第三章图像增强

1、第第3章章 图像增强图像增强本章重点：本章重点：空间域增强方法空间域增强方法频域增强方法频域增强方法 3.1 概述概述 3.2 空域增强空域增强 3.3 频域增强频域增强 3.4 图像的锐化图像的锐化 3.5 彩色图像增强彩色图像增强 3.6 小结小结 第第3章章 图像增强图像增强3.1概述概述图象增强是通过某种技术有选择地突出对某一具图象增强是通过某种技术有选择地突出对某一具体应用有用的信息，削弱或抑制一些无用的信息。体应用有用的信息，削弱或抑制一些无用的信息。图象增强按增强处理所在空间不同分为空域增强图象增强按增强处理所在空间不同分为空域增强方法和频域增强方法。方法和频域增强方法。空域增强

2、空域增强:直接在图像所在的二维空间进行处理，直接在图像所在的二维空间进行处理，即直接对每一像素的灰度值进行处理即直接对每一像素的灰度值进行处理 。空域增强按技术不同可分为灰度变换和空间滤波。空域增强按技术不同可分为灰度变换和空间滤波。灰度变换灰度变换:基于点操作，将每一个像素的灰度值按基于点操作，将每一个像素的灰度值按照一定的数学变换公式转换为一个新的灰度值。照一定的数学变换公式转换为一个新的灰度值。常用的有常用的有:对比度增强、直方图均衡化等方法。对比度增强、直方图均衡化等方法。空域滤波空域滤波:基于邻域处理，应用某一模板对每个像基于邻域处理，应用某一模板对每个像素及其周围邻域的所有像素进行

3、某种数学运算，素及其周围邻域的所有像素进行某种数学运算，得到该像素的新的灰度值。图像平滑与锐化技术得到该像素的新的灰度值。图像平滑与锐化技术就属于空域滤波。就属于空域滤波。 频域增强频域增强:首先经过傅里叶变换将图像从空间首先经过傅里叶变换将图像从空间域变换到频率域，然后在频率域对频谱进行操作域变换到频率域，然后在频率域对频谱进行操作和处理，再将其反变换到空间域，从而得到增强和处理，再将其反变换到空间域，从而得到增强后的图像。后的图像。 图象增强按所处理的对象不同可分为灰度图像图象增强按所处理的对象不同可分为灰度图像 增强和彩色图像增强增强和彩色图像增强 。图图象象增增强强方方法法总总结结3.

4、2 3.2 空域增强空域增强空域增强是指直接在图像所在的二维空间进行增空域增强是指直接在图像所在的二维空间进行增强处理，即增强构成图像的像素。空间域增强方强处理，即增强构成图像的像素。空间域增强方法主要有灰度变换增强、直方图增强、图像平滑法主要有灰度变换增强、直方图增强、图像平滑和图像锐化等。和图像锐化等。3.2.1灰度变换增强灰度变换增强灰度变换可使图像对比度扩展，图像清晰，特征灰度变换可使图像对比度扩展，图像清晰，特征 明显。它是图像增强的重要手段。明显。它是图像增强的重要手段。灰度变换是一种点处理方法，它将输入图像中每灰度变换是一种点处理方法，它将输入图像中每 个像素个像素(x,y)的灰

5、度值的灰度值g(x,y)，通过映射函数，通过映射函数T()， 变换成输出图像中的灰度变换成输出图像中的灰度g(x, y)，即：，即： g(x,y)=Tf(x,y) 灰度变换可以选择不同的灰度变换函数，如正灰度变换可以选择不同的灰度变换函数，如正 比函数和指数函数等比函数和指数函数等 。常用的灰度变换函数主。常用的灰度变换函数主要有：要有： 1.线性灰度变换。线性灰度变换。 2.分段线性灰度变换。分段线性灰度变换。 3.非线性灰度变换。非线性灰度变换。1.线性灰度变换线性灰度变换将输入图像（原始图像）灰度值的动态范围按线性关系将输入图像（原始图像）灰度值的动态范围按线性关系 公式拉伸扩展至指定范

6、围或整个动态范围。线性拉伸采用公式拉伸扩展至指定范围或整个动态范围。线性拉伸采用 的变换公式一般为的变换公式一般为:g(x,y)=f(x,y).C+R C、R的值由输出图像的灰度值动态范围决定。的值由输出图像的灰度值动态范围决定。假定原始输入图像的灰度取值范围为假定原始输入图像的灰度取值范围为fmin, fmax，输出，输出 图像的灰度取值范围图像的灰度取值范围gmin, gmax，其变换公式为，其变换公式为 一般要求一般要求gmin fmax。minminmaxminmaxmin)(),(),(gggfffyxfyxg 对于对于8位灰度图像则有位灰度图像则有:线性拉伸示意图如下线性拉伸示意图

7、如下: 线性拉伸前线性拉伸前:图象灰度集中在图象灰度集中在a,b之间之间. 线性拉伸后线性拉伸后:图象灰度集中在图象灰度集中在a,b之间之间. 图像灰度变换前后效果对比图图像灰度变换前后效果对比图: 变换前变换前 变换后变换后2.分段线性变换分段线性变换线性拉伸将原始输入图像中的灰度值不加区别地线性拉伸将原始输入图像中的灰度值不加区别地 扩展扩展。在实际应用中在实际应用中,为了突出图像中感兴趣的研究对象，为了突出图像中感兴趣的研究对象，常常要求局部扩展拉伸某一范围的灰度值，或对常常要求局部扩展拉伸某一范围的灰度值，或对不同范围的灰度值进行不同的拉伸处理，即分段不同范围的灰度值进行不同的拉伸处理

