱体及球22RaFohRBiRraFohBix对无限大平板，长圆柱体及球1210expfFAoBFAQQo210exp16

11、. 正规热状况的实用计算方法拟合公式法对上述公式中的A，B， 1 ，J0 可用下式拟合式中常数a，b，c见P128表3-2 a，b，c，d见P128表3-3320121)(1)1()(xdxcxbaxJbBicBiaBebaABibacBi),()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF7. 正规热状况的实用计算方法线算图法诺谟图：工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。 三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，F00.2 时，取其级数首项即可(1) 先画),(cossinsin202111110BiFofeFm海斯勒图：

12、诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图。 (2) 再根据公式(3-28) 绘制其线算图),()cos()(),(1xBifxxm(3) 于是，平板中任一点的温度为00mm同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用(331)和(333)绘制出。解的应用范围 (1) 第三类边界条件 (2) 一侧绝热，另一侧为第三类边界条件 (3) 两侧均为第一类边界条件，且维持相同的温度 F00.2例：一火箭发动机喷管，壁厚为9mm，初始温度为30。在进行静推力试验时，温度为1750的高温燃气送入该喷管，燃气与壁面间的表面传热系数为1950W/(m2K)。喷管材料的密度=8400kg/m3，导热系数=24.6

13、W/(mK)，c=560J/(kgK)。假设喷管因直径与厚度之比较大而可视为平壁，且外侧可作绝热处理，试确定：(1) 为使喷管的最高温度不超过材料允许温度(1000)而允许的运行时间；(2) 在所允许时间的终了时刻，壁面中的最大温差；(3) 在上述时刻壁面中的平均温度梯度与最大温度梯度。解：本题可视为为厚度为2=29mm的平板两侧突然受第三类边界条件时的非稳态导热问题。先判断Bi数。1 . 07134. 06 .24009. 01950hBi不满足集总参数法条件，采用拟合公式计算7692. 07134. 09188. 04022. 0111Biba0777. 1)1 (2575. 00101.

14、 1)1 (7134. 04271. 0eebaAcBi9023. 07134. 05475. 017134. 03483. 00063. 11bBicBiaB1009. 0009. 0 x7700. 0) 17692. 0cos()cos()(11f根据过余温度的表达式77. 00777. 11750301750100027692. 00Foe2 . 00877. 1Fo根据s 8 .166 .245608400009. 00877. 1222cFoaFo壁面中心温度5662. 010777. 117503017500877. 127692. 00etmm/m 8 .24877009. 09

15、 .223xt在上述时刻壁面的平均温度梯度 1 .7765662. 0)175030(1750mt/m 2 .59451)17501000(6 .241950)()(fbfbtthxttthxt 9 .2231 .7761000maxt由于外表面绝热，温度梯度为零，故最大温度梯度在内壁面。根据第三类边界条件例例 一直径为100mm，长为1000mm的圆钢，初始温度为30，今将其置于1300的加热炉中。求加热半小时后圆钢表面温度与中心温度的差。取表面传热系数的平均值为232w/(m2K)，圆钢的导热系数为40.5w/(mK)，热扩散率为0.62510-5m2/s。解：解：对于2R=100mm的无

16、限长圆柱，有2864. 05 .4005. 0232hRBi5 . 405. 036005 . 010625. 0252RaFo7696. 02864. 04349. 017. 05 . 01采用拟合公式计算0684. 115877. 00042. 12864. 04038. 0eA0334. 09967. 00684. 1)(5 . 47696. 001210efAerFom9967. 000577. 003259. 000354. 09967. 001rf 2 .1265)130030(0274. 01300)(0274. 00ttttb过余温度比表面和中心温度为8175. 017696.

17、 00577. 017696. 03259. 017696. 00354. 09967. 01Rrf0274. 08175. 00684. 1)(5 . 47696. 01210efAeRrFob 6 .1257)130030(0334. 01300)(0334. 00ttttm 6 . 76 .12572 .1265mbtt3-4 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解 考察一无限长方柱体(其截面为2122的长方形)，初始温度为t0，突然将其置于温度为t的流体中，表面传热系数为h，求其温度分布。00),(tttyxt)(2222yxa10 xyxyhx),(),(11yyxxhy),(),(

18、220),(00 xxyxx0),(00yyyxy12xy0 如果能用两个一维无限大平板的解来表示该二维问题的解，则可使问题变得简单),(),(0),(01)0 ,(01022xxxxxxxhxxxxxxxxa其中其中及tttxtx0),(),(),(0),(01)0 ,(022022yyyyyyyhyyyyyyyyatttyty0),(),(),(),(yxyxyx无限长方柱体的解可以表示为两个无限大平板的解的乘积，即xyyxyx)(假设(x, y, )=x(x, )y(y, )成立，则2222)(yyyyyyxyxyx 2222)(xxxxxxyxyyx )(2222yxa看控制方程222

