数学建模课件-物理模型

1、 量纲分析法建模量纲分析法建模 定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子成的式子 . 量纲作用量纲作用1 1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系可定出同一物理量不同单位间的换算关系 . .3 3）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位 . .2 2）量纲可检验公式的正误量纲可检验公式的正误 . .221rmmGF 212mmFrG 213TMLdimG量量 纲纲某一物理量某一物理量 的量纲的量纲sqpQTMLdimQ物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用物理量大都带有量纲，其中基本量纲通

2、常是质量（用M表表示）、长度（示）、长度（ 用用L表示）、时间（表示）、时间（ 用用T表示），有时还有温表示），有时还有温度（用度（用表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示，如速度的量纲为表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为加速度的量纲为 LT-2，力的量力的量纲为纲为 MLT-2，功的量纲为功的量纲为 ML2T-2等。等。 量纲分析法建模量纲分析法建模量纲分析的原理量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总本身并不改变，例如，无论长度

3、取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只有并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减运算的，这些限制在一定程度上限定了公式的可取范作加减运算的，这些限制在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这种性质的公式被称为种性质的公式被称为 “量纲齐次量纲齐次”的。的。 例例1、 在万有引力公式中，引力常数在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据是有量纲的，根

4、据量纲齐次性，量纲齐次性，G的量纲为的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式变量的函数。例如，与万有引力公式 相关的物理量有：相关的物理量有：G、m1、m2、r和和F。 现考察这些量的无量纲乘积现考察这些量的无量纲乘积 的量纲为的量纲为由于由于 是无量纲的量，故应有：是无量纲的量，故应有： 2 22 21 1r rm mG Gm mF F

5、edcbaFrmmG21e)2(aeb3aaecbTLM000eaed3aaecb000eaed3aaecb此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（间。取（a,b）=（1,0）和（和（a,b）=（0,1），），得到方程组解得到方程组解空间的一组基空间的一组基 （1,0,2,-2,-1）和（）和（0,1,-1,0,0），所有由这些），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：个基向量对应的无量纲乘积分别为：2122221mm ,F

6、rGm而万有引力定律则可写而万有引力定律则可写 成成f(1,2)=0，其对应的显函数为：其对应的显函数为：1=g(2)，即即 )(22221mmhrmF 万有引万有引力定律力定律 量纲齐次原则量纲齐次原则用数学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致用数学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致所谓量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系下面用一个简单的例子来说明下面用一个简单的例子来说明单摆运动：质量为m的小球系在长度为l的线一端，作单摆运动求其周期t的表达式在这个问题中出现的物理量有t,m,l,g，设他们之间有关系1-4332132132122321MT1,TLL

7、TgLlMmTtglmtglmt代如得，将）的量纲表达式量纲的比例常数，取（是无是待定常数，其中按照量纲齐次原则应有：12003321 1-5可得出其解为21,21, 0321 glt 得1-6八人赛艇比赛和举重比赛一样，分八人赛艇比赛和举重比赛一样，分 成成86公斤公斤的重量级和的重量级和 73公斤的轻量级。公斤的轻量级。1971年，年，T.A.McMahon比较了比较了1964-1970年期间两次年期间两次奥运会和两次世锦赛成绩，发现奥运会和两次世锦赛成绩，发现 86公斤级比公斤级比73公斤级的成绩大约好公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的，产生这一差异的原因何在呢？原因何在呢？ 我们将

8、以我们将以L表示轻量级、以表示轻量级、以H表示重表示重量级，用量级，用S表示赛艇的浸水面积，表示赛艇的浸水面积，v表示赛艇速度，表示赛艇速度，W表示选手体重，表示选手体重，P表示选手的输出功率，表示选手的输出功率，I表示赛程，表示赛程，T表示比赛成绩（时间）。表示比赛成绩（时间）。 考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段，大致可以分三个阶段， 即初始时刻的加速阶即初始时刻的加速阶 段、中途的匀速段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段阶段和到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后。由于赛程较长，可以略去前

