选修4-4三、2直线的极坐标方程

1、选修选修4 44 4坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一讲第一讲 坐标系坐标系三三. . 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：1 1、根据题意画出草图、根据题意画出草图( (包括极坐标建系包括极坐标建系) )；2 2、设设P P(，) 为所求曲线上的任意一点；为所求曲线上的任意一点；3 3、连结、连结OPOP，寻找寻找OPOP满足的几何条件；满足的几何条件；4 4、依照、依照几何条件几何条件列出关于列出关于，的的方程并化简方程并化简；5 5、检验检验并确定所得方程即为所求。并确定所得方程即为所求。探究探究: :直线的极坐

2、标方程直线的极坐标方程 思考思考1 1：如图，过极点作射线：如图，过极点作射线OMOM，若从极轴到射线，若从极轴到射线OMOM的最小正角为的最小正角为45450 0，则射线，则射线OMOM的极坐标方程是什的极坐标方程是什么？过极点作射线么？过极点作射线OMOM的反向延长线的反向延长线ONON，则射线，则射线ONON的极坐标方程是什么？直线的极坐标方程是什么？直线MNMN的极坐标方程是什的极坐标方程是什么？么？ 4M M4545x xO ON N射线射线OMOM： ； 4射线射线ONON： ；544和和54思考思考2 2：若若0 0，则规定点，则规定点(，) )与点与点( (，) )关于极点对称

3、，则上述直线关于极点对称，则上述直线MNMN的极坐标方程是的极坐标方程是什么？什么？M M4545x xO ON N()4R或或5()4R 和前面的直角坐标系里和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？成。原因在哪？0 可以考虑允许极径可以取全体实数。可以考虑允许极径可以取全体实数。思考：思考：设点设点P P的极坐标为的极坐标为A A ，直线，直线 过点过点P P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 , ,求直线求直线 的极坐标方的极坐标方程。

4、程。 ( ,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线 上异于上异于P P的点的点l连接连接OMOM， oMx p在在 中有中有 MOP sin()sin()a 即即sin()sina显然显然P P点也满足上点也满足上方程。方程。探究：探究：过点过点A(A(a a，0)(0)(a a0)0)，且垂直于极轴的直线，且垂直于极轴的直线l l的极坐标方程是什么？的极坐标方程是什么？M M当当a a0 0时，时，coscosa a； x xO OA Ax xO OA AM M当当a a0 0时，时，coscosa a. .求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1 1、根据

5、题意画出草图；、根据题意画出草图；2 2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )M 3 3、连接、连接MOMO；4 4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，程，并化简；并化简；, 5 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。(2,)4A 变变题题、求求过过点点平平行行于于极极轴轴的的直直线线。OBAM( ， )( , )MlA 解解：如如图图，设设是是直直线线 上上除除点点 外外的的任任意意一一点点(2,)2 sin244AMBsin ,sin2Rt OMBMBOM在在中中，即即sin2 故故所所求求直直线线方方程程为为x(2

6、,)4A 可可以以验验证证，点点 的的坐坐标标满满足足上上式式，几种特殊的直线的极坐标方程：几种特殊的直线的极坐标方程：cosa1.1.与极轴垂直且与极轴距离为与极轴垂直且与极轴距离为a a的直线的的直线的极坐标方程：极坐标方程：cosa 2.2.与极轴反向延长线垂直且距离为与极轴反向延长线垂直且距离为a a的直的直线的极坐标方程：线的极坐标方程：sina3.3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a a的极坐标方程：的极坐标方程：4.4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a a的极坐标方程：的极坐标方程：sina思考思考4：设

7、点设点P P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 , ,求直线求直线 的极坐标方的极坐标方程。程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如图，设点解：如图，设点( , )M 点点P P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OMOM为直线上除为直线上除则则 由点由点P P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM1OP 1xOP 设直线设直线L L与极轴交于点与极轴交于点A A。则在。则在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin()显然点显然点P P的坐标也的坐标也是它的解。是它的解。练习：1.

8、1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：的极坐标方程：（1 1）过极点倾斜角是）过极点倾斜角是 的直线；的直线；3（2 2）过极点（）过极点（2 2， ），并且和极轴垂直的直线；），并且和极轴垂直的直线；3（3 3）圆心在）圆心在A A（1 1， ），半径为），半径为1 1的圆；的圆；4（4 4）圆心在（）圆心在（a a， ），半径为），半径为a a的圆。的圆。32B练习：练习：2.2.两条直线两条直线 与与 的位置关系是（的位置关系是（ ）cos()asin()aA A、平行平行 B B、垂直垂直C C、重合重合 D D、平行或重合平行或

9、重合sin2 cos2cos4 cos4ABCD 、3.3.在极坐标系中，与圆在极坐标系中，与圆 相切的一条相切的一条直线的方程是（直线的方程是（ ）4sinB12121212 AllBllCllDll 、 平平行行、 与与 重重合合 、 和和 斜斜交交B4.4.直线直线 和和 的位置关系是（的位置关系是（ ）sin()a25.5.求过求过A A（-2-2，3 3）且斜率为）且斜率为2 2的直线的极坐的直线的极坐标方程。标方程。.sin2) 3();(65)2(; 5) 1 (R*练习练习*6.6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图. .7.7.把下列直角

10、坐标方程化成极坐标方程：把下列直角坐标方程化成极坐标方程：.16)4(; 0132)3(; 02)2(; 4) 1 (22yxyxyx.sin4cos2)4(;cos10)3(; 04)sin5cos2()2(; 2sin) 1 (8.8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程：把下列极坐标方程化成直角坐标方程：9.9.已知直线的极坐标方程为已知直线的极坐标方程为 求点求点A A（2 2， ）到这条直线的距离）到这条直线的距离. .2sin()4274理论迁移理论迁移 例例1 1 在极坐标系中，已知两曲线在极坐标系中，已知两曲线C C1 1： 和和C C2 2：4cos4cos有公有公共点，求实数共

11、点，求实数m m的取值范围的取值范围. .cos()3mm1 1，33 例例2 2 在极坐标系中，已知点在极坐标系中，已知点A(2A(2，0)0)，点，点P P在曲在曲线线C C： 上，求上，求|PA|PA|的最小值的最小值. .222cossin2 2 例例3 3 在直角坐标系中，过原点在直角坐标系中，过原点O O作椭圆作椭圆3x3x2 2y y2 21 1的两条互相垂直的弦的两条互相垂直的弦ABAB，CDCD，求，求|AB|AB|2 2|CD|CD|2 2的取值范围的取值范围. .x xy yO OA AB BC CD D164,3 例例4 4 过原点作直线过原点作直线l l，分别交圆，分别交圆 x x2 2y y2 22 2a ax x0 0和和x x2 2y y2 23 3a ax x0 0于于A A、B B两点，在线段两点，在线段ABAB上上取一点