第9讲 数学中蕴涵的美学思想

1、第一节第一节 数学美的涵义数学美的涵义第二节第二节 数学美的特征数学美的特征一、数学家论数学美一、数学家论数学美二、数学美的涵义二、数学美的涵义 一、一、 简单美简单美 二、二、 对称美对称美三、和谐美三、和谐美四、奇异美四、奇异美第三节第三节 让学生感受数学美让学生感受数学美 第四节第四节 数学美在中国的源头数学美在中国的源头 一、美观一、美观-外在的美外在的美二、美好二、美好-内在的美内在的美三、美妙三、美妙-快乐的美快乐的美四、完美四、完美- 至善至美至善至美一、太极八卦一、太极八卦-中国象数学的美中国象数学的美二、河图洛书二、河图洛书数学形式美的雏形数学形式美的雏形一、数学家论数学美一

2、、数学家论数学美 古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus)断言：“哪里有数，哪里就有美。” 古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐-这就是美。” 庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。” 克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生

3、活，但数学能给予以上的一切。” 高 斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我研究的主要动力。” 数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。它是自然美的客观反映，是科学美的核心。 二、数学美的涵义二、数学美的涵义 一、一、 简单美简单美 简单是指数学语言、符号、方法、逻辑结构和理论体系的简单。 1. 符号简单符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简单的符号去表现复杂的数学内容。例如，微积分学中的常用符号：,dxdylim,又如，哈密顿微分算子符号zkyjxikzujyuixuu

4、 grad u 向量场函数v v = v1i i + v2j j + v3k k, (vi是x,y,z的函数) v = ( v = ( )(v1i i + v2j j + v3k k) zkyjxi数量场函数u u(x,y,z)时，产生梯度)(321zvyvxv321vvvzyxkji拉普拉斯方程:0222222zuyuxu若用哈密顿算子表示，也十分漂亮、利落: u uu = u = 0在线性方程组mnmn22m11m2nn22221211nn1212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaAnxxxX21m21bbbB表示为 AX

5、 = B在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号.37) 1712132(x用今天的符号表示即：宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究，当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式 412x2x +136其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”。16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用 xxx9xx +26240表示方程 x39x2 +2624 = 0 这个演变过程就是对简单美的追求过程。 如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数学符号却能精确地表示它们。590

6、457182818284.2)11 (limnnne有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊字母来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无理常数欧拉常数2. 形式简单形式简单 艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出了一个公式 审美度=即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比，与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数学的表现形式越简单

7、就越美。复杂性秩序格林公式cDdxdyQPyxQdyPdx斯托克斯公式 dSRQPzyxsinsinsinRdzQdyPdxcS空间解析几何中 1)()()( 球222czbyax椭 球 1czbyax222222椭圆抛物面 2222byaxz它们不仅便于记忆，而且具有形式美。 3. 语言简单数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。 如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”； “角、边、角”；“边、角、边” 等 。数列极限 aaNnNNaannn, 0lim函数极限 A)x(fXx:x, 0X, 0A)x(flimxx)a(f)xa(flim)a(f0 x导数概念 4. 方法简单 数学

8、中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式，并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。 例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值法)与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们都有一个共同的不足 ，就是不能判别当极限值时级数的敛散性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。1l1nna比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法 raannnn)1(lim1设 则 当 r1时，级数 收敛； 当 r0时, 级数 收敛; 当k0时，级数 发散。 1nna1nna事实上，当nCn时，库麦尔判别法即为拉贝判别法。拉格朗日型余项简单整齐，易于记忆，使用方便

9、。从审美度而言拉格朗日型余项是最美的，因此受到人们的青睐。 然而，人们在应用泰勒公式时，最习惯使用的还是拉格朗日型余项1n0)1n(n)xx()!1n()(f)x(R 其中 在x与x0 之间。 又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项，整体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)罗赫(Roche)余项，柯西余项和拉格朗日余项等。 在整体性余项中，后两种余项仅是前一种余项的特例。因而，从整体性考虑，前一种余项更完美。 对称是指图形或数式的对称，概念、命题、法则或结构的对偶、对应、对逆等。1. 形式对称 解析几何中的标准图形 代数中的二项式定理： n1n1nnnbnabbnaa)b

