第五章 Radon-Wigner变换

1、第五章 Radon-Wigner变换5.1 Radon变换n提出的原因：理想LFM信号的Wigner-Wille分布为直线型冲激函数，有限长的LFM信号的Wigner-Wille分布为背鳍状，所以对其时频平面沿相应直线作积分平滑，是抑制交叉项的一种理想选择。nRadon-Wigner 变换是对Wigner -Wille分布的时频平面作直线积分投影的Radon变换，统称对信号作Radon -Wigner 变换。5.1 Radon变换nRadon变换历史：Radon变换是J. Radon于1917年提出的。在Fourier变换及它们对应的卷积可以快速计算之前，Radon变换的计算几乎没有引起人们的

2、兴趣。现在Radon变换已经成为医学成像和许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视。n1962年，P. Hough又从图形特征检测的角度提出了Hough变换。由于以直线图形为特征的Hough变换与Radon变换相当，所以在有些文献里，也称Radon -Wigner 变换为Hough-Wigner 变换。 5.1 Radon变换nWigner-Wille分布的边缘积分 ：2( ,)( )( )zzW tdtSZ21( , )( )2zW tdZ t5.1 Radon变换nRadon变换原理：n将原直角坐标选择角得到新的直角坐标(u,v)，这时以不同的u值平行于v轴积分，所得到的结果即为Radon变

3、换。0图5.1.1 Radon变换的几何关系tu0t0PQv5.1 Radon变换n一般Radon变换：设二维平面(t,)有一任意的二维函数f(t,)，则其Radon变换可写成n (5.1.3)n利用两平面坐标之间的关系可得到n (5.1.5 )n用表示Radon变换算子，则式(5.1.3)可改写为 n ( ,)( ,)( cossin, sincos)fPQR f tP tf uud线( )( ,)PQP uf td线( )( cossin, sincos)PQP uf uud线(cossin ,sincos ) ()f uuuu du d （5.1.6）5.1 Radon变换医学图像重构图

4、5.1.2 倾角为的谱函数5.1 Radon变换n医学图像重构原理：设二维平面(t,)有一任意的二维函数f(t,)，则其二维Fourier变换可写成n (5.1.7)n利用两平面坐标之间的关系可得到n上式也可以简写成12()12(,)( , )twFf tedtd 12(,)( cossin , sincos )j uFf uudedu 12(,)( )j uFP u edu 5.1 Radon变换cossinut图5.1.3 Hough变换的映射关系Hough变换:它是一种特征检测方法，它可以将平面里符合某种特征的图形（这里只讨论直线图形）映射为另一个二维平面上的一个点。 (t, )平面的直

5、线方程可用参数u（原点垂直距离）和（倾角）表示: 图(b)中的一点(如A点),u和为某常数,因此在图(a)的坐标里对应为虚直线。将上式整理，可得:22sin(arctan)tut5.1 Radon变换 对于图(a)中虚直线上的一点，t和是某常数，从上式知图(b)的对应结果为一正弦波。图(b)中的三条正弦曲线对应于图(a)中直线上的1，2，3三个点。 可以想象到，当图2(a)中除所示的虚直线外，还存在随机散步的点状噪声时，图(a)中的每一点均在图(b)中对应一条正弦曲线，而虚直线上各点所对应的正弦曲线均穿过A点。若图(a)至图(b)的映射保持原有强度，且在交会点线性相加(相当于积分)，则在该点积

6、累而形成尖峰，同时也存在低噪声。5.2 Radon-Wigner变换 RWT：变换对象由一般的二维函数f(t, )代之以信号z(t)的Wigner-Wille分布Wz(t, ) ，所得Radon变换即是信号z(t)的Radon-Wigner 变换(RWT) ，即：( , ) ( )( , )zWzD uRz tR W t( cossin, sincos)zPQW uud线(cossin,sincos ) ()zW uuuu du d 5.2 Radon-Wigner变换 当z(t)为一般信号时，由式(5.1.6)求信号z(t)的Radon-Wigner 变换，并以参数(m, 0)表示积分路径，

7、则有( , )( , )( , ) ()zzzPQD uW tdW tuu du d 线0( , ) sin()zW tmt d dt 01( , ) ()sinzW tmt d dt 00cot/sin1( ,)sinzmuW tmt d 上式表明，若z(t)是参数为0和m的LFM信号,则积分值最大；而当参数偏离0与/或m时,积分值迅速减小,即对一定的LFM信号，其Radon-Wigner 变换会在对应的参数(m, 0)处呈现尖峰。5.2 Radon-Wigner变换 若将积分路径的直线参数改用t轴的截距t0和相对于轴的斜率p表述，写成t=t0+p 0的形式,则类似的，z(t)的Radon-

8、Wigner 变换可写为:tan,p 0costu00tan/cos1( , )(, )coszzptuD uWptd5.2 Radon-Wigner变换 z(t)的Radon-Wigner变换也可用z(t)的模糊函数Wz(t,) 表示 :01( , )()()()sin22jzD uz tz temt d d dt 0()1()()sin22jmtz tz ted dt 00cot/sin1( ,)sinjzmuAmed 5.2 Radon-Wigner变换小结 Radon-Wigner Radon-Wigner变换通过变换通过WignerWigner-Ville-Ville分布和分布和Ra

