定积分物理应用ppt课件

1、本节要点本节要点 定积分的一个重要运用就是在物理上的运用定积分的一个重要运用就是在物理上的运用. 本节重本节重一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功二、水压力二、水压力三、引力三、引力点讨论定积分在物理学上的运用点讨论定积分在物理学上的运用. 主要内容有主要内容有:一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功 从物理学中知道，假设物体在作直线运动的过程中受从物理学中知道，假设物体在作直线运动的过程中受Fs.WF s到常力到常力 的作用，并且力作用的方向与位移的方向一的作用，并且力作用的方向与位移的方向一F致，那么当物体挪动了间隔致，那么当物体挪动了间隔 时，力时，力 对物体所作的功为对物

2、体所作的功为Fs 假设物体在运动过程中遭到变力的作用，如何求出相假设物体在运动过程中遭到变力的作用，如何求出相应的功？应的功？rOabqqr例例1 把一个带电量为把一个带电量为 的点电荷放在的点电荷放在 轴的坐标原轴的坐标原O点点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力力. 由物理学知道，假设有一个单位正电荷放在这个电由物理学知道，假设有一个单位正电荷放在这个电Or场中离原点场中离原点 为为 的地方，那么电场对它的作用力为的地方，那么电场对它的作用力为rrbabF处沿处沿 挪动到挪动到 处处 时，求电场力时，求电场力 所作的功所作的功.ra2qF

3、krk 是常数是常数. 当这个单位正电荷从电场从当这个单位正电荷从电场从rOabq对它所作的功近似于对它所作的功近似于2d ,kqrr从而功元素为从而功元素为2dd .kqWrrdrrrr, a b解解 取取 为积分变量，在为积分变量，在 区间中取一小区间区间中取一小区间,d,r rrrdrr当单位电荷从当单位电荷从 挪动到挪动到 时，电场力时，电场力rOabqdrrr于是所求的功为于是所求的功为2111d.bbaakqWrkqkqrrab abOx例例2 内燃机动力的产生可简化为如下内燃机动力的产生可简化为如下的模型：把汽缸看作为一个圆柱描画的模型：把汽缸看作为一个圆柱描画器，在圆柱描画器中

4、盛有一定的气体，器，在圆柱描画器中盛有一定的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从一点处推移到另容器中的一个活塞从一点处推移到另一点处，经过一定的机械安装将活塞一点处，经过一定的机械安装将活塞的这直线运动的动力传播出去，假设的这直线运动的动力传播出去，假设a, S活塞的面积为活塞的面积为 计算活塞从点计算活塞从点 移到移到b点点 的过程中气体压力所作的功的过程中气体压力所作的功.与体积与体积 的乘积是常数的乘积是常数 即有即有V, k.pVk因因 所以所以,VxS.kpxS于是作用在活塞上的力为于是作用在活塞上的力为.kFpSxabOxx解解

5、取坐标系如下图，活塞的位置用坐标取坐标系如下图，活塞的位置用坐标 来表示，来表示，p由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强ddd ,kWF xxx因此总功为因此总功为dln.bakbWxkxaabOxxdxx取取 为积分变量，取小区间为积分变量，取小区间 ，那么作功元素为，那么作功元素为x,dx xx例例3 一圆柱形蓄水池高一圆柱形蓄水池高5米，底半径为米，底半径为3米，池内盛满了米，池内盛满了xoxdxx5解解取取 为积分变量，为积分变量，x0,5 .x取代表性的一个小区间取代表性的一个小区间,dx xx那么这一层薄水的重力为那么这一层薄水的

6、重力为22d9.8d9.8d9.83 d ,GVRxx将这一层水抽出水池所作的功为将这一层水抽出水池所作的功为2d9.83 d88.2d ,WdG xx xx x水，要把池内的水全部吸出，需作多少功？水，要把池内的水全部吸出，需作多少功？于是，功为于是，功为5500d88.2dWWx x 52088.23462.2xJ例例4 一球形储液箱半径为一球形储液箱半径为R，并盛满了密度为，并盛满了密度为k的液体，的液体，解解 取取 为积分变量，为积分变量，x取代表性的一个小区间取代表性的一个小区间,dx xx那么这一层液体的重力为那么这一层液体的重力为22dddGk VkRxx将这一层液体抽出所作的功