10、a (对称行列式: 10101对称矩阵 ：742451213微积分中空间曲线L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切线方程 )t (zzz)t (yyy)t (xxx000000空间曲面S ：F(x, y, z) = 0的法线方程 )z,y,x(Fxx000 x0)z,y,x(Fyy000y0)z ,y,x (Fzz000z0=导数的运算法则 vu)vu(vuvu)uv(2. 关系对称 运算的对称：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等； 概念的对称：函数与反函数、奇与偶、单增与单减、连续与间断、收级与发散等； 命题的对称：;),()(,

11、0)(),() 1 (上严格单增在则有baxfxfbax上在则有),()(, 0)(),() 2(baxfxfbax严格单减。 “共轭”关系对称性： 共轭无理数 ; cbacba 共轭矩阵 ;)(nmijaAnmij)a (A共轭积分;sin)(xdxxfxdxcos)x(f“对偶”关系对称性： 集合中的对偶关系 )CA()BA()CB(ABABABABA线性规划中的对偶关系 线性规划问题： . 0 x, bAx) t , s (,cxymin)v(约束条件目标函数(*) 对偶规划问题： . 0y, cyA) t , s (,ybzmax)v(约束条件目标函数(*) 由对偶定理知，若线性规划问

12、题(*)有最优解，则其对偶规划问题(*)也有最优解, 且两问题的目标函数最优值相等。反之也成立。3. 对称美方法的运用 对称美方法是数学中的锐利武器, 数学家们利用它揭示和发现了很多数学中的奥秘，其中最典型的有麦克斯韦方程、笛沙格定理和伽罗瓦群等，它被著名数学家狄拉克(Dirac)称为“自然科学时代新方法的精华”。 下面仅以求积分为例，来说明它的妙用。(1) 利用积分区间的对称性 利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性，简化定积分的计算，是积分运算中最常用的一种方法。 若积分区间不关于原点对称，或积分区间虽然关于原点对称，但被积函数是非奇非偶函数，有时通过适当的换元或拆项等方法也可转化

13、为对称区间上的积分问题。例1 求 ( n为自然数)。0dxxsinnx2sin令, 则可将积分化为对称区间。 t2xdxtntndxxnx220cos)2sin(sin2sin22cos2sincosdttntn2210cos2sin) 1(dttntn(2) 利用函数图象的对称性 借助积分中函数图象的对称性，获得简捷的解题途径，这是对称美方法的又一妙用。 例2 设C为对称于坐标轴的平面光滑闭曲线，证明cy3y30dy)y2xexy(dx)eyx( 易知积分与路径无关。 设D为曲线C围成的平面闭区域, 则由格林公式cyydyyxexydxeyx)2()(33DDDdxdyxdxdyydxdyx

14、y,)(3333因为积分域D关于x轴对称，又y3 是奇函数，; 03Ddxdyy同理，所以D30dxdyx(3) 利用轮换对称性 根据研究问题中解析式结构的对称性，由一个结论迅速地得出相似结论，这不仅能缩减冗长繁琐的计算或证明过程，而且给人以对称美的享受。例3 计算 Szdxdyydzdxxdydz 椭球的外表面。 1:222222czbyaxS作广义极坐标变换 , 则 sinbry,cosarx2010212drrrdcabSzdxdyD2222byax1dxdyc2) 1:(2222byaxDcab4用轮换对称法，即得 Sxdydz;4abcSydzdxbac4 于是 Szdxdyydzd

15、xxdydz)(4cabbcaabc(4) 挖掘潜在的对称关系 有的问题从表面上看，似乎与对称无关。 但如果仔细分析，寻找潜在的对称关系，从而将问题转化为对称问题，就能很快找到突破口, 使问题迎刃而解。例4 计算 202)tgx(1dx若直接 令, 则会导致错误结论。 tgxt 因为 f(x) = 在0, 上的原函数不是初等函数， 2)tgx(112所以不能用一般定积分的方法来计算。 于是寻找有无对称点, 容易发现 1)x2(f)x(f即在区间0, 上横坐标关于 的任意两个对称点x与 相应的函数值关于 也对称， 24x221故 202)tgx(1dx4024)()(dxxfdxxf404040

16、41)(1 ()(dxdxxfdxxf(5) 构造对称关系 有些数学问题，原来并不具有对称性，在解题过程中，如果善于根据问题的特点，构造出某种对称关系，便能使问题很快得到解决。例5 计算D22dxdy)yx(yf1 x其中D为 y = 1, x = 1所围成的区域, f是一连续函数。 ,xy3积分区域不具有对称性，作曲线, 将D分成D1, D2两部分, 3xy于是D1与D2 分别关于y轴和x轴对称。 又因为是x或y的奇函数, 所以)yx(xyf22D22dxdy)yx(xyf21DD102233)(yydxyxxyfdy012233)(xxdyyxxyfdx=0 从上述解题过程中都放射出对称美

