高考山东理科数学试题及答案解析

1、2015年高考山东理科数学试题及答案解析2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)【2015年山东，理1】已知集合x|x24X3*Bx|2x4,则AB()(A)1,3(B)1,4(C)2,3(D)2,4(2)【2015年山东，理2】若复数z满足白，其中i是虚数单位，则z()(A)1i(B)1i(C)1i(D)1i(3)【2015年山东，理3】要得到函数ysin(4x?的图象，只3需将函数ysin4x的图像()(A)向左平移五个单位(B)向右平移丘个单位(C)向

2、左平移个单位(D)向右平移工个单位33(4)【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a,ABC60,贝(J晒？?)(A)2a2(B)3a2(D)2a2(5)【2015年山东，理5】不等式ix1|ix5|2的解集是(A) ( ,4)(B) ( ,1)(C) (1,4)15(D)(1,5)xy0(6)【2015年山东，理6】已知x,y满足约束条件xy2若zaxyy0的最大值为4,则。()(C) -2(A)3(D)3/吟(7)【2015年山东，理7】在梯形ABCD中，ABCADBC2AD2AB2,，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A) g(8) 43

3、3(C)53(8)(D)【2015年山东，理28已知某批零件的长度误差位:米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件(单苴(D)(9)长度误差落在区间3,6内的概率为(变量服从正态分布N( , 2),则P(P( 22 ) 95.44%)(A) 4.56%(B) 13.59%31.74%)(附:若随机.26% ,)27.18%【2015年山东，理9 一条光线从点(2, 3)射出，经反射与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在的直线的斜率为(a)5或 5(B)(或：(D) 4或(或(10)【2015年山东,理10】设函数f(x):X 1,x 1,则满足 f(f(a) 2f2 , x 1.

4、的取值范围是(A)3，13(D) 1,)(B) 0,1(C)。)3第II卷(共100分):、填空题：本大题共5小题，每小题5分(11)【2015年山东，理11】观察下列各式:c0C30 c； c；40；4；C242;C C343;照此规律当 n N*C2n1C2n 1C2n(12【2015年山东，理12若“x 0,-,tan/4是真命题，则实数m的最小值为(13【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为un”的»=1,T=1(14)【2015年山东，理14】已知函数f(x)axb(a0,a1)的定义域和值域都是1，明则ab(15)【2015年山东，理15】平面直角坐

5、标系xoy中，双曲线c4, a bO,A,B ,若为1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率:、解答题：本大题共6题，共75分.(16：f(x) sinxcosx cos2(x )(I)求f(x)的单调区间;)【2015年山东，理16(本小题满分12分)设(n)在锐角ABC中)角A,B,C的对边分别为a,b,0,a1,求ABC面积.AB 2DE,G,H分别为AC,BC的中点B求平面FGH与（17）【2015年山东，理17（本小题满分12分）如图）在三棱台DEFABC中）(I)求证：BD/平面FGH；(n)若CF平面ABC,ABBC,

6、CFDE,BAC45,平面ACFD所成角（锐角）的大小.(18)【2015年山东，理18(本小题满分12分)设数列嗝的前n项和为Sn,已知203n3.(I)求数列哺的通项公式；(II)若数列bn满足anbnlog3%,求数列的前门项和1(19)【2015年山东，理19(本小题满分12分)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被1

7、0整除，得-1分；若能被10整除，得1分.(I)写出所有个位数字是5的三位递增数”；(n)若甲参加活动，求甲得分x的分布列和数学期望EX.(20)【2015年山东，理20(本小题满分13分)平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：£51(ab0)的离心率为ab号,左、右焦点分别是42,以Fi为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.(I)求椭圆C的方程；(n)设椭圆e：三*1)p为椭圆c上的任意一点)过4a4b点P的直线ykxm交椭圆E于A,B两点)射线po交椭圆E于点Q.(i)求端的值；(ii)求abq面积最大值.(21)【2015年山东，理21(本题满

8、分14分)设函数f(x)ln(x1)a(x2x),其中a(I)讨论函数(n)若x0，Rf(x)极值点的个数，并说明理由;f(x)0成立，求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)【2015年山东，理1】已知集合x|x24X30,Bx|2x%则AB()(A)1,3(B)1,4(C)2,3(D)2,4【答案】C【解析】Ax|x24x30x|1x3)AdB(2,3)故选C.(2)【2015年山东，理2】若复数z满足六，其中i是虚数单位，则z(),(A