9、don Radon 变换二者的结合，提供了信号处理技术与图变换二者的结合，提供了信号处理技术与图象处理技术之间的联系桥梁。象处理技术之间的联系桥梁。 例如，它可以将信号检测与参数估计转化为图例如，它可以将信号检测与参数估计转化为图像（像（WignerWigner-Ville-Ville分布）中直线的检测问题。分布）中直线的检测问题。5.3 Radon-Wigner变换的计算 线性调频(LFM)信号应用十分广泛， LFM信号检测是LFM信号处理的一个主要问题，由检测理论知，白噪声中信号的最佳检测方法是匹配滤波，但LFM信号有两个主要参数起始频率0和调制斜率m,在它们均未知的情况下，无法固定匹配滤

10、波器. LFM信号检测问题是关于起始频率0和调制斜率m 的二维优化搜索问题，“解线调（dechirping）”是LFM信号检测中的一种重要方法，它可完成对LFM信号的估计。5.3.1 连续LFM信号的解线调 所谓解线调就是解除LFM信号z(t)的线性调制，若z(t)是单分量连续线性调频信号，则解线调之后的信号就是一个单频信号。从参数估计的角度来看，解线调就是估计LFM信号的起始频率0和调制斜率m两个参数。 解线调可以在时域进行，也可以在频域中进行，它们分别称为时域解线调和频域解线调。5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调 若LFM信号z(t)的m值已知，则用一个解调信号与之相乘即可. 20

11、12( )( )jmtjtmftz t ee201()20(, )( )( )jmttj tmFmf t edtz t edt此时，fm(t)变成了单频信号,其频率为0.5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调 实际LFM信号z(t)的m值未知,可以用m为变量，搜索计算fm(t)的相关函数和功率谱.*( , )()()() ()2222jmtfmmRmftftdtz tz tedt dtdetztzdemRuFuSmtjjfssssf)(*200)2()2(),(| ),(|),( 功率谱图中，峰值点的坐标0和m分别是LFM信号z(t)的起始频率和调制斜率。将0和m视为需要搜索的变量，对0和

12、m的可能取值计算fm(t)的功率谱，其峰值坐标给出了单分量LFM信号的起始频率和调制斜率。 5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调 如果z(t)是多分量LFM信号201()21( )iipjtm tiz te 则fm(t)的功率谱在二维(us,s)平面上有p个峰值，对应的坐标给出p个调频分量的起始频率和调制斜率。5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调 如果z(t)是多分量LFM信号201()21( )iipjtm tiz te 则fm(t)的功率谱在二维(us,s)平面上有p个峰值，对应的坐标给出p个调频分量的起始频率和调制斜率。5.3.1.1 时域解线调 dtmttWdtdetztz

13、uFuSzmtjssssf),()2()2(| ),(|),(0)(*20detztztWjz)2()2(), (*5.3.1.1 时域解线调02000cot/sin221()2cot/sin1( , )( ,)sin1(,)sin1( )sintzzmussjmtmuD uW tmt dtF uz t edt时域解线调与Radon-Wigner变换的联系5.3.1.1 时域解线调小结 已知m的值,可以直接将信号在时域中解线调 未知起始频率0和调制斜率m, 以m为变量求取解线调信号 fm(t)的功率谱。将0和m视为需要搜索的变量. 当 0时，m - ，时域解线调不能使用。 LFM信号为无限长时

14、，才会在相应参数处表现为冲激函 数，信号为有限长时，冲激函数被展开，还会产生旁瓣。 时域解线调的时域支撑区不变，只是沿频率轴拉斜，适用 范围为3/4 = /4。 Radon-Wigner变换可以用时域解线调直接计算。5.3.1.2 频域解线调)(2)()(0221pjpeZG 设z(t)的频谱为Z(),将其与频率平方成正比的相位旋转因子相乘可得：011022( )( )()jtj tj tppgtGedede Fourier反变换为： 频谱里增添与频率平方成正比的相位，相当于信号增添了与频率成正比的群时延(通常把具有频率特性的器件称为色散延迟线，即延迟与各分量的频率成线性关系)。5.3.1.2

15、 频域解线调 当色散延迟线的输入为具有宽频带的高频脉冲时，由于不同频率分量有与之成正比的不同时延，所以输出是被展宽了的LFM信号。 相反，若输入为LFM信号，且调频斜率与色散延迟系数具有相同数值和相反符号时，则输出是被压缩了的窄脉冲。相反，若输入为LFM信号，且调频斜率与色散延迟系数具有相同数值和相反符号时，则输出是被压缩了的窄脉冲。5.3.1.2 频域解线调dGGpRppG)2()2(),(*dptWddetZtZdepRtgzptjtjGp),()2()2(),(| )(|0)(*21212000频谱GP(),的自相关函数,及它的Fourier反变换，即瞬时功率5.3.1.2 频域解线调0