17、思想的光芒，正如德国数学家外尔(Weyl)所说：“美和对称紧密相关”。 数学中的和谐美是指数学内容与内容之间、内容与形式之间、部分与整体之间存在着内在的联系或共同规律，从而形成本质上的严谨与统一。和谐指事物之间具有匀称、有序、明确的变化规律。 1. 严谨是和谐的基础 数学的严谨自然显现出它的和谐。为了追求严谨，消除数学中的不和谐因素，数学家们一直在努力。数学史上所谓的“数学危机”正是某些数学理论不和谐所致。 第一次危机-无理数的诞生。 第二次危机-实数理论得以建立, 导致集合论的诞生。第三次数学危机-“罗素悖论”和其它悖论的产生，为了避免悖论，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一种公理

18、系统，后经弗兰克尔(Fraenkel)在1921年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。函数的连续性，是当今数学中的一个重要基本概念，然而它的现代定义的形成，也经历了一个从不和谐到和谐的漫长过程。 18世纪，数学家欧拉认为，由一个单独表达式给出的函数是连续的，而由几个表达式给出的函数是不连续的。例如, 欧拉函数. 0 xx, 0 xx)x( f是不连续的，而由两个分支组成的双曲线(反比例函数)，因为它是由一个表达式 给出的，就认为它是连续的。x1y 19世纪，傅立叶证明：定义在某个区间上的任意函数可表示成该区间上的正弦与余弦的无穷级数。 比如，.x01, 0 x0,

19、 0 x1)x(f可表示为)5x5sin3x3sin1xsin(4)x(f),(x 这样一来，上述函数依照欧拉的见解既不是连续的，同时又是连续的。 1821年，柯西对“连续”概念重新叙述，直至1850年魏尔斯特拉斯给出“”形式的定义，才使得“连续”这一概念有了新的解释。2. 统一是和谐的标志 统一是指数学中内容与内容之间、内容与形式之间、章节与章节之间客观存在的相互联系。 解析几何中, 引入极坐标之后，椭圆、双曲线、抛物线统一于公式cose1ep平面上的二次曲线方程0FEyDxCyBxyAx22 由于系数A, B, C, , F不同，其形态万千，但是欧拉通过坐标变换，将它们化为下面九种标准形状

20、:; 1) 4(2222byax (双曲线) ; 0) 3 (2222byax (两虚直线相交) ; 1)2(2222byax(虚椭圆) ; 1) 1 (2222byax (椭圆) .0)9(2x(两重合直线) ;0)8(22ax (两平行虚直线) ;02)7(2 pxy (两平行直线) ;02)6(2 pxy (抛物线) ;0)5(2222byax (两相交直线) 在积分学中，不定积分与定积分是两个切然不同的概念，但在微积分基本公式ba)a (F)b(Fdx)x(f之中得到和谐统一, 从而极大地推动了微积分的应用与发展。 定积分、重积分、曲线积分和曲面积分，它们表述的实际意义各不相同，但却都

21、统一于黎曼积分之中。 各类积分之间都有着内在联系 ：二重积分 三重积分型曲线积分 型曲面积分 型曲线积分 型曲面积分定积分 奇异指数学中的方法、结论或有关发展出乎意料，使人既惊奇又赞赏与折服。 徐利治先生说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。” 在数学史上曾吸引人们广泛关注的有“蝴蝶定理”。 1815年，数学家奥纳首先解决了这个问题的证明。但由于它优美的外形及包含的深刻内涵，引起了人们广泛的兴趣，100多年来研究者众多，给出了不少初等与高等的证明，其中被公认为最奇妙的证明是1973年由斯特温等人给出的。 证明：由图所示，圆内共有四对相等的角 。 ,设 PM = x , MQ = y, AM

22、 = MB = a, 则有 1SSSSSSSSCMPQMDQMDPFMPFMQEMQEMCMP1sinCMPMsinDMMQsinDQDMsinFMFPsinPMFMsinMQEMsinEQEMsinCPCM化简得 22)PM(DQEQ)MQ(FPCP由相交弦定理知 ,xa) xa)(xa (PBAPFPCP22,ya)ya)(ya (QBAQDQEQ22故有 .)()(222222xyayxa因x, y都大于0, 上式仅在x = y, 即PM = MQ时成立。 上述证明中没有添加任何辅助线，证明过程简明、匀称，好优美漂亮！ 高等数学中这种“离经叛道”的奇异现象，随处可见。 比如，人们长期以为

