第五章：空间力系

1、第五章第五章 空间力系空间力系空间力系空间力系余余 辉辉 空间力系空间力系 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。图中去了风力为空间平行力系。迎迎 面面风风 力力侧侧 面面风风 力力b空间力系空间力系一、力在空间直角坐标轴上的投影一、力在空间直角坐标轴上的投影1 1、直接投影法、直接投影法xyzFxFzFyFcosFFx=cosFFy

2、=cosFFz=空间力系空间力系FxFzFyFxyz2 2、二次投影法、二次投影法sinFFcosFFxyz=ins sinFinsFFcossinFcosFFxyyxyx=第一次第一次投投 影影F第二次第二次投投 影影Fxy思考题：思考题：已知空间力已知空间力F在空间直角坐标轴上的投影在空间直角坐标轴上的投影 Fx、Fy、Fz，如何确定力，如何确定力F的大小和方向？的大小和方向？空间力系空间力系二、空间力的分解二、空间力的分解FxFyFzzyxFFFF+=kFjFiFzzyyxxFFF=,=,=而：而：kjiFzyxFFF+=所以：所以：空间力系空间力系三、空间汇交力系的合成与平衡三、空间汇

3、交力系的合成与平衡zRzyRyxRxFFFFFFxyzAF1F2FnRFkjiRzRyRxRFFFFkjiFzyxFFF1111kjiFzyxFFF2222kjiFzyxRFFFF设每个力都可以表示成如下形式：设每个力都可以表示成如下形式：则：则：若：若：RzRyRXFFFFFFcoscoscos空间力系空间力系zzyyxxFFFFFFRRR其中其中0RRRRkjiFzyxFFF000RRRzzyyxxFFFFFF空间力系空间力系xyzAF1F2FnRF02R2R2RRzyxFFFF有三个独立的平衡方程有三个独立的平衡方程空间力系空间力系 例例5.1 5.1 结构如图所示，杆重不计，已知力结构

4、如图所示，杆重不计，已知力P，求两杆的内，求两杆的内力和绳力和绳BD的拉力。的拉力。 1F3F2F空间力系空间力系5.2 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩一、力对点之矩一、力对点之矩MO(F)空间力系空间力系二、力对轴之矩二、力对轴之矩dFMMxyxyOz)()(FF力与轴相交或与轴平行力与轴相交或与轴平行(力与轴在同一平面内力与轴在同一平面内)，力，力对该轴的矩为零。对该轴的矩为零。力力(F)对某轴对某轴(z轴轴)之矩之矩(Mz(F)等于力在垂直于该轴等于力在垂直于该轴的平面的平面(xy平面平面)上的投影上的投影(Fxy)对该轴与此平面的交对该轴与此平面的交点点(O点点)之矩。之

5、矩。空间力系空间力系三、力对点之矩与力对轴之矩关系三、力对点之矩与力对轴之矩关系kjirzyxkjiFzyxFFFzyxFFFzyxkjiFrFMO)(kji)()()(xyzxyzyFxFxFzFzFyF)()()()(zxyxxxxMMMMFFFFkFjFiFFMzyxO)()()()(MMMyzzyzFyFyFzF 0r空间力系空间力系222)()()()(FFFFzyxOMMMM)()()()()(F FOzOyOxMMcos,)(MMcos,MMcosFFFFF力对轴的合力矩定理力对轴的合力矩定理:空间力系的合力对某空间力系的合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。轴之矩等于各

6、分力对同一轴之矩的代数和。力对某点的力矩矢在通过该点的任意轴上的力对某点的力矩矢在通过该点的任意轴上的投影，等于此力对该轴之矩。投影，等于此力对该轴之矩。空间力系空间力系CDEAxzyFB空间力系空间力系显然，显然， Fx = F sin Fz = F cos由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：CDEAxzyBFxFzM x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosM y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosM z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) =

7、 -F ( l + a )sinFxFzFxFz解法解法1：将力将力F沿坐标轴沿坐标轴分解为分解为Fx 和和Fz。空间力系空间力系M x( F ) = yFz zFy = ( l + a )(- Fcos) - 0 = - F( l + a )cosM y ( F ) = zFx xFz = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - FlcosM z ( F ) = xFy yFx = 0 - ( l + a ) ( Fsin) = -F( l + a )sinCDEAxzyB解法解法2：直接套用力对轴之矩直接套用力对轴之矩的解析表达式：力在的解析表达式：力在 x、y、z轴的投影为轴的投

8、影为Fx = F sinFy = 0Fz = - F cos空间力系空间力系一、空间力偶的等效条件一、空间力偶的等效条件 作用在同一刚体作用在同一刚体的两平行平面内的两的两平行平面内的两个力偶，若它们的力个力偶，若它们的力偶矩的大小相等且力偶矩的大小相等且力偶的转向相同，则两偶的转向相同，则两力偶等效。力偶等效。空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1）大）大 小：力与力偶臂的乘积；小：力与力偶臂的乘积；（2 2）方）方 向：转动方向；向：转动方向；（3 3）作用面：力偶作用面）作用面：力偶作用面空间力系空间力系二、力偶的性质二、力偶的性质1、力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零、力偶中两

9、力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。2、力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的、力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。改变而改变。3、只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任、只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。4、只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面、只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。用效果不变。5、力偶没有合力，力偶平衡只能

