相似三角形模型分析大全(精)

1、第一局部相似三角形知识要点大全知识点1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。即对应角相等、对应边的比也相等的图形解读：1两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.2全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.3判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.例1 .放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同.例2 以下各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80°的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角

2、是100。的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是 填序号.解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100。的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：.知识点2比例线段对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-或b da:b=c:d丨那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.a c解读：1四条线段a,b,c,d 成比例，记作 或a：b=c:d，不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性.a c2在比例式或a:b=c:d丨中，比例的项为a,b,c,

3、d ，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，db d是第四比例项.a b3如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。b c 通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.a例3 .线段 a=2cm, b=6mm,求b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.b3、例4 .a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= dm,求c的长度.2分析：由a,b,c,d 成比例，写出比例式 a:b=c:d，再把所给各线段 a,b,d 统一单位后代入求

4、 c. 知识点3.相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：1正确理解相似多边形的定义，明确“对应关系.2明确相似多边形的“对应来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.11，再根据相似例5.假设四边形 ABCD勺四边长分别是 4, 6, 8, 10,与四边形 ABCD相似的四边形 ABGD的最大边长 为30,那么四边形 A1B1C1D的最小边长是多少？分析：四边形 ABCD与四边形ABQD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长. 知识点4 相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似

5、三角形.解读：1相似三角形是相似多边形中的一种；2应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；3相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；4相似用“s表示，读作“相似于；5相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：相似比是有顺序的，比方AB3A AiBiCi，相似比为 k,假设 ABCs1 ABC那么相似比为 1。假设两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形全等，全k等三角形是相似三角形的特殊情况。假设两个三角形全等，那么这两个三角形相似；假设两个三角形相似，那么这两个三角形不一定全等.例6.如图， ADEA ABC DE=2, BC=4那么和的相似比是多少？点D, E分别是AB AC的中点吗？注意

6、：解决此类问题应注意两方面：1相似比的顺序性，2图形的识别.解：因ADSA ABC所以DEBCADABAE，因为匹ACBCAD ae 1所以忑疋2，所以D E分别是AB AC的中点.知识点5.相似三角的判定方法(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；(2) 平行于三角形一边的直线截其他两边或其他两边的延长线所构成的三角形与原三角形相似.(3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4) 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形 相似.(5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对

7、应成比例，那么这两个三角形相似.(6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.ACMA ABC相似？试分别加以列举.例7 .如图，点D在厶ABC的边AB上，满足怎样的条件时，分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，ACD与 ABC已有公共角/ A,要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，AC3A ABC条件一：adAC / 1 = Z B;条件二：/ 2=Z ACB 条件三：，即 ACf-AD AB.ACAB知识点6 .相似三角形的性质(1) 对应角相等，对应边的比相等；(2) 对应高的比，对应中线的比

8、，对应角平分线的比都等于相似比；(3) 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方. 例 8.如图， ADEA ABC AD=8 BD=4, BC=15 EC=7(1) 求DE AE的长；(2) 你还能发现哪些线段成比例.分析:此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即.DEADAEBCABAC例9.2ab AB3A AiBG, = , ABC的周长为20cm,面积为40cm2.3Ai Bi求1 ABC的周长；2A ABG的面积.分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解.易求出 AiBG的周长为30cm; ABQ的面积90cm第二局部相似三角形模

9、型分析大全、相似三角形判定的根本模型认识一A字型、反A字型斜A字型C平行二8字型、反8字型平行蝴蝶型不平行四一线三等角型:六双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到I1 I8字型拓展一线三直角的变形第三局部相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1 :如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于 E.例2 :：如图， ABC中，点E在中线AD上，DEB ABC .求证：1DB2 DE DA;2 DCE DAC .例3:：如图，等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D , CG/ AB, BG分别交 AD、AC于E、F

10、 .求证：BE2 EF EG .相关练习：1如图， AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FD 2 FB FC .2、：AD是Rt ABC中/A的平分线，/C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于MEF、BC的延长线交于一点M求证： AM3A NMD; (2)ND2 =NC- NB3、：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC上一点，CF丄BE于F。 求证：EB- DF=AE- DB5. ：如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, BC=2, AC=4, P是斜边AB上的一个动点，PDLAB交边 AC于点D点D与点A C都不重

11、合，E是射线DC上一点, P两点的距离为x，A BEP的面积为y.1求证：AE=2PE2求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；第25题图3当厶BEP-与 ABC相似时，求 BEP的面积.双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分别是AC AB上的高求证： ABDA ACE2 ADEA ABC (3)BC=2ED2、如图，锐角 ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高， ABC和厶BDE的面积分别是 27和3,DE=6、2，求：点B到直线AC的距离。BDC共享型相似三角形1、 ABC是等边三角形，D、B C E在一条直线上，/ DAE=!20，bd=1, C

12、E=3 ,求等边三角形的边2、：如图，在 Rt ABC 中，AB=AC,Z DAE =45°求证：1 ABEACD ;2 BC2 2BE CD .一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 ABC中，边长为6, D是BC上动点，/ EDF =601求证： BDE CFD2当 BD=1, FC=3 时，求 BE例2 ： 1在 ABC中，AB AC 5 , BC 8，点P、Q分别在射线 CB、AC上点P不与点C、 点B重合，且保持 APQ ABC. 假设点P在线段CB上如图，且BP 6，求线段CQ的长； 假设BP x , CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)正方形A

13、BCD的边长为5如以下列图，点P、Q分别在直线CB、DC上点P不与点C、点B 重合，且保持 APQ 90 当CQ 1时，求出线段 BP的长.例 3:在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.1如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=Z A. 求证； ABPs DPC 求AP的长.A PDBC2如果点P在AD边上移动点P与点A、D不重合，且满足/ BPE=Z A, PE交直线BC于 点E,同时交直线DC于点Q,那么 当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP=x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域； 当CE= 1时，写出A

14、P的长.ADAD例4:如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6 , AD 3 点M为边BC的中点，以M为顶点作 EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF 1求证： MEF BEM ;2假设 BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；3假设EF CD，求BE的长.相关练习:1、如图，在 ABC中，AB AC 8 , BC 10 , D是BC边上的一个动点，点 E在AC边上，且ADE C .求证： ABDDCE ;如果BD x， AE y，求y与x的函数解析式，并写出自变量当点D是BC的中点时，试说明厶 ADE是什么三角形，并说明理由.2、

15、如图，在厶 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE , 并作 DEF B，射线EF交线段AC于F .1求证： DBEECF ;2当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；3联结DF，如果 DEF与厶DBE相似，求FC的长.B E C3、在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点.1如图，P为BC上的一点，且2如果点P在BC边上移动点同时交直线 AD于点M,那么 当点F在线段CD的延长线上时，设 定义域；9 当Sdmf-SBEp时，求BP的长.4BP=2 .求证：

16、BEPCPD;P与点B、C不重合，且满足/ EPF = / C, PF交直线CD于点F ,bp= X,DF= y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的第25题图备用图4、如图，边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF 1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG, FG交直线AC于点M，N ,1写出图中与 bef相似的三角形；2证明其中一对三角形相似；3设Be x,MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量4假设AE 1，试求GMN的面积.X的取值范围;一线三直角型相似三角形例1、矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE CP , 交边AB于点E,设PD x,AE y，求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。AO 2例2、在 ABC中， C 90o, AC 4,BC 3,0