高考数学一轮复习苏教版5.3平面向量的数量积名师精编教案(江苏专用)

1、名校名师推荐5.3平面向量的数量积14基础知识自主学习ET知识梳理1 .向量的夹角已知两个非零向量a和b,作OA=a,Ob=b,则/AOBt是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0,兀.2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为0,则数量|a|b|cos0叫做a与b的数量积，记作a-b几何意义数里积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos6的乘积3.平面向量数量积的性质设a,b都是非零向量，e是单位向量，0为2与仇或e)的夹角.则(1) ea=ae=|a|cos0.(2) a±b?a-b=0.当a与b同向时，a-b=|a|b|;当a与b反向时，a-b=-|a

2、|b|.特另1J地，aa=|a|2或|a|=aa.ab(4)cos0=;ttt.|a|b|(5)|a-b|<|a|b|.4 .平面向量数量积满足的运算律(1) ab=ba;(2)(入a)b=a(入b)=入(ab)=入ab(入为实数)；(3)(a+b),c=a,c+b,c.5 .平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),则a-b=xiX2+yiy2,由此得到(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=/x2+y2.(2)设A(xi,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB=|前="x2xi2+、2T(3)设两个非零向量a,

3、b,a=(xi,yi),b=(X2,y2),则a±b?xiX2+yiy2=0.(4)若a, b都是非零向量,。是a与b的夹角，则cos 0 =a bI a| b|X1X2 + yiy2【知识拓展】1 .两个向量a,b的夹角为锐角？ab>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角？a-b<0且a,b不共线.2 .平面向量数量积运算的常用公式(i)(a+b)(ab)=a2b2.(2)(a+b)2=a2+2a-b+b2.(3)(a-b)2=a22a-b+b2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打或“x”)(I)若a=(Xi,yi),b=(X2,y2),则a,b?Xi

4、X2+yiy2=0.(x)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(V)(3)由ab=0可得a=0或b=0.(x)(4)在四边形ABCDAB=DCfiAC：-BD=0,则四边形ABC时矩形.(x)一，一一一一兀(5)两个向量的夹角的范围是0,5.(X)考点自测1 .设a,b,c为平面向量，有下面几个命题：a(b-c)=a-b-a-c；(ab)c=a(bc);(ab)2=|a|22|a|b|+|b|2；若a-b=0,则a=0,b=0.其中正确的有个.答案i解析由向量的数量积的性质知正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知不正确；由(ab)2=a22ab+b2=|

5、a|22|a|b|cos。+|b|2知不正确；对于，:a-b=|a|b|-cos0=0,，|a|=0或|b|=0或cos0=0.，a=0或b=0或a±b,故不正确.2 .(教材改编)已知ABC43,BC=4,AC=8,ZC=60°,则BC-CA=.答案-I6解析画图可知向量BbwCA夹角为角C的补角(图略)，故BbCA=BCXAQos(兀C)=14X8X(2)=16.3 .(教材改编)已知向量a=(1,>/3),b=(3,n).若向量a,b的夹角为"6，则实数f.答案3解析ab=(1,审)(3,n)=3+73mi又ab=.12+忑2x332+m2xcos-6

6、-,-3+/3m=N12+2x小'2+nxcos-6-,.m=木.4 .(教材改编)已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b±(a+入b),则实数入的值是答案3解析b（a+入b）=ba+入bb=2X1+4X1+2入=0?入=3.5 .如图，在平行四边形ABC珅，E为DC的中点，AE与BD交于点MAB=2,AD=1,且MaMb=二，则危.Ab=6答案34解析因为Az2AE=2(AM1届3322一1一=-AD-A33Mb=|db=|(AB-ad,33所以AUMb=(2超1A-2(AB-AD)=1,所以AB-AD=3.33364题型分类深度剖析题型一平面向量数量积的运算例1

7、（1）（2016江苏南京开学测试）已知在？ABCW,AD=2,/BAD=60°.若E为DC的中点，且ALBb=1,则Bb-BE的值为.(2)已知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点，则De-丽勺值为；De-Dc的最大值为.答案(1)3(2)11解析(1)设AB=rn(n>0),以向量AB,。基底，在？ABC珅，AB=印AD=2,/BAD=60°,则AE.Bb=(AD>2aB)(AD-昭=AD2-1Ab-Ab-2庙=4；正；M，因为AE.Bb=1,得吊6=0,因为n>0,所以亦2,所以BbBE=Bb-(BC，CE=(Ab-Ab(Ab-1Ab=Ad一

8、1一一一AN2Ag=4-3+2=3,故BD-BE=3.(2)方法一以射线AB,AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则PDiCA(0,0),B(1,0),Q1,1),D(0,1),设E(t,0),tC0,1,则De=(t,一百Eff1),CB=(0,1),所以DECB=(t,-1)(0,1)=1.因为DC=(1,0),所以DEDC(t,1)(1,0)=t<1,故DEDC勺最大值为1.方法二由图知，无论e点在哪个位置，Dee前向上的投影都是cb=1,.-.De-Cb=|Cb-i=1,当E运动到B点时，DEeDC方向上的投影最大，即为DC=1,，一三一一三一(DE,DCmax=|DC1