8、，即分段线性拉伸。线性拉伸。 分段线性拉伸是仅将某一范围的灰度值进行拉伸，分段线性拉伸是仅将某一范围的灰度值进行拉伸，而其余范围的灰度值实际上被压缩了而其余范围的灰度值实际上被压缩了。常用的几种分段线性拉伸的示意图常用的几种分段线性拉伸的示意图 : 其对应的变换公式如下其对应的变换公式如下:3.非线性变换非线性变换非线性拉伸不是对图像的整个灰度范围进行扩展，非线性拉伸不是对图像的整个灰度范围进行扩展，而是有选择地对某一灰度值范围进行扩展，其他范而是有选择地对某一灰度值范围进行扩展，其他范围的灰度值则有可能被压缩。围的灰度值则有可能被压缩。与分段线性拉伸区别与分段线性拉伸区别: 非线性拉伸不是通

9、过在不同灰度值区间选择不同的非线性拉伸不是通过在不同灰度值区间选择不同的线性方程来实现对不同灰度值区间的扩展与压缩，线性方程来实现对不同灰度值区间的扩展与压缩，而是在整个灰度值范围内采用而是在整个灰度值范围内采用统一统一的非线性变换函的非线性变换函数，利用函数的数学性质实现对不同灰度值区间的数，利用函数的数学性质实现对不同灰度值区间的扩展与压缩。扩展与压缩。常用的两种非线性扩展方法常用的两种非线性扩展方法 :(1)对数扩展对数扩展:基本形式基本形式: g(x,y)=lgf(x,y) .实际应用中一般取自然对数变换，具体形式如下：实际应用中一般取自然对数变换，具体形式如下： g(x,y)=Cln

10、f(x,y)+1 f(x,y)+1是为了避免对零求对数，是为了避免对零求对数，C为尺度比例为尺度比例 系数，用于调节动态范围。系数，用于调节动态范围。 变换函数曲线变换函数曲线 :(2)(2)指数扩展指数扩展: :基本形式基本形式: g(x,y)=bf(x,y) 实际应用中，为了增加变换的动态范围，一般需要实际应用中，为了增加变换的动态范围，一般需要加入一些调制参数。具体形式如下：加入一些调制参数。具体形式如下： g(x,y)=bcf(x,y)-a-1 参数参数a可以改变曲线的起始位置可以改变曲线的起始位置. 参数参数c可以改变曲线的变化速率可以改变曲线的变化速率. 指数扩展可以对图像的高亮度

11、区进行大指数扩展可以对图像的高亮度区进行大幅扩展幅扩展. 3.2.2直方图变换增强直方图变换增强 直方图是多种空间域处理技术的基础。直方图直方图是多种空间域处理技术的基础。直方图操作能有效地用于图像增强。操作能有效地用于图像增强。1.灰度直方图灰度直方图灰度直方图是灰度值的函数，它描述了图像中各灰灰度直方图是灰度值的函数，它描述了图像中各灰度值的像素个数。度值的像素个数。通常用横坐标表示像素的灰度级别，纵坐标表示对通常用横坐标表示像素的灰度级别，纵坐标表示对应的灰度级出现的频率（像素的个数）。频率的计算应的灰度级出现的频率（像素的个数）。频率的计算公式为：公式为： p(r)=nr nr是图像中

12、灰度为是图像中灰度为r的像素数的像素数 。常用的直方图是规格化和离散化的，即纵坐标常用的直方图是规格化和离散化的，即纵坐标用相对值表示。用相对值表示。设图像总像素为设图像总像素为N，某一级灰度像素数为，某一级灰度像素数为nr，则，则直方图表示为：直方图表示为： p(r)= nr /N 原始图象原始图象 对应的直方图对应的直方图灰度直方图反映了一幅图像的灰度分布情况。灰度直方图反映了一幅图像的灰度分布情况。 (a) (b)(a)大多数像素灰度值取在较暗区域，图像肯定较暗大多数像素灰度值取在较暗区域，图像肯定较暗.一般一般 在摄影过程中曝光过强就会造成这种结果。在摄影过程中曝光过强就会造成这种结果

13、。(b)图像的像素灰度值集中在亮区图像的像素灰度值集中在亮区,图像将偏亮图像将偏亮.一般在摄影一般在摄影 中曝光太弱将导致这种结果。中曝光太弱将导致这种结果。 从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。 2.直方图均衡化直方图均衡化通过把原图像的直方图通过变换函数修正为分布比通过把原图像的直方图通过变换函数修正为分布比较均匀的直方图，从而改变图像整体偏暗或整体偏较均匀的直方图，从而改变图像整体偏暗或整体偏亮，灰度层次不丰富的情况，这种技术叫直方图均亮，灰度层次不丰富的情况，这种技术叫直方图均衡化。衡化。直方图均衡化过程解析直方图均衡化过程解析:设设

14、r和和s分别表示原图像灰度级和经直方图均衡化分别表示原图像灰度级和经直方图均衡化 后后的图像灰度级。为便于讨论，对的图像灰度级。为便于讨论，对r和和s进行归一化，进行归一化，使：使：0r，s1. 对于一幅给定的图像，归一化后灰度级分布在对于一幅给定的图像，归一化后灰度级分布在0rl范围范围 内。对内。对0，1区间内的任一个区间内的任一个r值进行如下变值进行如下变换：换： s=T(r) .变换函数变换函数s=T(r)应满足下列条件：应满足下列条件： 在在0r1的区间内的区间内,T(r)单值单调增加。保证图像的单值单调增加。保证图像的灰度级从白到黑的次序不变灰度级从白到黑的次序不变 对于对于0r1

