实数_知识点+题型归纳

1、第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成正整数* /整数1零 I再理蚪制器 有限小数或循环小数分数J正分数实数，1负分数J:无理/正无理数！无限不循环小数 尢理双负无理数f1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实 数对应二、相反数、绝对值、倒数1.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数 a的相反数是-a。正 数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零 .性质：互 为相反数的两个数之和为002绝对值：表示点到原点的距离，数 a的绝对值为1a|3 .倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1.0没有倒 a数。4

2、 .相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是土 1.三、平方根与立方根1 .平方根：如果一个数的平方等于 a,这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作、：'a（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。2 .立方根：如果一个数的立方等于 a,则称这个数为a立方根。数a的、 一 3 一 ,立方卞!用3 a表小。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是

3、零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b）异号两数相加。绝对值相等时和为 0;绝对值不相等时，取绝对值较 大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加 等于原数。2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。5.有理数的乘方：在an中，a叫底数，n叫指数a）正数的任何次幕都是正数；负数的偶次幕是正数，奇次幕是负数； 0的任何次幕都是0b） a0=1 （a不等于 0）6.有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减b）混合运算，先算括

4、号内的,五实数大小比较的方法3乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都 得零.b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数 的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为 0,积就为04.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相 除。0除以任何非0实数都得001）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2）比差法：若 a-b>0 贝 a>b；若 a-b<0 贝 a<b；若 a-b=0 则 a=b3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>

5、1则a>b; a/b<1则a<bB.两个数均为负数时，a/b>1则a<b; a/b<1则a>bC.一正一负时，正数 >负数4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2,则有a>b；均为负数时相反5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）题型归纳经典例题类型一.有关概念的识别b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。0.231.下面几个数:,1.010010001是无1.010010001 ，3*理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）,其中，无理数的个数有（）A、 1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应

6、用，其中,A、的平方根是土 3 B、1的立方根是土 1C、=± 1=9,9的平方根是土 3, A正确.V1的立方根是1 ,D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,=1 ，是5的平方根，：B、C、D 都不正确.【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是（）A、 1B、1.4C、D、方形的边长为1 ,对角线为由圆的定义知|AO尸【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系. 正示数为,故选C.类型二.计算类型题2.设【变式3】 【答案】n=3.141

7、5，：9 V3nV 10因此3式-9>0, 3n-10V 0,则下列结论正确的是（）C.D.A.B.解析：（估算）因为，所以选B举一反三：【变式11 1） 1.25的算术平方根是 ¥方根是 1.2-27立方根是 3【答案】1).2) -3. 3)(1)(2)【变式2】求下列各式中的(3)x=4【答案】(1)或 x=-2 (3) x=-4类型三.数形结合3.点A在数轴上表木的数为，点B在数轴上表示的举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1,数为，则A, B两点的距离为的对应点分别为 A, B,点B解析：在数轴上找到 A、B两点,关于点A的对称点为C,则点C表示的数是（）C. 2-A

8、.1 B. 1-D.【答案】选C2在数轴上的位置如图所示:变式2已知实数化简类型四.实数绝对值的应用4.化简下列各式:(3)-1.4(2) | it-3.142|I (4) |x-|x-3| (x <3)(5) |x 2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、 负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。解：= 1.414 <-1.41.4|=1.4(2) = 7t =3.14159 -< 3,142A | -3.142|=3.142- it|=(4) vx<3, .,.x-3<0,：|x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2

9、x-3|说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。(5) |x2+6x+10|=|x 2+6x+9+1|=|(x+3) 2+1|,. (x+3) 2>0,(x+3)2+1 >0|x2+6x+10|=x 2+6x+10举一反三：【变式11化简:【答案】类型五.实数非负性的应用5.已知:分析：已知等式左边分母=0,求实数a, b的值能为0,只能有>0, M要求 a+7>0,分子的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0 ,+|a2-49|=0 ,由此得不等式组从而求出a, b的值由非负数解：由题意得由(2)得

10、 a2 =49a=± 7由(3)得a>-7, - a=-7不合题意舍去:只取a=7把 a=7 代入(1)得 b=3a=21/.a=7, b=21 为所求。举一反三：【变式11已知(x-6) 2+值。+|y+2z|=0 ,求(x-y) 3-z3 的解：（X-6） 2+|y+2z|=0且(x-6) 2>0,> 0, |y+2z|>0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0o解这个方程组得 (x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1) 3=64+1=65a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2那么a+b-c的【变式2已知类型六.实数应用题值为【答案】初中

11、阶段的三个非负数:6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积 之和的正方形，问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为 xcm,根据题意得X2=112+13X8-x2=225 x= 土 15.边长为正，：x=-15不合题意舍去，:只取 x=15(cm)答：新的正方形边长应取 15cm。举一反三：【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个 大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)(1)计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长

12、多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2,求中间小正方形的边长.解析：(1)如图，中间小正方形的边长是：,所以面积为大正方形的面积一个长方形的面积所以,答：中间的小正方形的面积（或发现的规律是:小正方形的边长:大正方形的边长:,即大正方形的面所以有,化简得:积比小正方形的面积多 24 cm2代入，得:cm答：中间小正方形的边长2.5 cm。类型七.易错题的平方根是土 15.7.判断下列说法是否正确（2）的算术平方根是-3;(3)当x=0或2时,(4)(2)表示225的算术是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故平方根，即15的平方根,二15.实际上，本题是求的平方根是(3)注意到，当x=0时,xw0,所,显然此式无意义,发生错误的原因是忽视了 “负数没有平方根”，故以当x=2时，x=0.8. (1)已知理数.(4)错在对实数的概念理解不清形如分数，但不是分数，它是无