9、后两段而只考虑中间一段两段而只考虑中间一段 ，为此，提出以下建模假设。，为此，提出以下建模假设。（1）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比正比 于于Sv2,（见流体力学），空气阻力等其他因素不计。见流体力学），空气阻力等其他因素不计。（2）同一量级的选手有相同的体重）同一量级的选手有相同的体重W，选手的输出功选手的输出功 率率P正比于正比于W，且效率大体相同。且效率大体相同。由假设由假设1，3svfvp，故，故31spv1 竞赛成绩竞赛成绩31spvIT记比例系数记比例系数 为为k，则有则有：31HHH31LLLPSkT ,PSkT31HL3

10、1LHHLSSPPTT故故由假设由假设2， LHLHWWPP31HL31LHHLSSWWTT故故令令WH=86,WL=73,则有则有由于由于SL略小于略小于SH，故轻量级所化时间比重量级所化时间故轻量级所化时间比重量级所化时间约约 多多5%左右。左右。31HLHLSS TT1.056例例3 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测

11、定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如， 设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。221gth 我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻力空气阻力。根据流体力

12、学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：为常数，因而，由牛顿第二定律可得： kgcevkt令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 ktekgkgv再积分一次，得：再积分一次，得： cekgtkghkt2若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为

13、为0.1秒秒 ，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。 222)1(kgektkgkgekgtkghktkt多测几次，取平均多测几次，取平均值值代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式： 将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+ ，即可，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传

14、回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组： 933401212211.ttthkg)ekt (kghkt这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例

15、如， 若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 实际解答实际解答 对现实对象的描述、分析、预报、对现实对象的描述、分析、预报、 决策、控制等结果决策、控制等结果始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界例例4 一场笔墨官司一场笔墨官司 美国原子能委员会（现为核管理委员会）美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海英尺的海里里. . 他们这种做法安全吗？他们这种做法安全吗？ 分析分析

16、可从各个角度去分析造成危险的因素，可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能这里仅考虑圆桶泄露的可能. . 联想联想：安全：安全 、危险、危险问题的关键问题的关键1）圆桶至多能承受多大的冲撞速度？圆桶至多能承受多大的冲撞速度？ ( (40英尺英尺/ /秒秒) )2） 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？圆桶和海底碰撞时的速度有多大？问题转为问题转为求这种桶沉入求这种桶沉入300英尺的海底时英尺的海底时的末速度的末速度. .（原问题是什么（原问题是什么? ?）可利用的数据条件可利用的数据条件： 圆桶的总重量圆桶的总重量 W=527.327（磅）（磅） 圆桶受到的浮力圆桶受到的浮力 B

17、=470.327（磅）（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C = =0.08 思路思路 利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移位移y(t) 满足的微分方程：满足的微分方程： )1(22DBWdtydm vdtdyCvDgWm ,其其中中)2(. 0)0(),( VBWWgvWCgdtdv或或方程的解为方程的解为 计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间海底的碰撞时间 t0= =？分析分析 考虑圆桶的极限速度考虑圆桶的极限速度08. 0327.470436.527)(lim CBWtvt0),1(

18、)( teCBWtvvtWCg713.86（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） 实际极限速度实际极限速度与圆桶的与圆桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！ 结论结论 解决问题的方向是正确的解决问题的方向是正确的.解决思路解决思路 避开求避开求t0的难点的难点 令令 v(t)=v(y(t), 其中其中 y=y(t) 是圆桶下沉位移是圆桶下沉位移 dtdydydvdtdv. 将将代入代入(1)得得,.CvBWdtdydydvm . 0)0(, 0)0(,yvWgdydvCvBWv或或两边积分得函数方程：两边积分得函数方程： ,ln2WgyBWCvBWCBWCv 若能求出函数若

19、能求出函数v = v(y), ,就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(试一试试一试)* 用数值方法求出用数值方法求出v(300)的近似值为的近似值为 v(300)45.41（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） * * 分析分析 v =v (y) 是单调上升函数，而是单调上升函数，而v 增增大大, ,y 也增大也增大, ,可求出函数可求出函数 y =y(v) 两种解决思路：两种解决思路：),ln(2BWCvBWCBWCWgWy 令令 v =40( (英尺英尺/ /秒秒) )，g=32.2( (英尺英尺/ /秒秒) )y = 238.4 ( (英尺英尺) )300