15、,有有0T(r)1。保证映射变换后的像素灰。保证映射变换后的像素灰度值在允许的范围内。度值在允许的范围内。 满足这两个条件的变换函数的一个例子如满足这两个条件的变换函数的一个例子如 : (a)一种灰度变换函数图一种灰度变换函数图 (b) r和和s的变换函数关系的变换函数关系rs11kr kkrTs rs0从从s到到r的反变换用下式表示的反变换用下式表示. r的概率密度为的概率密度为 s的概率密度为可由的概率密度为可由 求出求出 对上述等式求导并积分最终得到对上述等式求导并积分最终得到:该式右边为该式右边为 的累积分布函数。表明当变换函数的累积分布函数。表明当变换函数 为为r的累积分布函数时，能

16、达到直方图均衡化的目的累积分布函数时，能达到直方图均衡化的目的。的。 )(rPr)(rPr rrdrrPrTs0)()( )(rPr离散形式的直方图均衡化离散形式的直方图均衡化:设一幅图像的像元数为设一幅图像的像元数为n，共有，共有l个灰度级，个灰度级，nk代表代表灰度级为灰度级为rk的像元的数目，则第的像元的数目，则第k个灰度级出现的个灰度级出现的概率可表示为：概率可表示为：变换函数变换函数T(r)可改写为可改写为 :均衡化后各像素的灰度值可直接由原图像的直方图均衡化后各像素的灰度值可直接由原图像的直方图算出。算出。 kjjkjjrkknnrPrTs00)()(1,.,1 , 0, 10lk

17、rk1,.,1 , 0, 10,)Pr(lkrnnrkkk3.直方图均衡化的计算步骤及实例直方图均衡化的计算步骤及实例假设假设6464的灰度图像，共的灰度图像，共8个灰度级，其灰度级个灰度级，其灰度级分布见下表，现要求对其进行均衡化处理。分布见下表，现要求对其进行均衡化处理。 原始直方图数据 均衡化后的直方图数据 rk nk nk / n sk nk nk/n r0=0 790 0.19 0 0 0.00 r1=1/7 1023 0.25 s0=1/7 790 0.19 r2=2/7 850 0.21 0 0 0.00 r3=3/7 656 0.16 s1=3/7 1023 0.25 r4=4

18、/7 329 0.08 0 0 0.00 r5=5/7 245 0.06 s2=5/7 850 0.21 r6=6/7 122 0.03 s3=6/7 985 0.24 r7=1 81 0.02 s4=1 448 0.11计算各灰度级的计算各灰度级的 ： 依此类推可计算得：依此类推可计算得：s2=0.65；s3=0.81；s4=0.89； s5=0.95；s6=0.98；s7=1对对 进行舍入处理，由于原图像的灰度级只有进行舍入处理，由于原图像的灰度级只有8级，因此上述各需用级，因此上述各需用1/7为量化单位进行舍入运算，为量化单位进行舍入运算，得到如下结果：得到如下结果：ks00000111

19、010( )( )( )0.19( )( )( )( )4rjrjrjrrjsT rP rP rsT rP rP rP rks 的最终确定，由的最终确定，由 的舍入结果可见，均衡化后的舍入结果可见，均衡化后 的灰度级仅有的灰度级仅有5个级别，分别是：个级别，分别是：s0=1/7， s1=3/7，s2=5/7，s3=6/7，s4=1/7。计算对应每个的像素数目，因为计算对应每个的像素数目，因为r0=0映射到映射到 s0=1/7，所以有，所以有790个像元取个像元取s0这个灰度值；同样这个灰度值；同样 r1映射到映射到s1=3/7，因此有，因此有1023个像素取值个像素取值s

20、13/7; 同理有同理有850个像元取值个像元取值s2=5/7；又因为；又因为r3和和r4都映都映 射到射到s3=6/7，所以有，所以有656+329=985个像素取此灰个像素取此灰 度值，同样有度值，同样有245+122+81=448个像素取个像素取s4l的的 灰度值灰度值。ksks均衡化后的直方图见图均衡化后的直方图见图(c) ,灰度分布比较均匀灰度分布比较均匀,原图象灰度偏原图象灰度偏低。低。 (A)原始直方图原始直方图 (B)转换函数转换函数 (C)均衡化直方图均衡化直方图05.010.015.020.025.07/17/27/31kr krrp2 .04 .06 .08 .00 .1

21、krks7/17/37/57/6105.010.015.020.025.0ks spkA B C直方图均衡化效果示例直方图均衡化效果示例 : (a) (b) (c) (d)( a)和和(b)分别是原始图像和其直方图分别是原始图像和其直方图 ( c)和和(d)分别是均衡化后图像和其直方图分别是均衡化后图像和其直方图4. 直方图规定化直方图规定化直方图均衡化的优点是得到近似均匀分布的直方图。直方图均衡化的优点是得到近似均匀分布的直方图。 但由于变换函数采用累积分布函数，也只能产生近似但由于变换函数采用累积分布函数，也只能产生近似均匀的直方图的结果，这样就会限制它的效能。均匀的直方图的结果，这样就会