19、2xayaxyyxxyyx22222222yaxayxayxxy控制方程成立控制方程成立22yayy22xaxx左侧：右侧：一维控制方程看初始条件111)0 ,()0 ,(0yxyx00),(),(),(),(),(),(11yxhyxhyyxhyxxyxyyxx1x1x1x看边界条件同理00),(xyhxy2y 证明了x(x，)y(y，)是无限长方柱体导热微分方程的解，即(x, y, )=x(x, )y(y, )。这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求解二维导热问题00),(), 0(),(0yxyxyxyx00),(), 0(),(0 xyxyxyxy初始条件和边界条件成立初始条

20、件和边界条件成立适用条件： (1) 一侧绝热，另一侧三类；(2) 两侧均为一类；(3) 初始温度分布必须为常数；(4) 无内热源 如果用x(x，)P表示无限大平板的解，用x(x，)C 表示无限长圆柱的解，用x(x，)R表示圆球的解，则对于如下的规则图形可球出其解。(y,)P2(x,)P1(x, y, )(x,)P1 (y,)P2(r,)C(R,)P(r, )(r,)C (R,)R(r,)C(x,)P(r, x, )(r,)C (x,)P(x, y, z, )(x,)P1 (y,)P2 (z,)P3导热量的计算二维问题三维问题10201001QQQQQQQQ201030102010011QQQQ

21、QQQQQQQQQQ例例4 一直径为600mm，长为1000mm的钢锭，初始温度为30，今将其置于1300的加热炉中。求加热4小时后钢锭中心的温度。取表面传热系数的平均值为232w/(m2K)，钢锭的导热系数为40.5w/(mK)，热扩散率为0.62510-5m2/s。解：解：对厚度为2=1000mm的无限大平板864. 25 .405 . 0232hBi36. 05 . 03600410625. 0252aFo7557. 1864. 29188. 04022. 05 . 01采用拟合公式计算1917. 112575. 00101. 1864. 24271. 0eA1)cos(101xf过余温

22、度比7245. 011917. 1)(36. 021757. 101210efAexFoPm对于2R=600mm的无限长圆柱72. 15 .403 . 0232hRBi0 . 13 . 03600410625. 0252RaFo5378. 172. 14349. 017. 05 . 01采用拟合公式计算2985. 115877. 00042. 172. 14038. 0eA1216. 09967. 02985. 1)(0 . 125378. 101210efAerFoCm9967. 000577. 003259. 000354. 09967. 001rf 1 .1181)130030(0881

23、. 01300)(0334. 00ttttm短圆柱的中心温度为0881. 01216. 07245. 0000CmPmm如果将钢锭看成是无限长圆柱 1 .1145)130030(1216. 01300)(0334. 00ttttm说明短圆柱比无限长圆柱加热的快，为什么？说明短圆柱比无限长圆柱加热的快，为什么？3-5 半无限大的物体定义：几何上是指从x=0的界面开始可以向正的 x方向及其他两个坐标（x，y）方向无限延伸的物体，称为半无限大物体。 实际中不存在该物体，但研究物体中非稳态导热的初始阶段，可把实物看为该物体处理。如：有限厚度的平板，起初有均匀温度，后其侧表面突然受到热扰动，如 (1)

24、壁温突然升高到一定值并保持不变 (2) 壁面突然受到恒定的热流量密度加热 (3) 壁面受到温度恒定的流体的加热或冷却 当扰动的影响只局限在表面附近，而尚未进入平板内部时，就可视该平板为，“半无限大”物体。xtt0twaxerfdaxe222020 误差函数误差函数 无量纲变量无量纲变量wtt 引入过余温度问题的解为如图所示：已知半无限大物体初始温度均匀为to，当=0时，x=0侧表面温度突然升高到tw，并保持不变，试确定物体内温度随时间的变化和在时间间隔0，内的热流量。wttxtxtxtat),0(0)0,(0022第一类边界条件第一类边界条件axerfcxqeaqttax22204002002

25、20)0,(0qxtxtxtxtat第二类边界条件第二类边界条件余误差函数余误差函数ahaxerfceaxerfttttahhx222200)0(0)0,(0022，tthxtxtxtxtat第三类边界条件第三类边界条件误差函数：1)(1)(2)(02xerfxxerfxdvexerfxv有限大小时，)(0erfax4ax2)(erf9953. 09953. 0)2(,20erf时22ax时，该x处的温度仍等于初始温度 几何位置 若 则 时刻x处的温度可认为未变化。对一原为2的平板，若 即可作为半无限大物体来处理 时间 若 ，即 则此时x处的温度可认为完全不变。对于有限大的实际物体，半无限大物

26、体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段。 ax42 ax1622 a4两个重要参数:06. 01612xaFo在0，时间内，物体任一点的热密度：令 即得边界面上的热流通量0,时间内，流过面积A的总热量0 x00022ttcAcAdqAQww吸热系数吸热系数axwxeatterfxxq4200aqw0例例5 某地地下1m处埋有自来水管，冬天来临时，地表温度初始为10，后突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15，并维持45天不变，试确定此种条件下45天后自来水管是否会被冻。已知土壤的物性为c=1840J/(kgK)，=2050kg/m3，=0.52w/(mK)。解：解：根据已知条件，计算导温系数/sm 10379. 11840205052. 027ca对于第一类边界条件下的无限大非稳态导热，有3600244510379. 121erf2erf70axttttww68. 0erf0wwtttt66378. 068. 0e