23、，周期函数一定存在最小正周期, 然而狄利克雷函数.0;1)(为无理数为有理数xxxD是周期函数，但不存在最小正周期。 实数轴上的有理点与无理点都是处处稠密的，然而无理点却比有理点多得多。 洛比达(LHospital)法则是求未定式极限的锐利武器, 但它对极限xxxxneeeelim却无能为力。 在不定积分中，有些看上去非常简单的函数，却“积”不出来： ;sindxxx;13xdx;dxxex.2dxex在欧拉公式 xsinixcoseix代入 , 得 x01ei真叫人拍案叫绝, 人们把这5个常数戏称为数学中的“五朵金花”。 对于n!, 人们长期认为除了表示1, 2, 3 , , n这n个连续自

24、然数的乘积外，再没有别的意义。但在微积分中根据嘎玛函数( )的递推性质, 可以得到n! 的分析表达式 0!dxexnxn这确实令人震惊而又感到数学魅力无穷。 第二型曲面积分是在双侧曲面上进行的。 那么，单侧曲面又是什么样子呢？ 如果把一条长的矩形纸带扭转180o 后，再把两端粘起来，这就成了仅有一个侧面的曲面, 它通常叫做莫比乌斯带，它是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的。 莫比乌斯带有许多有趣的性质，比如用不同方式去剪开它，可有不同的结果： 如果沿着纸带中线剪开，它仍是一条莫比乌斯带, 只是长度增加了一倍； 若沿纸带宽 处剪开，它却成了一个 扭了两圈的长莫比乌斯带套上一个小莫比乌斯带。 3

25、1 两位美国学者在研究莫比乌斯带制作时提出过一个问题：在保证不摺折纸条的前提下，能做成功莫比乌斯带的纸条的最短长度是多少？ 问题看上去似乎很简单，然而回答起来却是如此困难。两位美国人的估计是：若纸条宽是1, 则能做成莫比乌斯带的最小长度在 之间。 32到从图看出，只要 , 做成功是没有问题的。 3l 但它并不是的最小估计, 这个最小估计至今仍然是一个未解之“谜”。 有趣的是，这个在数学史上完全由数学家构想出来的东西，竟进入了有机化学领域。美国科罗拉多大学化学系的沃尔巴、理查兹和霍尔提万格，在实验室第一次合成了形状和莫比乌斯带一样的莫比乌斯分子, 他们制造莫比乌斯分子的方法同制作莫比乌斯带的方法

26、极其相似。 数学中的奇异现象还有另一种涵义，当人们没有认清它而做出错误的判断、结论或给出不尽完美的方法时，将会出现一些“反例”。 后来又有人发现，存在着黎曼可积而又具有无穷多个间断点的函数。连续函数是微积分学的主要研究对象, 起初，数学家们以为“连续函数至少在某点处可微”, 然而魏尔斯特拉斯却找到了一个“处处连续但处处不可微”的例子。 如何在数学教学过程中展现数学美，让学生在数学学习中能够感受和欣赏数学美，张奠宙教授认为，数学教学中的美学教育有以下4个层次： 美观、美好、美妙、完美。 这主要是数学对象以形式上的对称、和谐、简洁，给人的感官带来美丽、漂亮的感受。 几何学常常带给人们直观的美学形象

27、 2000年，在东京召开的国际数学教育大会上，日本教师一堂公开课的题目: 在一块矩形场地上筑一花坛，使其面积为场地的一半，要求设计美观。 美国教师要求学生用二次曲线画“米老鼠”或其它画作，发挥学生用几何曲线(写出方程)进行美术创作的想象力。 上海进才中学教研组，他们在进行立体几何教学时，要求学生以“柱体”、“台体”、“锥体”、“球体”、“圆柱”、“圆锥”等3维几何图形，制作一座运动会的奖杯，并要求学生写出每个部件的方程式。 数学上的许多东西，只有认识到它的正确性，才能感觉其“美好”。 “美观”的数学对象, 也必须进到“美好”的层次。 “圆”从结构上看是极其美观的。从性质上看它也十分美好。任何圆