9、=1.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a-b=|a|b|cosa,b>.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(X1,y1),b=(X2,y2),则a-b=X1X2+yy.(3)利用数量积的几何意义求解.跟踪训练1(1)(2016.全国丙卷改编)已知向量BA=忙，步),Bb=*"，则/ABC=（2）（2015四川改编）设四边形ABCD；平行四边形，|AB=6,|AD=4,若点MN满足BUNM=3MC答案(1)30(2)9解析=1,I 的=1,cos/ABC=|BA国又.0°<ZABC180

10、76;,./ABC=30°.(2)am/i=XB+3Ah11NM=CM-CN=-4ad"3ABAM.NMi=1(4超3Ad)8Ab-3AD)=418(16Ag-9AD)=48(16X62-9X42)=9.题型二平面向量数量积的应用命题点i求向量的模（2016南京、盐城调研）在ABC,A=120°,AB=4.若点D在边BC上，且Bb=2DCAD=早，则AC的长为I答案解析令AC= b,由题意得AB- AC= 4bcos 120=-2b,因为点D在边BC上,且BD=2DC所以Ab=AB+Bb=AB+2Bc3= AB+1( AC-AB =12"AE3+ &qu

11、ot;AG33从而而=（1根|ac2,又因为AD=彳,28164b28b所以T9整理得b22b3=0,解之得b=3(b=1舍去)，即AC的长为3.(2)(2016江苏启东中学阶段测试)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且a与b的夹角等于150°,b与c的夹角等于120°,|c|=2,求|a|,|b|.解由a+b+c=0,/a+b=c,a2+b2+2a-b=c2,得b+c=a.b2+c2+2b-c=a2,|a|2+|b|2+2|a|b|cos150°=4,-1b|2+4+22|b|cos120°=|a|2,解之得|a|=23,|b|=4.命题点2求向量

12、的夹角例3(1)(2016南京、盐城调研)已知向量a,b满足a=(4,3),|b|=1,|ab|=",则向量a,b的夹角为.(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是.99、9答案(1)6(2)(8,2卜卜2,3)解析(1)设向量a,b的夹角为0,由|ab|=42i得，21=(ab)2=a2+b22a-b=25+1-10cos0,即cos。所以向量a,b的夹角为。.23(2) 2a3b与c的夹角为钝角,.(2a3b)c<0,即(2k3,-6)-(2,1)v0,4k-6-6<0,k<3.一一9又若(2a3

13、b)/c,则2k-3=-12,即k=-.,9,当k=2时，2a3b=(12,-6)=-6c,即2a3b与c反向.综上，k的取值范围为一oo,92 JU92'3.思维升华平面向量数量积求解问题的策略，一，一一一ab一、一求两向重的夹角：cos0=,要汪息00,兀.同1b|(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a±b?a-b=0?|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2=a-a=|a|2或|a|=aa.Ia±b|=7a±b2=>Ja2±2a-b+b2.若a=(x,y),则|a|=x2+y2

14、.跟踪训统2(1)(2015湖北)已知向量血丽|OA=3,则OA-OB=.(2)在ABC43,若A=120°,AB-Ab=1,则|的的最小值是.答案(1)9(2)6解析(1)因为OAl届所以OAAb=0.所以OAob=OA-(OAf而=OA+Oa-Ab=|OA2+0=32=9.(2) -.Ab-Ab=-1,IAB|ACcos120°=-1,即iAb-iAcc=2,22>2> .IBC2=|ACAB2=AC2ABAOA百> 2|AB-IAC-2AB-AC=6,> .I的min=m.题型三平面向量与三角函数I,、一、一一，一，、,J,一兀兀例4(2016

15、南通倜研)已知ABC是锐角二角形，向重m=(cos(A+),sin(A+),n=(cosB,sinB),且mln.(1)求AB的值；(2)若cosB=7,AC=8,求BC的长.5解(1)因为mln,所以m-n=cos(A+-)cosB+sin(A+)sinB兀=cos(A+E)=0.又A,BC(0,y),所以A+-y-B(-6,等),所以北三B=3,即A-E5=4.326(2)因为cosE=I，BC(0,三),所以sinE=4.525所以 sin A= sin( B+?) = sinc兀Bcos 十6D . 兀 cos Bsin 64一+3,、一，rsinA10由正弦定理，得80=前一b。AJ

16、4x8=43+3.5思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等湿踪训练3在ABC43,已知C=-6,m=(sinA,1),n=(1,cosB),且mln.(1)求A的值；(2)若点D在边BC上，且3BE>BCAD=5,求ABC勺面积.解(1)由题意知mrn=sinA+cosB=0,因为C=卷，A+B+C=%,所以sinA+cos(