20、（英尺）（英尺）问题的问题的实际解答实际解答： 美国原子能委员会处理美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变放射性废物的做法是极其危险的，必须改变. 算出算出泊肃叶定律泊肃叶定律泊肃叶定律的实验基础泊肃叶定律的实验基础法国医学家泊肃叶首先对细管中缓慢流法国医学家泊肃叶首先对细管中缓慢流动的液体进行了研究。研究发现，在长度为动的液体进行了研究。研究发现，在长度为 ，半径为，半径为R的管中流动的液体，当管的两端的管中流动的液体，当管的两端的压强差为的压强差为P1-P2时，比值时，比值（ P1-P2）L （压压力梯度力梯度）与流量）与流量Q成线性关系，当该比值一定成线性关系，当该比

21、值一定时时,Q与与R4成正比，即：成正比，即：LPPRQ)(214其比例系数由维德曼首先从理论推导得出为其比例系数由维德曼首先从理论推导得出为，即：，即：LPRLPPRQ88)(4214上式称为上式称为泊肃叶定律。泊肃叶定律。、泊肃叶泊肃叶定律定律的推导的推导(1) 、速度分布、速度分布2)(21rPPF研究对象，流体元两端的压强分别为研究对象，流体元两端的压强分别为P1、P2，并并设设P1P2。由于两端压强差而加速，此流体元由于两端压强差而加速，此流体元的作用力的方向与流动方向相同。其大小为的作用力的方向与流动方向相同。其大小为：设牛顿流体在半径为设牛顿流体在半径为R的管内流动，今取半径的管

22、内流动，今取半径为为r长度为长度为L与管同轴的圆柱体的流体元为与管同轴的圆柱体的流体元为 其它流层与该流层的作用面积其它流层与该流层的作用面积S=2 rL，由于由于牛顿粘性定律可知，作用于该圆柱形流体元上牛顿粘性定律可知，作用于该圆柱形流体元上的粘性阻力的粘性阻力 ，式中负号表，式中负号表示示随随r 的增大而减小。的增大而减小。drdrLF2当流体做定常流动时，以上两力大小必然相等，当流体做定常流动时，以上两力大小必然相等，即：即：drdLrrPP2)(221整理后得出整理后得出 LrPPdrd2)(21上式说明：从管轴（上式说明：从管轴（r=0)到管壁到管壁(r=R)，速度速度梯度，随梯度，

23、随r 的的增大而增大增大而增大，在，在r=R,处处速度梯度速度梯度最大最大。上式分离变量并取定积分得：上式分离变量并取定积分得：RrLPPrdrd2)(021)(224)(21rRLPP上式表明了上式表明了牛顿流体在水平圆管中流动时，流牛顿流体在水平圆管中流动时，流速随半径的变化关系。速随半径的变化关系。在管轴（在管轴（r=0)处流速有处流速有最大值最大值 ，即速度的最大值与管的半径即速度的最大值与管的半径R的平方成正比，与压力梯度（的平方成正比，与压力梯度（P1-P2)/L成正成正比。比。24)(21RLPP随随r的关系曲线为的关系曲线为抛物线抛物线。（2）流量）流量rdrrRdQLPP2)

24、(224)(21的体积为的体积为dQ=ds，在管中取一个与管在管中取一个与管共轴，半径为共轴，半径为r，厚厚度为度为dr 的薄壁圆筒的薄壁圆筒形流体元，单位时形流体元，单位时间内通过该筒端面间内通过该筒端面为半径为半径r处的流速，处的流速， ds=2rdr 为圆环面积，为圆环面积，则则:rdrrRQRLPP0224)()(21LPRLPPRQ88)(4214上式称为上式称为泊肃叶定律。泊肃叶定律。若设若设Rf=8L/R4，则上式可写成，则上式可写成上式两边同时积分得：上式两边同时积分得：fRPQ上式表明粘性流体在等截面水平细圆管中稳定流上式表明粘性流体在等截面水平细圆管中稳定流动时，流量动时，流量Q与管子两端的压强差与管子两端的压强差P成正比，与成正比，与Rf成反比。成反比。Rf称