28、的周长与直径之比总是一个常数。既非有理数又非代数数，是超越数。这种内在的数学价值，展现了“圆”的魅力，引无数英雄尽折腰。从祖冲之的计算到今天用计算机算到60亿位小数，对它的研究尚未完结。 不美观的数学对象是很多的。一个突出的例子是一元二次方程的求根公式： a2ac4bbx22, 1这一公式无论从哪方面看都不对称、不和谐、不美观。 但是，当我们了解它、运用它，就会感到它的价值，它的“内秀”。这一公式会告诉我们许多信息：“士”表示它有2个根；“a0, =b2一4ac”会显示根的数目及方程的性质, 所以，当你和它熟悉了，就会觉得它形式上虽难看，本质却是美好的。正如巴黎圣母院中的卡西摩多，外表丑陋而内

29、心美好。 教师要给学生一些创新、探究、以至发现的机会，体验发现真理的快乐。 美妙的感觉需要培养,例如，三角形的3条高、3条中线、3条内角平分线都交于一点, 这是很美丽、十分美好，同时令人惊奇的结论。发现它会使人觉得数学妙不可言，特别是几何学妙极了。那么在教学时，先不告诉学生结果, 让学生自己亲手作图，让学生自己发现这些一下子看不出来的“真理”。可以想见，学生自己发现一个数学真理该会是何等的惊喜。一旦体会到数学的“美妙”, 对数学产生由衷的兴趣，也就是顺理成章的事了。 每个喜欢数字的人，都曾感受到那样的时刻：一条辅助线使无从着手的几何题豁然开朗，一个技巧使百思不得其解的不等式证明得以通过， 一个

30、特定的“关系一映射一反演”方法使原不相干的问题得以解决, 这时的快乐与兴奋真是难以形容，也许只有用一个“妙”字加以概括。 这种美妙的意境，会使人感到天地造化数学之巧妙, 数学家创造数字之深邃，数学学习领悟之欢快。达到这一步，学生才算真正感受到数学美的真谛，被数学所吸引，喜欢数学，热爱数学。 数学总是尽力做到至善至美、完美无缺, 这也许是数学的最高“品质”和最高的精神“境界”。 数学家通过300余年的努力来证明费马定理，陈景润对歌德巴赫猜想的苦苦追求, 都是追求数学“完美”的典型事例。 二次曲线标准方程，既有圆锥曲线的优美，又有数形结合的风采; 既有启迪二次型的数学底蕴，更有描摹天体运动的功能,

31、 确实是一件完美的科学杰作。 数学的美学风格，和艺术风格是一脉相承的。徐利治先生早就把数学概念和诗的意境相结合, 如借“孤帆远影碧空尽”来描述极限，更是一种高品位的美学欣赏。爱舍儿的数学画，显示出浓厚的哲学意味，而奇异的数学分形艺术则是20世纪计算机技术的产物。 欣赏数学艺术，如何在课堂教学中发掘数学的艺术魅力，在我国还没有得到应有重视，特别是当前数学教学中某种过度形式化的趋向，往往掩盖了数学的美丽色彩，遮蔽了数学文化光芒，以至丧失了数学教学的美育功能。 把数学美的展示真正落实到课堂上，还有许多工作要做。 数学作为一门有组织的、独立的、理性的学科来说，形成于公元前6世纪至公元前3世纪的古希腊时

32、代。 早期的一些古代文明国家，如中国、埃及、印度和巴比伦等，数学已有了开端和萌芽, 我们称公元前6世纪以前的这个时期的数学为早期数学，而人类在早期数学中，就已经发现一种朦胧而神秘的数学美了，这是为考古学家和数学史家的大量发现和研究成果所证明了的。 人类关于数学美的观念，对于数学美的感受、追求、探索以及研究也早在遥远的古代就开始了, 这里介绍数学美在中国的源头。 中国，在古代对于数学美的感受与体验，一直可追溯到公元前11世纪的殷末周初时期。 传说“天神”伏羲氏所创造的太极八卦图，说明我国古代先人对于圆形所呈现的美有着自己独特的认识。 古希腊的毕达哥拉斯之所以认为“一切平面图形中最美的是圆形”，其主要原因是由于圆有着无数条对称轴， 显示出一种绝对的对称与和谐。 中国的太极图表示出了阴与阳的运动性质, 黑色的阴和白色的阳也呈现出一种对称。 但这种对称不是以平直单调的直径作为对称轴，而是以一条S形曲线将大圆均分成两半。 这一奇妙的分割产生许多意想不到的美的效果：它使得这个阴与阳之间的对称不是静止的，而是若即若离、似合非合，彼此渗透、相互补充。 暗示着无休止的强有力的运动，并可通过这个具有动态美的几何图形对事物进行抽象，给出宇宙万物对立