17、6-A)=0,即sinA虫cosA+-sinA=0,22即3sin(A-6)=0.又。爪子，所以A£(-6,午)，-兀一兀所以A-至=°,即A=3(2)设|BD|=x,由3Bb=BC彳#|的=3x,由(1)知八=C=a，所以|BA=3x,B=2.在ABD中，由余弦定理，得(/I)2=(3x)2+x223xxcos葭，解得x=1(舍负)，所以AB=BC3.1月SABC"BGinB1= X3X3Xsin2 U 9 3 丁= 4现场纠错系列5.利用数量积求向量夹角典例已知直线y=2x上一点P的横坐标为a,直线外有两个点A(-1,1),B(3,3).求使向量国与玩夹角为钝

18、角的充要条件.错解展示用例睡意为F2初设演后灾财。网纳火%六需带工乙二(T一入|一从J«-次/%_认)二5及一o/1。4优£2/徐而¥宿与布夫向方钝国的完耍现场纠错解错解中，cos0<0包含了0=%,即PAPte向的情况，此时a=1,故PAPB夹角为钝角的充要条件是0<a<2且aw1.纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况课时作业1.(2016苏州期末)已知向量a=(1,2),b=(x,2),且a±(a-b),则实数x=答案9解析先由a±(a-b),得a-(a-b)=0,即a2=a-b,再代入

19、数据.把a=(1,2),b=(x,-2),代入a2=a-b,得5=x4,所以x=9.2 .若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+b|=.答案23解析|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos60°1=4+4+2X2X2><2=12,|a+b|=2服3 .已知平面向量a,b满足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为.答案-23解析:a(a+b)=a2+ab=22+2x1xcosa,b>=4+2cosa,b>=3,1-cosa,b>=2又a,bC0,兀,sina,b>=1c

20、os2a,b=坐Ixx2x-2_一4 .(2016常州期末)已知平面向量a=(4N),b=(1,-2L),xCR若a,b,则|ab|=答案2解析因为a±b,9x_9所以4+2X2=4+2-2=0,解得2x=-2(舍)或2x=1,故a=(1,1),b=(1,1),故a-b=(0,2),故|ab|=2.5 .(2017江苏扬州中学质检)在ABC43,若AB=1,BC=2,C/=4,贝uXB-觎的靛CKABm直是.答案5解析Ab+Bc>CA=0两边平方得而+BC+CA+2ABBC升2BbCav2CA-Ab=0,又AB=1,BC=2,CA=5,从而有2ABBc>2BbCa2CA-

21、AB=-10,故ABBOBC-CNCA-AB=5.6 .如图，在矩形ABC用，AB=啦，BC=2,点E为BC的中点，点F在CDk,若AB-Af=6,则AE-BF的值是EHA答案,2解析依题意得AE-BF=(Ab+BE)-(AF-A=AB-Af-Ay+Be-AF-Be-Ab=J2-2+2-0落7 .(2016南京调研)如图，在梯形ABC用,AB/CQAB=4,AD=3,CD=2,AM2而13若AC-BM=-3,则AB-Ad=.答案I解析方法一设A屋4a,Ab=3b,其中|a|=|b|=1,则QC=2a,AU2b.由AC-BM=3得(3b+2a)(2b4a)=3,化简得a,b=-,所以AB-AD=

22、12a,b=-.o2方法二建立平面直角坐标系，使得A(0,0),B(4,0),设D(3cos&,3sina),则C(3cosa+2,3sina),M2cosa,2sina).由AC。BM=3,得(3cosa+2,3sina)-(2cosa4,2sina)=3,化简得cosa=18所以Afe-AD>12cosa=2.f1ff1>8.(2016南通调研)已知边长为6的正三角形ABCBD-BCAE="AC；A%BE交于点P,23贝uPfe.PD勺值为答案274解析如图，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设R3,0),C(3,0),A(0,3 小),E(1

23、,2 小)A则口0,0)所以电水27.9.已知在直角三角形ABC,ZACB=90°,AOBO2,点P是斜边AB上的中点，则Cb十和.CA=.答案4解析由题意可建立如图所示的坐标系，可得A(2,0),R0,2),P(1,1),C(0,0),则CP-CB+CP-CA=CP-(超CA=2柞=4.k1f-10.(2016南东、盐城倜研)如图，在ABC43,AB=AC=3,cos/BAC=-,DC=2BD则AD。BC3的值为.答案2解析AD-BC=(AC>Cd-BC=(AC>3cb-BC=AC>|(Ab-AC)-Bb=4AB+；AC-(Ab-A=-|AB2+1Ab-AC+1|

24、丽2333=-6+1+3=-2.x24.一,11.(2016办锡常镇倜研)在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)=(x>0)的图象x上任意一点，过M点向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别是AB,则MA-MB=.答案22解析设Mxo,y。）为函数f（x）（x>0）的图象上任意一点，由题设知R0,y°），葭。y,x22,X0 X0y0 4苫当），从而Ma=（ys，t）,Mb=（x0,0）,故MAMb=x0"x0y0,因为Mx0,y。）为函x4数f（x）=（x>0）的图象上任息一点，所以xoyo=xo+4,从而有MAMB=x-2.*12.（2016苏北四市调研）已知|Oa=iOb=小,且OA-ob=1,若点C满足|Oafcb=1,则|O（p的取值范围是.答案m-1,#+1解析因为OA-Ob=iO/axiobxcos<oaOb=1,|OA=|Ob=