9、)1i(B)1i(C)1i(D)1i【答案】A【解析】Z(1i)ii2i1i)z1i)故选A.(3)【2015年山东，理3】要得到函数ysin(4xR的图象，只3需将函数ysin4x的图像()(A)向左平移12个单位(B)向右平移石个单位(C)向左平移三个单位(D)向右平移行个单位33【答案】B【解析】ysin4(x不)只需将函数ysin4x的图像向右平移12个单位，故选B.(4)【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a,ABC6。，贝(J?)(A)2a2(B)3a2(D)2a2【答案】D【解析】由菱形ABCD的边长为a,ABC6。可知BAD1806。12。，BDCD(ADAB)(A

10、B)ABADAB2aacos12。a2|a2)故选D.(5)【2015年山东，理5】不等式ix1iix5|2的解集是()(A)(,4)(B)(,1)(C)(1,4)(D)(1,5)【答案】A【解析】当x1时)1x(5x)42成立；当1X5时)x1(5x)2x62)解得x4,则1x4；当x5时)x1(x5)42不成立.综上x4)故选A.xy0(6)【2015年山东，理6】已知x,y满足约束条件xy2若zaxyyo的最大值为4,则，()(A)3(B)2(C)-2(D)-3【答案】B【解析】由Zaxy得yaxz,借助图形可知：当a1,即a1时在xyo时有最大值0,不符合题意；当。a1,即1a0时在x

11、y1时有最大值a14,a3)不满足1a。；当1a0)即0a1时在xy1时有最大值a14,a3)不满足0a1；当a1,即a1时在x2,y0时有最大值2a4,a2)满足a1)故选B.(7)【2015年山东，理71在梯形ABCD中，ABCAD/BC,BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()(A)2r(B)4r(C)5r(D)2【答案】C【解析】V12211215-,故选C.33(8)【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布n(o,32),从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为()(附：若随机变量服从正

12、态分布N(,2),则P()68.26%)P(22)95.44%)(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%【答案】D【解析】P(36)1(95.44%68.26%)13.59%)故选D.(9)【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射与圆(X3)2(y2)21相切，则反射光线所在的直线的斜率为()(A)3或5(B):或|(C)(或5(D)3或：【答案】D【解析】(2,5)关于y轴对称点的坐标为(2,3),设反射光线所在直线为y3k(x2),即kxy2k30)则d13k分31i,|5k5|解得k:或:故选D.：k134，(10)【2015年山东，理

13、10】设函数f(x)；x1,x11,则满足f(f)2«)2,x1.的取值范围是(A)3，1(B) 0,1)f(D) 1, 【答案】 【解析】选C.)C由 f(f(a)2f(a)可知 f(a) 1 ,贝 U ；a 11 或解得3第II卷(共100分):、填空题：本大题共5小题，每小题(11)【2015年山东，理11】观察下列各式:C10C30C50C7040;4;C242;C； C343;照此规律Cn 1c2n 1 ( 【答书 【解析】4n 1C2n 1 C212(C0n11(C°(C2n 12Cc22n 110C2n 1C2n 12 QC212n 12n 1)(C2n1C2

14、n 1C；n12) (Cn2 2n2c2n 12n 3C2n 12c2n 1pn 1nC2n 1C2nc") i2 12n(12)【2015 年山东，理 12若 “x 0,-,tan命题，则实数m的最小值为n 1 、2c2n 1 )Cnn 1)4n 1m”是真【答案】1【解析 Qjanx m”是真命题，则m tan- 1,于是实数m的最小值为1.蒋姐1 k(13)【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为【答案】11628【解析】T10xdx0x2dx71I.236(14)【2015年山东，理14】已知函数f(x)axb(a0,a1)的定义域和值域都是1,0,则ab

15、.11【解析】当a1时a0b1,无解；当0a1时ab0,解得ab0ab17b2,a2,贝！1ab222.(15)【2015年山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线C,W1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点abO,A,B)若0AB的垂心为C2的焦点)则Ci的离心率为.【答案】2x2y2b2pb2pb22pb2pb2l用牛忻1Ci：三1(a0,b0)日勺渐近线为y-x则A(上,-),B(上,三)aba7aaaa22pb卫C2：x22py(p0)的焦点F(01),则kAF2即5，2'2pbba4'a222_cab9c3-paa4)a2,三、解答题：本大