7、为将这一层液体抽出所作的功为22ddWdGRxkRxRxx要把储液箱内的液体全部抽出，需作多少功？要把储液箱内的液体全部抽出，需作多少功？OxdxxxRR22ddRRRRWWkRxRxx于是，功为于是，功为44.3k R2202dRk RRxxOx123例例5 用铁锤将一铁钉击入木板，用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与击入设木板对铁钉的阻力与击入木板的深度成正比木板的深度成正比. 在第一在第一次时，将铁钉击入木板一厘次时，将铁钉击入木板一厘米，假设铁锤每次打击铁钉米，假设铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问铁钉在第所作的功相等，问铁钉在第n次时将铁钉击入多少？次时将铁钉击入多少？解解 设

8、木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为, f木板阻力系数为木板阻力系数为, k( ).f xkx那么由条件得，那么由条件得，fOx123第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为11100( )dd,2kWf xxkx x设第设第 次锤击时所作的功为次锤击时所作的功为n,nW此时铁钉深度为此时铁钉深度为, h那那么么201d.2hnWkx xkh由题意，每次锤击时所作的功相等，即有由题意，每次锤击时所作的功相等，即有2111,22nWnWknkhf.hnxdxx所以第所以第 次锤击时击入的深度为次锤击时击入的深度为n1.nhnnH2R的水池底部，要将此球取出水面，需求作多少功？的水池底部，要

9、将此球取出水面，需求作多少功？解解总的作功两部分组成，总的作功两部分组成，表示将球提升至球的上端与水面表示将球提升至球的上端与水面1W例例6 一个半径为一个半径为R，比重，比重 的球，沉入深度为的球，沉入深度为H1 相齐时需求作的功，相齐时需求作的功，它等于抑制球重与浮力之差作的功，它等于抑制球重与浮力之差作的功，球重为球重为34,3R浮力为浮力为34,3R球提升的高度为球提升的高度为2HRH33144233WRRHR所以所以H34123RHR表示将球完全提出水面作的功，表示将球完全提出水面作的功，2W它等于抑制球重与在水中部分的它等于抑制球重与在水中部分的球遭到的浮力之差作的功，球遭到的浮力

10、之差作的功，H球重球重为为34,3R2133hRhx当球提升了当球提升了 高度时，在水下部分的球的高度为高度时，在水下部分的球的高度为x在水下部分的球遭到的浮力为在水下部分的球遭到的浮力为2,hRx 2123RxRx3231343xRxRHx32241d3d33WRhRhx3323434d3RxRxRx332413d3RxRxx2220dRWW23320413d3RRxRxxHx2220dRWW23320413d3RRxRxx2343014134RRxxRx44213R12WWW34123RHR44213R3413RRH漏掉，问起重机每任务一次要抑制重力作多少功？漏掉，问起重机每任务一次要抑制

11、重力作多少功？例例7 用一个机械抓斗从用一个机械抓斗从30m的深井中挖泥，每次抓斗泥的深井中挖泥，每次抓斗泥中的泥土重为中的泥土重为2000N，抓斗自重，抓斗自重400N，缆绳的分量为，缆绳的分量为50N/m，抓斗提升速度为3m/s，提升过程中泥土以20N/s解解总的作功由三部分组成，总的作功由三部分组成，表示抑制抓斗自重所作的功，表示抑制抓斗自重所作的功，1W表示抑制缆绳分量所作的功，表示抑制缆绳分量所作的功，2W表示将泥土从井底提升至井口所作的功，表示将泥土从井底提升至井口所作的功，3W30m30m 1400 3012000WJOxxdxx表示抑制抓斗自重所作的功，表示抑制抓斗自重所作的功

12、，1W表示抑制缆绳分量所作的功，表示抑制缆绳分量所作的功，2W取小区间取小区间,dx xx缆绳剩余长度为缆绳剩余长度为30 x2d3050 dWxx3030200d3050 dWWxx 3020150 30225002xxJ30mOxxdxx表示将泥土从井底提升至井口所作的功，表示将泥土从井底提升至井口所作的功，3W留意抓斗在提升过程中泥土以留意抓斗在提升过程中泥土以20N/s漏掉，漏掉，由于抓斗提升速度为由于抓斗提升速度为3m/s，所以抓斗提升至所以抓斗提升至 x 高度时所需时间为高度时所需时间为x/3s，在在 高度抓斗中泥土重为高度抓斗中泥土重为x200020,3x所以所以320d2000

13、d3xWx1030330020d2000d3xWWx 57000 J30mOxxdxx 12391500WWWWJ二、水压力二、水压力侧所遭到的水压力侧所遭到的水压力.d.pg d 从物理学中知道，水深从物理学中知道，水深 处的压强为处的压强为 其中其中gA是水的比重，是水的比重， 为重力为重力. 假设有一块面积为假设有一块面积为 的平板水的平板水.FpAd平地置于深度为平地置于深度为 处，那么平板一侧所受的水压力为处，那么平板一侧所受的水压力为假设平板并非程度地置于水中，我们来得到此时平板一假设平板并非程度地置于水中，我们来得到此时平板一计算闸门的一侧所受的水压力计算闸门的一侧所受的水压力.