22、限制它的效能。 实际应用中，有时需要具有特定直方图的图像，以实际应用中，有时需要具有特定直方图的图像，以便能够有目的地对图像中的某些灰度级分布范围内的便能够有目的地对图像中的某些灰度级分布范围内的图像加以增强。图像加以增强。直方图规定化方法可以按照预先设定的某个形状来直方图规定化方法可以按照预先设定的某个形状来调整图像的直方图。调整图像的直方图。 直方图规定化的思想：直方图规定化的思想：设设 和和 分别表示原始图像和目标图像灰度分布分别表示原始图像和目标图像灰度分布的概率密度函数，直方图规定化就是建立的概率密度函数，直方图规定化就是建立 和和 之间的联系之间的联系 。首先对原始图像进行直方图均

23、衡化处理，即求变换首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即求变换函数：函数： rP( ) rP ( )zzrP( ) rP ( )zzr0()P ()rsTrd 对目标图像用同样的变换函数进行均衡化处理，对目标图像用同样的变换函数进行均衡化处理，即即: 两幅图像做了同样的均衡化处理两幅图像做了同样的均衡化处理,所以所以Ps(s)和和Pu(u)具有同样的均匀密度具有同样的均匀密度 .变换函数的逆过程为变换函数的逆过程为: 从原始图像得到的均匀灰度级从原始图像得到的均匀灰度级s来代替逆过程中的来代替逆过程中的u，结果灰度级就是所要求的概率密度函数，结果灰度级就是所要求的概率密度函数Pz(z) 的灰度

24、级。的灰度级。 0( )P ( )zzuG zd1( )zGu11( )( )zGuGs5. 直方图规定化的计算步骤及实例直方图规定化的计算步骤及实例6464像素图像，灰度级为像素图像，灰度级为8。其直方图如图。其直方图如图(a)所示，所示，(b)是规定是规定的直方图，的直方图，(c)为变换函数，为变换函数，(d)为处理后的结果直方图。原始直方为处理后的结果直方图。原始直方图和规定的直方图的数值分别列于表图和规定的直方图的数值分别列于表3-2和表和表3-3中，经过直方图中，经过直方图均衡化处理后的直方图数值列于表均衡化处理后的直方图数值列于表3-4。 表表3-2 原始直方图数据原始直方图数据

25、表表3-3规定的直方图数据规定的直方图数据 表表3-4 均衡化处理后的直方图数据均衡化处理后的直方图数据具体计算步骤具体计算步骤:(1) 对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数列于表对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数列于表3-4的栏目内。的栏目内。(2) 利用式利用式 计算变换函数。计算变换函数。0()()kkkzjiuGzPz00000111010222012033301230( )( )( )0.00( )( )( )( )0.00( )( )( )( )( )0.00( )( )( )( )( )( )0.15zjzjzjzzjzjzzzjzjzzzzjuG zP zP zuG zP

26、 zP zP zuG zP zP zP zP zuG zP zP zP zP zP z4440555066607770()()0.35()()0.65()()0.85()()1zjjzjjzjjzjjuG zPzuG zPzuG zPzuG zPz(3)用直方图均衡化中用直方图均衡化中 的进行的进行G的反变换，求的反变换，求 找出找出 与与 的最接近值，例如的最接近值，例如s0=1/70.14,与与它最接近的是它最接近的是G(z3)=0.15，所以可写成。用这种，所以可写成。用这种方法可得到下列变换值：方法可得到下列变换值：ks1()kkzGsks()kG z03142536471334777

27、75566777711szszszszsz (4)用用 找出找出r与与z 的映射关系。根据这些映射的映射关系。根据这些映射重新分配像素灰度级，并用重新分配像素灰度级，并用n=4096去除，可得到去除，可得到对原始图像直方图规定化增强的最终结果。对原始图像直方图规定化增强的最终结果。1 ( )z G T r14253646576777142577773646777756117711rzrzrzrzrzrzrz 图图3-11 直方图规定化处理方法直方图规定化处理方法05. 010. 015. 020. 025. 07/17/27/31kr krrp a30. 005. 010. 015. 020.

28、 025. 07/17/27/31kz krzp d05. 010. 015. 020. 025. 07/17/27/31kzkrzp b30. 020. 040. 060. 080. 000. 17/17/27/31kzkr c3.2.3 空间平滑滤波增强空间平滑滤波增强 空域平滑滤波器的设计比较简单，常用的有邻空域平滑滤波器的设计比较简单，常用的有邻域均值法和中值滤波法，前者是线性的，后者则是域均值法和中值滤波法，前者是线性的，后者则是非线性的非线性的。1. 邻域平均法邻域平均法 假设图像由许多灰度恒定的小块组成，相邻像假设图像由许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间存在很高的空间相关性，而噪

29、声则相对独立。素间存在很高的空间相关性，而噪声则相对独立。可以将一个像素及其邻域内的所有像素的平均灰度可以将一个像素及其邻域内的所有像素的平均灰度值赋给平滑图像中对应的像素，从而达到平滑的目值赋给平滑图像中对应的像素，从而达到平滑的目的，又称均值滤波或局部平滑法。的，又称均值滤波或局部平滑法。最简单的邻域平均法为非加权邻域平均：最简单的邻域平均法为非加权邻域平均： 一幅图像大小为一幅图像大小为NN的图像的图像f(x,y)，用邻域平均，用邻域平均法得到的平滑图像为法得到的平滑图像为g(x,y)，则，则 x,y=0,1,N-1;s为为(x,y)邻域中像素坐标的集合，邻域中像素坐标的集合，其中不包括