10、由力偶来平衡。、力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。空间力系空间力系三、力偶矩矢三、力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢FrMBA空间力系空间力系定位矢量定位矢量滑移矢量滑移矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量空间力系空间力系OOORRRMOMOMO右螺旋右螺旋左螺旋左螺旋力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面。其中的力垂直于力偶作用面。ORMO空间力系空间力系5.4 空间力系的简化空间力系的简化一、空间力的平移定理一、空间力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移至刚体中任作

11、用在刚体上的力，可平行移至刚体中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原力与指定点的力偶矢。力偶矩矢等于原力与指定点的力偶矢。空间力系空间力系二、空间力系向一点的简化二、空间力系向一点的简化一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系。空间任意力系。FFFR)(FMMOO空间力系空间力系222222)()()()()()(zyxRzRyRxRFFFFFFFcos,cos,cosRzRyRxFFFFFF)()()(FFFzOzyOyxOxMMMMMM222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMMc

12、os,cos,cos空间力系空间力系三、空间力系的简化结果三、空间力系的简化结果 合力矩定理合力矩定理1、平衡、平衡当当 时，空间力系为平衡力系。时，空间力系为平衡力系。00ORMF,2、合力偶、合力偶当当 时，空间力系最后简化为一时，空间力系最后简化为一个合力偶。此时简化结果与简化中心的选个合力偶。此时简化结果与简化中心的选择无关。择无关。00ORMF,3、合力、合力当当 时，空间力系最后简化为一时，空间力系最后简化为一个合力。合力的作用线过简化中心个合力。合力的作用线过简化中心O。00ORMF,空间力系空间力系当当 时，空间力系最后也可时，空间力系最后也可简化为一个合力，且合力作用线距简化

13、中心简化为一个合力，且合力作用线距简化中心为为 。ORORMFMF,且且0,0ROFdM合力矩定理合力矩定理 空间任意力系的合力对某点之矩等于原空间任意力系的合力对某点之矩等于原力系中各力对同一点之矩的矢量和。力系中各力对同一点之矩的矢量和。 空间任意力系的合力对某轴之矩等于原空间任意力系的合力对某轴之矩等于原力系中各力对同一轴之矩的代数和。力系中各力对同一轴之矩的代数和。空间力系空间力系4、力螺旋、力螺旋 当当 时，空间时，空间力系最后可简化为一个力螺旋，且力力系最后可简化为一个力螺旋，且力螺旋的中心轴过简化中心。螺旋的中心轴过简化中心。ORORMFMF/0,0,且且sinROFdM 当当

14、既不平行也不垂直既不平行也不垂直（ ）时，空间力系最后也可）时，空间力系最后也可简化为一个力螺旋，且力螺旋的中心轴距简化中简化为一个力螺旋，且力螺旋的中心轴距简化中心为心为 。ORORMFMF与与且且,0,0 的夹角为的夹角为与与记记ORMF空间力系空间力系5.5 5.5 空间力系的平衡空间力系的平衡一、空间力系的平衡条件和平衡方程一、空间力系的平衡条件和平衡方程 空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。主矢、主矩分别为零。 所有各力在空间直角坐标系中每个轴上的投影所有各力在空间直角坐标系中每个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于

15、每个坐标轴之矩的代数和等于零，以及这些力对于每个坐标轴之矩的代数和也为零。的代数和也为零。00ORMF,000000zyxzyxMMMFFF空间力系空间力系二、空间特殊力系的平衡方程二、空间特殊力系的平衡方程1、空间汇交力系、空间汇交力系2、空间平行力系、空间平行力系(设设z轴与力系中各轴与力系中各力平行力平行)3、空间力偶系、空间力偶系000zyxFFF000yxzMMF000zyxMMM空间力系空间力系约束反力未知量约束反力未知量约约 束束 类类 型型AFAAFAzFAyA径向轴承径向轴承 圆柱铰链圆柱铰链 铁轨铁轨 蝶铰链蝶铰链三、空间约束的类型三、空间约束的类型空间力系空间力系约束反力

16、未知量约束反力未知量约约 束束 类类 型型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球球形形铰铰链链止止推推轴轴承承导向轴承导向轴承万向接头万向接头空间力系空间力系约束反力未知量约束反力未知量约约 束束 类类 型型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy带有销子的夹板带有销子的夹板导导 轨轨空间的固定端支座空间的固定端支座空间力系空间力系四、空间力系的平衡问题四、空间力系的平衡问题求：三根杆所受力。求：三根杆所受力。已知：已知：P P=1000N ,=1000N ,各杆重不计。各杆重不计。解：各杆均为二

17、力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。画受力图建坐标系如图。由由解得解得 （压）（压）（拉）（拉）空间力系空间力系200mm200mm200mmDRFF2F1AB在图中，皮带的拉力在图中，皮带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力，曲柄上作用有铅垂力 F = 2000N。已知皮带轮的直径。已知皮带轮的直径 D = 400mm，曲柄长，曲柄长R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮带拉力和轴承反力。求皮带拉力和轴承反力。空间力系空间力系z yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整个轴为对象，受力分析

18、如图以整个轴为对象，受力分析如图200mm200mm200mmABX = 0，F1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0Y = 0，0 = 0Z = 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0空间力系空间力系z yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mm200mmAB= 30 ，=60 M x ( F ) = 0，400ZB - 200F + 200 F1cos30 + 200 F2cos60 = 0M y ( F ) = 0，FR - (F2 - F1) D/2 = 0M z ( F ) = 0，200F1 sin30 + 200F2 sin60 - 400XB = 0又有： F2 = 2F1 (由于Y