矩阵的分块法

1、 一、分块矩阵的定义一、分块矩阵的定义1第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算三、小结三、小结 思考题思考题2第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算一、分块矩阵的定义一、分块矩阵的定义 对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了简化，为了简化运算，经常采用运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的运算化成，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算小矩阵的运算. . 具体做法是：将矩阵具体做法是：将矩阵 用若干用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为阵称为 的的子块子块，以这些子块为元素的形式上，以这些子块为元素

2、的形式上的矩阵称为的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .AAA3第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算,321 BBB bbaaA110101000001例例 A001aba110000b110 1B2B3B即即4第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即5第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算, BEOA ,4321AAAA bbaaA110101000001 bbaaA110101000001 aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA b

3、A10046第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 称形如称形如sAAAA00000021的矩阵为分块对角矩阵的矩阵为分块对角矩阵. . 若若 都是方阵都是方阵, ,称分块对角矩阵称分块对角矩阵sAAA,21为准对角矩阵为准对角矩阵. .sAAAA000000217第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 有有相相同同的的分分块块法法采采用用列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与设设矩矩阵阵,1BA那那末末列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则 srsrsrsrBBBBBAAAA

4、A11111111,8第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 那末那末为数为数设设,21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 9第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算例例 654123321A, 2 222222222 654123321A2.12108246644 10第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtk

5、ikij 其其中中11第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 ,411 srAAA设设rA11sA.11 TsrTTAAA则则TsA1TrA1TsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则TtTTAAA21TtAAA,21TtBBB21TtTTBBB,21特别地特别地12第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 (5) (5)分块矩阵的行列式分块矩阵的行列式 设设 都是方阵都是方阵, ,由行列式的由行列式的ssAAA,2211定义可知定义可知ssssAAAAAA00022211211,2211ssAAAssssAAAAAA21222111000,2211ssAAA13第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算ss

6、AAA0000002211.2211ssAAA特别地特别地(6)(6)分块对角矩阵的逆矩阵分块对角矩阵的逆矩阵 设设 都是可逆矩阵都是可逆矩阵, ,则则sAAA,21121sAAA11211sAAA14第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算121sAAA11111AAAss,1000430000240001A例例2-14 2-14 设设 求求 及及1AA15第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 解解1000430000240001A10432401632111000430000240001A111104300240116第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算1000343100002120001 例例2

7、-15 2-15 设设 是是 阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵, , 是是 1 1矩阵矩阵, ,AnBn 是常数是常数, , 是是 的伴随矩阵的伴随矩阵, ,记记*AbA,0*AABEPT, bBBAQT 试证试证: :BABbAPQT1217第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算证证 由由 bBBAAABEPQTT*0bABABBAAABBATTT*bABAABBAT10,01BABbABAT知知 BABbAPQT1218第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 对于对于 矩阵矩阵 , ,常做如下两种分块常做如下两种分块: :nmA (1) (1)按列分块按列分块naaaA,21其中其中nj,2,1,21mj

8、jjjaaaa19第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 (2) (2)按行分块按行分块maaaA21其中其中 ,21iniiiaaaa., 2 , 1mi20第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算三、小结 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最基本基本, ,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法. .(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同型型矩矩阵阵 ,(2) 数乘数乘的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3) 乘法乘法的划分相一致的划分相一致的列的划分与的列的划分与需需相乘相乘与与若若BABA, 分块矩阵之间的运算分块矩

9、阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似21第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算(4) 转置转置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11(5) 分块对角阵的行列式与逆阵分块对角阵的行列式与逆阵 sAAAA21OO.21sAAAA 22第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算 sAAAA21OO ., 2 , 1112111 siAAAdiagAsiAA且且可可逆逆可可逆逆23第二章第二章 矩阵的运算矩阵的运算思考题,0都都是是可可逆逆方方阵阵和和其其中中设设CBCDBA .,1 AA并求并求可逆可逆证明证明24第二章第二章 矩