30、其中不包括(x,y);M表示集合表示集合s内像素的总数。常用内像素的总数。常用的邻域有的邻域有4-邻域和邻域和8- 邻域。邻域。sjijifMyxg,),(1),( 非加权邻域平均法可以用模板卷积求得，即在待处理图像中逐非加权邻域平均法可以用模板卷积求得，即在待处理图像中逐 点地移动模板，求模板系数与图像中相应像素的乘积之和，模点地移动模板，求模板系数与图像中相应像素的乘积之和，模 板数为板数为1。下图是非加权邻域平均下图是非加权邻域平均33模板。模板。模板与图像值卷积时，模板中系数模板与图像值卷积时，模板中系数w(0,0)应位于图像对应于应位于图像对应于(x,y)的位置。在图像中的点的位置。

31、在图像中的点(x,y)处，用该模板求得的响应为：处，用该模板求得的响应为： 91) 1, 1() 1 , 1 (), 1()0 , 1 (.),()0 , 0(.), 1()0 , 1() 1, 1() 1, 1(yxfwyxfwyxfwyxfwyxfwR 图图3-12 空间滤波过程空间滤波过程非加权邻域平均法的增强效果非加权邻域平均法的增强效果 （a）为含有随机噪声的灰度图像）为含有随机噪声的灰度图像 (b)（c）(d）是分别用）是分别用33、55、77模板得到的平滑图像。模板得到的平滑图像。 加权邻域平均加权邻域平均 所有模板系数可以有不同的权值所有模板系数可以有不同的权值 . (a)是一

32、般形式，是一般形式，(b)是一具体实例。是一具体实例。对于一幅对于一幅MN的图像，经过一个的图像，经过一个mn(m和和n是奇数是奇数)的加权均值的加权均值滤波的过程可用下式给出：滤波的过程可用下式给出：式中，式中，a=(m-1)/2且且b=(n-1)/2，分母是模板系数总和，为一常数，分母是模板系数总和，为一常数。 aasbbtaasbbttswtysxftswyxg),(),(),(),(2. 中值滤波中值滤波 邻域平均法虽然可以平滑图像，但在消除噪声的同时，邻域平均法虽然可以平滑图像，但在消除噪声的同时，会使图像中的一些细节变得模糊。中值滤波则在消除噪声的会使图像中的一些细节变得模糊。中值

33、滤波则在消除噪声的同时还能保持图像中的细节部分，防止边缘模糊同时还能保持图像中的细节部分，防止边缘模糊 。中值滤波是一种非线性滤波。它首先确定一个奇数像素窗中值滤波是一种非线性滤波。它首先确定一个奇数像素窗口口W，窗口内各像素按灰度值从小到大排序后，用中间位置，窗口内各像素按灰度值从小到大排序后，用中间位置灰度值代替原灰度值。设增强图像在灰度值代替原灰度值。设增强图像在(x,y)的灰度值为的灰度值为f(x,y)，增强图像在对应位置增强图像在对应位置(x,y)的灰度值为的灰度值为g(x,y)，则有：，则有： W为选定窗口大小。为选定窗口大小。,),(),(Wlklykxfmedianyxg下图给

34、出了中值滤波的平滑结果下图给出了中值滤波的平滑结果 .(a)为含有随机噪声的灰度图像为含有随机噪声的灰度图像(b)、(c)、(d)是分别用是分别用33、55、77模板得到的平滑图像。模板得到的平滑图像。比较可以看出，中值滤波的效果要优于均值滤波的效果，图像比较可以看出，中值滤波的效果要优于均值滤波的效果，图像中的边缘轮廓比较清晰。中的边缘轮廓比较清晰。 变换域增强是首先经过某种变换（如傅里叶变换）变换域增强是首先经过某种变换（如傅里叶变换）将图像从空间域变换到变换域，然后在变换域对频谱将图像从空间域变换到变换域，然后在变换域对频谱进行操作和处理，再将其反变换到空间域，从而得到进行操作和处理，再

35、将其反变换到空间域，从而得到增强后的图像。增强后的图像。 在变换域处理中最为关键的是变换处理。在图像在变换域处理中最为关键的是变换处理。在图像增强处理中，最常用的正交变换是傅里叶变换。当采增强处理中，最常用的正交变换是傅里叶变换。当采用傅里叶变换进行增强时，把这种变换域增强称为频用傅里叶变换进行增强时，把这种变换域增强称为频域增强。域增强。3.3 频域增强频域增强1. 一维傅立叶变换一维傅立叶变换 设设f(x)为实变量为实变量x的连续可积函数，则的连续可积函数，则f（x）的正反）的正反傅立叶变换定义为：傅立叶变换定义为： 式中式中j为虚数单位，为虚数单位，x为时域变量，为时域变量，u为频域变量

36、。为频域变量。如果令如果令=2u则有：则有： 3.3.1傅立叶变换傅立叶变换dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(dxxjexfF)()(dxjeFxf)(21)( 函数的傅里叶变换一般是一个复数，它可由下式表函数的傅里叶变换一般是一个复数，它可由下式表示：示： F(u)= R(u)+jI(u) R(u)，I(u)分别为分别为F(u)的实部和虚部。的实部和虚部。F(u)为复平面为复平面上的向量，它有幅度和相角上的向量，它有幅度和相角. 幅度幅度 相角相角 |F(u)|称为称为f(x)的傅里叶谱，而的傅里叶谱，而(u)称为相位谱。称为相位谱。 谱谱的平方称为的平方称为f(x