16、题共6题，共75分.(16)【2015年山东，理16(本小题满分12分)设2,、f(x)sinxcosxcos(x).(I)求f(x)的单调区间;(n)在锐角 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c)若f(A) 0,a 求解：(I )由ABC面积.11f(x) -sin2x -1 cos(2x1)sin2x221 sin2x sin2x由 2k 2x 2k ,k Z 彳导 kx k - ,k Z 44,则f（x）的递增区间为k-,k-,kZ；44由2k-2x2k二,kZ得k-xk,kZ.2244)则f（x）的递增区间为k-,k，,kZ.44n)在锐角abc中)“9sinA10,sinA2

17、)a-?Wa1,由余弦定理可得ib2c22bccos-2bc.3bc(23)bc)当且仅当c时等号成立，即bc会2禽，S ABC111-bcsin A - bcsin - - bc226 4守故ABC面积的最大值为2/ .4（17）【2015年山东，理17（本小题满分分）如图）在三棱台DEF abc中）AB 2DE,G,H分别为AC,BC的中点.（I ）求证：BD/平面FGH ；(II ) 若 CF 平面 ABC,AB BC,CF DE, BAC 45,求平面 FGH 与平面ACFD所成角（锐角）的大小.解：（I ）证明：连接DG）DC）设DC与GF交于点T,在三棱台 DEF ABC 中）AB

18、 2DE）贝AC 2DF ） 而G是AC的中点）DFIAC）则DF&GC） 所以四边形DGCF是平行四边形，T是 DC的中点）DG FC .又在BDC）是BC的中点）则THIDB）又BD 平面FGH , TH 平面FGH , 故BD/平面FGH .（II ）由 CF 平面 ABC）可得 DG 平面 ABC 而）AB BC）BAC 45）则GBAC,于是GB,GAGC两两垂直）以点G为坐标原GA,GB,GC所在的直线）分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AB2,则DECF1,AC2"AG”，B（0,廊,c）F（衣。”鸟，仔，则平面ACFD的一个法向量为不（0,1,0）设平面

19、FGH的法向量为n2(X2,y2,z2)则n2GH0,即7n2GF022cx2V222Z2取X21,则y212凡n2（1,1,向）cos6同,1*3-）故平面FGH与平面ACFD1122角）的大小为60.(18)anSnSn所成角（锐【2015年山东，理18（本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn,已知2s3n3.（I）求数列an的通项公式；（n）若数列bn满足anbnlog3%,求数列3的前nI项和(I11(3n3)1(3n22而43)由3)3n1(n2Sn3n3可12(33)3、则2)，3,n3nn1,n1n)由anbn10g3an及a3,nn13,n1,可得bn10g3an13n1

20、尹Tn32111111n1111111n1Tn-FF-T3-nT一-2(2731)-333333333333333113n 133n3n13 2n 1183n132n1工1243n1(19)【2015年山东，理19(本小题满分12分)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为三位递增数”(如137359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的三位递增数的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.(I )写出所有

21、个位数字是5的(n)若甲参加活动,求甲得分三位递增数”；X的分布列和数学期I) 125, 135, 145,235, 245,345;1 . P(X 0)X0-112111P31442甲得分X的分布列为:n)x的所-3C3-,p(x1)C3-,p(xC33C；14有取值为-1c4c4c42111)-T42EX023工1411(1)142421,(20)【2015年山东，理20(本小题满分13分)平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：£E1(ab0)的离心率为ab左、右焦点分别是Fi，F2,以Fl为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.(I)求椭圆c的方

22、程；(n)设椭圆E：11,P为椭圆C上的任意一点，过4a4b71点P的直线ykxm交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)求器的值；(ii)求abq面积最大值.解:(I)由椭圆C：x21(ab0)的离心率为当可知e，彖而ab2a27a2b2c2则a2b,cJ3b5左、右焦点分别是Fi(施回椀,。)，圆Fi：(xV3b)2y29,圆F2：(x73b)2y21,由两圆相交可得22麻4,即173b2,交点(看，局2)在椭圆C上，1(-2<3b)2,则入T%整理得4b4时10,解得b21,b24(舍去)，故b21,a24,椭圆C的方程为9/1.(n)(i)椭圆e的方程为F1)设点P(