14、20m10mxoxdxx6m处所遭到的水的压强近似等处所遭到的水的压强近似等于于,d,x xx2kN/m.xg例例8 某水库的闸门外形为等腰梯形，它的两条底边的长某水库的闸门外形为等腰梯形，它的两条底边的长10 , 6 ,mm20 ,m分别为分别为 和和 高为高为 较长的底边与程度面相齐，较长的底边与程度面相齐，x解解 建立坐标系如图建立坐标系如图. 取取 为积分变量，变化范围为为积分变量，变化范围为0,20 ,0,20在在 中任取一个小区间中任取一个小区间而闸门上对应该小区间的窄条各点而闸门上对应该小区间的窄条各点20m10mxoxdxx6m窄条的宽度近似为窄条的宽度近似为10.5x因此这一

15、窄条一侧所遭到的水压力近似为因此这一窄条一侧所遭到的水压力近似为d10d ,5xFgxx于是所求的水压力为于是所求的水压力为202000d10d5xFFgxx20320514373 kN .15xgxox例例9 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设,R桶的底面半径为桶的底面半径为 求桶的一端面上的水压力求桶的一端面上的水压力.解解 建立坐标系如图建立坐标系如图.取取 为积分变量，为积分变量，x0,xRR取小区间取小区间,d,x xxxdxx压强为压强为.px小矩形的宽为小矩形的宽为222,RxoxRxdxx22d2d ,Px Rxx那么小矩形片所

16、遭到的水压力那么小矩形片所遭到的水压力为为2202dRPx Rxx22220dRRxRx 32.3R例例10 有一个长为有一个长为a，底宽为，底宽为b的薄板放入长方体水箱中，的薄板放入长方体水箱中，取取 为积分变量，为积分变量，x0, sin,xb取小区间取小区间,d,x xx压强为压强为.px斜放小矩形的面积为斜放小矩形的面积为dsinxa薄板与箱底夹角为薄板与箱底夹角为 如图，求薄板一侧遭到的水如图，求薄板一侧遭到的水Oxab压力。压力。sinb建立坐标系如图建立坐标系如图.解解 水箱深为水箱深为sinbxdxxdsinxaOxabsinbxdxxdsinxadd ,sinaPxx那么小矩

17、形片所遭到的水压力那么小矩形片所遭到的水压力为为从而矩形片遭到的水压力为从而矩形片遭到的水压力为sin0dsinbaPxx2221sinsin2sin2abab例例11 有一个半径为有一个半径为2m的球放入水中，中心位于水下的球放入水中，中心位于水下3m,求球面遭到的水压力求球面遭到的水压力.解解 建立坐标系如图建立坐标系如图.取取 为积分变量，为积分变量，x2,2 ,x 取小区间取小区间,d,x xx压强为压强为3 .pxOx23xdxx位于位于 间的球面面积为间的球面面积为,dx xx22=4xy2d24dAxsds2Ox23xdxx22=4xy2d1dsyxds22221dd4xxxyx

18、 d4 dAxd43 d ,Pxx压力元素为压力元素为整个球面遭到压力为整个球面遭到压力为2243 d48Pxx三、引力三、引力 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为 相距为相距为 的两质点的两质点12,m mr122m mFkr其中其中 为引力系数，引力的方向沿这两质点的连线方向为引力系数，引力的方向沿这两质点的连线方向.k间的引力大小为间的引力大小为质点质点 的引力的引力.M质量为质量为 那么引力元素那么引力元素为为d ,y22dd.m yFkayMaydyyyx2l2lrl例例12 有一长度为有一长度为 、线密度为、线密度为 的均匀细棒，在其中垂的均匀细棒，在其中垂am,M线上距棒线上距棒 单位处有一质量为单位处有一质量为 的质点的质点 计算该棒对计算该棒对y解解 建立坐标系如图：取建立坐标系如图：取 为为,dy yy积分变量，在区间积分变量，在区间上，将小段近似看成一个质点，上，将小段近似看成一个质点，Maydyyyx2l2lr从而在程度方向的分力元素为从而在程度方向的分力元素为3/222dd,xamyFkay 于是得到引力在程度方向的分力为于是得到引力在程度方向的分力为/23/2/222dlxlkamFyay 2221.4km laal 由对称性，引力在铅直方向分