37、)的能量谱，即：的能量谱，即：)()(| )(|22uIuRuF)()(arctan)(uRuIu )()(| )(|)(222uIuRuFuE例：例：f(x)为一简单函数，如图为一简单函数，如图3-18(a)所示，求其傅所示，求其傅立叶变换立叶变换F(u)。 其傅立叶谱为其傅立叶谱为 :exp)sin(2exp2exp)()(0uXjuXuAdxuxjAdxuxjxfuFX|)sin(| )(|uXuXAXuF2. 二维傅立叶变换二维傅立叶变换如果二维函数如果二维函数f(x，y)是连续可积函数，则有下面二维傅里是连续可积函数，则有下面二维傅里叶变换对存在：叶变换对存在：二维傅里叶变换的幅度谱

38、和相位谱如下式二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱如下式： dxdyvyuxjyxfvuF)(2exp),(),( dudvvyuxjvuFyxf)(2exp),(),(),(),(| ),(|22vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),(| ),(|),(222vuIvuRvuFvuE例例:给定二维函数给定二维函数f(x,y) 如图如图3-19所示，求其傅立叶所示，求其傅立叶变换变换F(u,v)。0,; 0,00 ,0),(yYyxXxYyXxAyxf其傅里叶谱为其傅里叶谱为: dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),( XYvyuxjdxdyAe00)(

39、2XYvyjuxjdyedxeA0022YvxjXuxjvjeujeA020222121222vxjuxjevjAeujAvYevYuXeuXAXYvyjuxj)sin()sin(vYvYuXuXAXYvuF)sin()sin(| ),(|3. 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(1)一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换 设设f(x)用用N个互相间隔个互相间隔x单位的采样来离散化为一个序列，即单位的采样来离散化为一个序列，即: f(x0),f(x0+x),f(x0+N-1 x) 则采样函数的离散傅立叶变换对为则采样函数的离散傅立叶变换对为:(2)二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换 对对M行行N列二

40、维离散图像列二维离散图像f(x,y)的傅里叶变换对为的傅里叶变换对为: /2exp()(1)(10NxjxfNuFNxx10/2exp)()(NNxjFxf1010/2exp),(1),(MxNyNvyMuxjyxfMNvuF1010/2exp),(),(MuNvNvyMuxjvuFyxf4.离散傅立叶变换应用中的问题离散傅立叶变换应用中的问题(1)频谱的图像显示频谱的图像显示 谱图像就是把谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。作为亮度显示在屏幕上。由于在傅立叶变换中由于在傅立叶变换中F(u,v)随随u，v衰减太快，直接衰减太快，直接显示高频项只能看到一两个峰，其余都不清楚。为显示

41、高频项只能看到一两个峰，其余都不清楚。为了符合图像处理中常用图像来显示结果的惯例，通了符合图像处理中常用图像来显示结果的惯例，通常用常用D(u,v) 来代替，以弥补只显示来代替，以弥补只显示|F(u,v)|不够清楚不够清楚这一缺陷。这一缺陷。D(u,v)定义为：定义为： |),(|1log(),(vuFvuD 下图给出了一维傅立叶变换原频谱下图给出了一维傅立叶变换原频谱|F(u)|图形和图形和D(u)图形的差别。原图形的差别。原|F(u)|图形只有中间几个峰可图形只有中间几个峰可见，图见，图(b)为处理后为处理后D(u)的图形。的图形。(2)频谱的频域移中频谱的频域移中 常用的傅里叶正反变换公

42、式都是以零点为中心的常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角，作为周公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，这和我们正常期性函数其中心最亮点将分布在四角，这和我们正常的习惯不同，因此，需要把这个图像的零点移到显示的习惯不同，因此，需要把这个图像的零点移到显示的中心。例如把的中心。例如把F(u,v)的原零点从左上角移到显示屏的原零点从左上角移到显示屏的中心。的中心。 当周期为当周期为N时，应在频域移动时，应在频域移动N2。利用傅立叶的。利用傅立叶的频域移动的性质：频域移动的性质： 当当u0=v0=N/2时时 在作傅立

43、叶变换时，先把原图像在作傅立叶变换时，先把原图像f(x,y)乘以乘以(-1)x+y，然后再进行傅立叶变换，其结果谱就是移然后再进行傅立叶变换，其结果谱就是移N2的的F(u,v)。其频谱图为。其频谱图为|F(u,v)|。/ )(2exp),(),(0000NyvxujyxfvvuuFyxyxjNyvxuj) 1()(exp/ )(2exp00yxyxfNvNuF) 1)(,()2/, 2/(傅立叶变换举例傅立叶变换举例 (a)原图像原图像 (b)傅立叶变换傅立叶变换 图图 3-21 图像的图像的FFT变换变换 5.二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质(1) 线性性质：),(),(),

44、(),(22112211vuFavuFayxfayxfa(2) 比例性质：byaxFabbyaxf,1),(3) 可分离性：),(),(),(),(),(),(1111vuFFFvuFFFyxfyxfFFyxfFFvuFuvvuxyyx(4) 空间位移：NvyuxjevuFyyxxf/ )(20000),(),(5) 频率位移：),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj)2,2() 1)(,(NvNuFyxfyx图像中心化：当u0=v0=N/2时，(6) 周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN)(7) 共轭对称性：),(),(*