23、x0,y0),满足二y。21,1644，射线po： y% x(xx0 0) % ,代人卷？1可得点Q(2%,2y0),于是|OQ|J(21)2(2y0)22ioPi辰y()点Q(2x0,2y0)到直线AB距离等于原点。到直线AB距离的3倍：IAB|Jik24k216(16k2dI2kx02y0m|k23|m|1k2y2x16y21)得x24(kxm)216)丁整理得(14k2)x28kmx64k2m216(4k21)(m24)4m2)c1S1|AB|d222m216k26厂2(4k21)号成立.而直线y312mkx4m1616(16k24m2)0Iml4k2124j16k24m26|m|16k

24、14k,当且仅当|m|16k24m2,m28kykx2x4ym4有解,HPx24(kxm)14k2则上述m2函数,于是当1值为12.(21)【2015年山东,f(x)ln(x1)a(x2x),其中(I)讨论函数(n)若解：(i)m与椭圆C：142、24,(14k)x8kmx一22一164km16(18k22不成立,(0,1)则S4k21有交点4m24224k)(mo有解,一221)16(14km)等号不成立,6|m|J6k214k4-6，(4t)t在(0,1为增m2时Smax6441)16/3,故ABQ面积最大21(本题满分14分)设函数Rf(x)极值点的个数，并说明理由;f(x)0成立，求a

25、的取值范围._2f(x)ln(x1)a(x,1f(x)a(2x1)x1当a0时)g(x)x)定义域为(1,)_2a(2x1)(x1)12axax1a1,f(x),设g(x)2ax2ax1a,0)函数f(x)在(1,)为增函数,无极值点.当a0时aa28a(1a)9a28a)若0a8时不g(x)0,f(x)0,函数f(x)在(1,)为增函数,若a8时。，设g(x)0的两个不相等的实数根XX1X2,X ( 1,Xi)X1X22)而 g( 1) 1 0)贝U 1X11X24,g(X) 0, f (X) 0,f(X)单调递增；当 X (Xi,X2),g(X) 0, f (x) 0, f (x) 单 )

26、,g(X) 0,f (X) 0,f (x)单调递增.X ( 1,X2)因此此时函数当 a 0 时 0 ,g(x) 0, f (x) 0,f(x)单调f(x)有两个极值点；)但 g( 1) 1 0)Xi1有一人递增；当X (X2, 极值点.综上可知当0),g(x) 0,f(x) 0,f(x)单调递减)所以函数只-个极值点;当a 8时,8时f(X)的无极值点；当 f(X)的有两个a 0时f(x)有极值点.)由(I)可知当则当 当9 则当(0,)时)1 时,g(0)(0,)时)f(x)0,X2f(X)8时f(x)在(0,)单调递增,而0,符合题意；0)f(x)在(0,)单调递增)而0,符合题意；f(

27、0) 0 )f(0) 0 )当a1时)g(0)0泾0)所以函数f(X)在(0冬)单调递减,而f(0)0)则当x(。时，f(x)0,不符合题意;当a0时，设h(x)xln(x1)当x(0,)时h(x)1，0,x11xx (0,)时 h(x) h(0) 0,ln(x 1) 0)x 1 -时 ax2(1 a)x 0a)另解：(I)f (x)f(x) ln(x 1) a(x2 x)定义域为(1,)1占 a(2x 1)a(2x 1)(x 1) 1 2ax2 ax 1 a当 a 0 时)f (x) 极值点.x 1'函数f(x)在(1,)为增函数)无h(x)在(0,)单调递增，因此当于是f(x)xa(x2x)ax2(1a)x)当此时f(x)0,不符合题意.综上所述，a的取值范围是a2 8a(1 a) 9a2 8a ,设g(x)2ax2ax1a,g(1)1,g(x) 0 的当a0时，根据二次函数的图像和性质可知根的个数就是函数f(x)极值点的个数.8 时,g(x) 0 , f (x) 0 函数在(1,)为即a 8或a 0)而当a 0时g( 1) 00在(1,)只有一个实数根，此时函数若a(9a8)0)增函数，无极值点.若a(9a8)0)此J时方程g(x)f(x)只有一个极值点；当a9时方程g(x)0在(1,)都有两个不相等的实数根，此时函数f(x)有两个极值点；综上