45、vuFyxf(8) 旋转不变性：),(),(00Frf(9) 平均值：10102),(),(1)0 , 0(NxNyyxfyxfNF(10) 卷积定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v)(11) 相关定理：互相关：f(x,y)Og(x,y) F(u,v)G*(u,v)f(x,y)g*(x,y) F(u,v) OG(u,v)自相关：f(x,y)Of(x,y) |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 F(u,v) OF(u,v)(12) 帕塞瓦定理（能量定理）：10101010*21*21),(),(),(),(NxNyNuNv

46、vuFvuFyxfyxf若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：1010101022),(),(NxNyNuNvvuFyxf 可分离性可分离性112/2/0011( , )( , ) ( , )NNjx Njy NxyyxF u vef x y eNNF Ff x y),(),(),(),(1110/210/21010/ )(2vuFFFevuFeevuFyxfvuNvNvyjNuNuxjNuNvNvyuxj 频率位移性质频率位移性质当图像在频率域时移动时需要用到频率位移性质：),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj图像中心化把图像进行傅立叶变换后，往往要把中

47、心移到u0=v0=N/2的位置上)2,2() 1)(,() 1()(/ )(200NvNuFyxfeeyxyxyxjNyvxuj 周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性周期性不难证明。共轭对称性：10102),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF两边取共轭(f(x,y)为实函数)：),(),(1),(1),(1010210102*vuFeyxfMNeyxfMNvuFMxNyNvyMuxjMxNyNvyMuxj周期性和共轭对称性的应用周期性和共轭对称性的应用1. 图形的频谱分析和显示2. 图像中心化102102)()1(1)(1)2(NxNuxjxNxNuxjexfNexfNNuF旋

48、转不变性旋转不变性以极坐标表示x, y, u, v：sincossincoswvwuryrxf(x,y)和F(u,v)可由f(r,)和F(w,)来表示，代入傅立叶变换的公式，可以得到：),(),(00Frf平均值平均值平均值定义：10102),(1),(NxNyyxfNyxf由傅立叶变换定义：10102),(1)0 , 0(NxNyyxfNF因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：),()0 , 0(yxfF卷积卷积 卷积积分：如果函数卷积积分：如果函数 y(t) 满足下列关系式满足下列关系式)()()()()(thtxdthxty则称函数则称函数 y(t) 为函数为函数 x(t)

49、 和和 h(t) 的卷积的卷积 卷积积分的图解表示：卷积积分的图解表示：x(t)th(t)t1/2111 卷积积分的图解表示（续）：卷积积分的图解表示（续）：位移位移h(t- )11x( ) x( )h(- ) 1/2-1折迭折迭h(t- ) 1/2t 11*相相乘乘 卷积积分的步骤：卷积积分的步骤：1 折迭：把折迭：把 h( ) 相对纵轴作出其镜像相对纵轴作出其镜像2 位移：把位移：把 h(- ) 移动一个移动一个 t 值值3 相乘：将位移后的函数相乘：将位移后的函数 h(t- ) 乘以乘以 x( )4 积分：积分： h(t- ) 和和 x( ) 乘积曲线下的面积即为乘积曲线下的面积即为 t

50、 时刻的卷积值时刻的卷积值 卷积定理：如果卷积定理：如果 x(t) 和和 h(t) 的富里叶变换分别为的富里叶变换分别为 X(f) 和和 H(f) ,则则x(t) * h(t) 的富里叶变换为的富里叶变换为 X(f)H(f)。即即)()()()(fXfFtxth 卷积定理的简单推导：卷积定理的简单推导：dtedthxftj2)()(ftjety2)(=ddtethxftj)()(2=)()(fXfH=令令 =t- ddehexfjfj)()(22相关相关 相关积分的计算步骤：相关积分的计算步骤：1 位移：把位移：把 h( ) 移动一个移动一个 -t 值值2 相乘：将位移后的函数相乘：将位移后的

51、函数 h(t+ ) 乘以乘以 x( )3 积分：积分： h(t+ ) 和和 x( ) 乘积曲线下的面积即为乘积曲线下的面积即为 t 时刻的相关值时刻的相关值 相关定理：如果相关定理：如果 x(t) 和和 h(t) 的富里叶变换分别为的富里叶变换分别为 X(f) 和和 H(f) ,则则x(t) 和和 h(t) 的相关积分为的相关积分为 X(f)H*(f)。即即)()()()(*fXfHdtxh其中，其中，X*(f) 为为 X(f) 的复共轭的复共轭6.快速傅立叶变换快速傅立叶变换 矩阵方程：考虑离散傅立叶变换矩阵方程：考虑离散傅立叶变换1,1 ,0,)()(10/20NnekxnXNkNnkj

52、上面的式子代表了上面的式子代表了 N 个方程的计算个方程的计算 ，为方便表示，我们，为方便表示，我们引入下面一个记号。引入下面一个记号。 Nje/2 如果如果 N=4，则方程可写为：则方程可写为：00000000) 3()2() 1 ()0()0(WxWxWxWxx30201000) 3()2() 1 ()0() 1 (WxWxWxWxx60402000) 3()2() 1 ()0()2(WxWxWxWxx90603000) 3()2() 1 ()0() 3(WxWxWxWxx 矩阵表示：矩阵表示：) 3() 2() 1 () 0() 3() 2() 1 () 0(00009630642032

53、100000 xxxxWWWWWWWWWWWWWWWWxxxx或者表示成：或者表示成：)()(0kxWnXnk 矩阵的计算次数：要完成矩阵的运算，需要做矩阵的计算次数：要完成矩阵的运算，需要做 N*N 次复数的乘法次复数的乘法和和 N(N-1)次复数加法。次复数加法。 改写矩阵：改写矩阵：) 3() 2() 1 () 0(1111111) 3() 2() 1 () 0(0000123202321xxxxWWWWWWWWWxxxx这是因为：这是因为：)mod()(NnknkWW例如：例如：N=4，n=2，k=3,则则34/6*26jjeeWjjeeW4/2*22 矩阵分解因子：矩阵分解因子：)

54、3() 2() 1 () 0(010001010001100100001001) 3() 1 () 2() 0(000022003120 xxxxWWWWWWWWxxxx注：上面的列矢量注：上面的列矢量 x(n) 的行顺序发生了改变。的行顺序发生了改变。)3() 1 ()2()0()(xxxxnX 乱序后的列矢量：用下面的符号标记乱序后的列矢量乱序后的列矢量：用下面的符号标记乱序后的列矢量 计算次数：将矩阵分解因子后，计算需要分两步来进行。计算次数：将矩阵分解因子后，计算需要分两步来进行。) 3() 2() 1 () 0(010001010001) 3() 2() 1 () 0(0000220

55、01111xxxxWWWWxxxx第一步：第一步：其中其中) 2() 0() 0(0001xWxx一次乘法和一次加法一次乘法和一次加法) 3() 1 () 1 (0001xWxx一次乘法和一次加法一次乘法和一次加法) 2() 0() 2() 0() 2(0000201xWxxWxx一次加法一次加法) 3() 1 () 3() 1 () 3(0000201xWxxWxx一次加法一次加法 计算次数：计算次数：(第二步第二步) 3() 2() 1 () 0(100100001001) 3() 2() 1 () 0() 3() 1 () 2() 0(111131202222xxxxWWWWxxxxxx

56、xx其中其中) 1 ()0()0(1012xWxx一次乘法和一次加法一次乘法和一次加法) 3()2()2(1112xWxx一次乘法和一次加法一次乘法和一次加法) 1 ()0() 1 (1012xWxx一次加法一次加法) 3()2() 3(1112xWxx一次加法一次加法而而 计算次数：经过矩阵分解后，计算方程总共需要四次复数乘法和八次计算次数：经过矩阵分解后，计算方程总共需要四次复数乘法和八次复数加法。而未经分解的矩阵计算，总共需要十六次复数乘法和十二次复数加法。而未经分解的矩阵计算，总共需要十六次复数乘法和十二次复数加法。复数加法。 效率：因为计算时间主要取决于复数乘法的计算次数，所以减少复

57、数效率：因为计算时间主要取决于复数乘法的计算次数，所以减少复数乘法的次数就是乘法的次数就是 FFT 算法效率高的原因。算法效率高的原因。 基基2的的 FFT 算法的原理：对于算法的原理：对于 N=2 的的 FFT 算法，就是要把一个算法，就是要把一个 N*N 的矩阵，分解为的矩阵，分解为 (其中每个都是其中每个都是 N*N ) 个矩阵。使被分解后的个矩阵。使被分解后的每一个矩阵具有复数乘法和复数加法最少的特性。每一个矩阵具有复数乘法和复数加法最少的特性。 基基2的的 FFT 算法的效率：对于算法的效率：对于 N= 2 的的 FFT 算法，所需的计算次数算法，所需的计算次数为：为：2N乘法次数：

58、乘法次数：N加法次数：加法次数： 普通算法的效率：所需的计算次数为：普通算法的效率：所需的计算次数为：NN 乘法次数：乘法次数：) 1(NN加法次数：加法次数： 两种算法的效率之比：两种算法的效率之比：NNN22/2 乱序重排：经过矩阵分解后，计算所得到的是一个乱序的列矢量，乱序重排：经过矩阵分解后，计算所得到的是一个乱序的列矢量，这种乱序是分解过程中固有的，需要经过重新排列。这种乱序是分解过程中固有的，需要经过重新排列。)11()01()10()00()3()1()2()0()(xxxxxxxxnX1、二进制表示：将列矢量的自变量表示成二进制。、二进制表示：将列矢量的自变量表示成二进制。)(

59、)11()10()01()00()11()01()10()00(nxxxxxxxxx翻转成2、位序颠倒：将列矢量的自变量二进制码的位序颠倒。、位序颠倒：将列矢量的自变量二进制码的位序颠倒。 信号流程图：前面矩阵分解计算的过程可以用下面的信号流程图表信号流程图：前面矩阵分解计算的过程可以用下面的信号流程图表示出来：示出来：数据数组数据数组数组数组1数组数组2x0(k)x1(k)x2(k)x0(0)x0(3)x0(2)x0(1)x2(0)x2(3)x2(2)x2(1)x1(0)x1(3)x1(2)x1(1)w0w0w2w2w0w2w1w3 对信号流程图的几点说明：对信号流程图的几点说明：1、传输路

60、径：进入计算数组的每个节点有两条实线，它们表示从、传输路径：进入计算数组的每个节点有两条实线，它们表示从上一列节点来的两条传输路径。上一列节点来的两条传输路径。2、传输路径的权值：每条传输路径都带有相应的权值。如果在某、传输路径的权值：每条传输路径都带有相应的权值。如果在某条传输路径上没有标记权值，则缺省权值为条传输路径上没有标记权值，则缺省权值为1。3、数组的计算：从两条传输路径进到一个节点的两结果要相加起、数组的计算：从两条传输路径进到一个节点的两结果要相加起来。来。x0(0)x0(3)x0(2)x0(1)x0(4)x0(7)x0(6)x0(5)x0(8)x0(11)x0(10)x0(9)