16、200tan/cos11( , )(, )( )coscoszzpptuD uW ptdg t 20021()122tan/cos1( )|cos |jptptuZed频域解线调与Radon-Wigner变换的联系5.3.1.2 频域解线调小结 已知p的值,可以将信号在频域中解线调. 未知起始时间t0和调制斜率p, 以p为变量求取解线 调信号的瞬时功率。将t0和p视为需要搜索的变量. 当 /2时，p +，频域解线调不能使用。 z(t)的Radon-Wigner 变换可用其频域解线调模的平 方与尺度因子1/|cos|的乘积计算。 5.3.1.2 频域解线调示例图(a)为未作解线调时wigner-

17、wille平面情况.图(b)为= /8时频域解线调的情况,原信号矩形支撑区变为菱形,正斜率信号的时间边缘特性随之伸展.图(b)为= /4的情况, 菱形信号支撑区更加下倾,相邻的时间边缘特性已经相连接.5.3.1.3 时域解线调与频域解线调关系 解线调处理相当于将时频平面的矩形支撑区拉斜为菱形，时域法的时域支撑区不变，只是沿频率轴拉斜，频域法的频域支撑区不变，只是沿时间轴拉斜。 虽然时域和频域解线调的信号支撑区具有不同的变形，但由于RWT变换是平面的二维积分变换，只要时域解线调所用参数和频域解线调所用参数都与相同的RWT中的参数相对应，则时域和频域两种方法所得结果等价。可以由Parseval公式

18、证明.5.3.1.3 时域解线调与频域解线调关系22111210002422()()()1( )2, ( )pppjtjtt tj tppHeh tee2110222()*1211( , )( )( )( )coscosppjtt tzD uZHdz t edtp*12( )( )( )( ),z t h t dtZHd20021()2cot/sin1( , )( )sintjmtzmuD uz t edtParseval公式:进行参数改写得:结合5.3.11和5.3.12有:假设H()值如下:5.3.2 离散LFM信号的解线调*22( , )()()fknf nfn*22( )( , )()

19、()ffnnkknf nfn方法:求和代替积分表示为瞬时自相关函数的时间求和:定义离散信号f(n)的时变自相关函数为:5.3.2.1 离散LFM信号时域解线调00()*22( )()()mjj mnfnkez nz ne02*00,01( )()()( ,)jmmmz EXnfeFFDnmnn20120( )( ),()( )j mnjtmmmnfnz n eFfn e将5.3.1离散化:上式即为离散LFM信号时域解线调.上式左右进行适当整理得:将5,3,17式中,用fm(n)代替f,进行Fourier变换得:5.3.2.2 离散LFM信号频域解线调*( )()()22pGppRGGd02*1

20、00,0( )()()(, )j npppz EXNGedgn gnDpnd21021( )( ),( )( )j pj npppNGZegnGed将考虑离散形式:上式即为离散LFM信号频域解线调.注:注意避免混叠!上式左右进行适当整理得:频率自相关函数:5.4 离散Randon-Wigner变换的实现 时域解线调需要半带宽信号，频域解线调需要半时宽信号。 由于Radon变换具有反对称性，所以只需要计算0弧度范围的投影，其他部分可以利用反对称关系计算。 计算流程图见P164. 图中,离散Radon-Wigner变换实现的两个实际细节是:1)校正时域解线调和频域解线调暗示的投影半径倾斜;2)选择

21、旋转轴。如果只是对计算Radon-Wigner平面的统计量(如作为角度函数的峰值坐标或极大值，均值或方差)感兴趣，那么径向插值就没有必要。5.4 Randon-Wigner变换的性质(1)线性性质:Radon变换是线性的，而WignerVille分布变换是双线性的.两个变换都有交叉项，即：信号之和的RadonWigner变换包含了信号项和交叉项。 2222,fgfggffgfggfD af tbg tR W af tbg tR a Wtb Wtab Wtba Wta Dub Duab Duba Du5.4 Randon-Wigner变换的性质(2)时移和频移特性:WignerVille变换具有

22、移不变性。由于Radon变换以u和为变量，所以，对任何上的平移，可以通过改变u值使积分值不变。时移和频移只是在Wigner时频平面里作RadonWigner变换时使积分路线u发生平移，不改变的值。 ,sincos,11tuDuDff,cos),()(000tuDttWRttfRffW,sin),()(000uDtWRetfRfftjW5.4 Randon-Wigner变换的性质(3)投影特性投影切片定理：以某一角度从RadonWigner变换切得的切片和用与频率滞后轴所夹的角度通过模糊平面原点切得的切片之间存在着Fourier变换关系。sincos,jupfffDueduAA 5.4 Rand

23、on-Wigner变换的性质WignerVille分布 、模糊函数和RadonWigner变换之间存在着密切的关系, 如右图所示,图中还给出了利用Radon反变换重构Wf(t,)的方法.5.4 Randon-Wigner变换的性质(4)卷积特性 函数f(t)和g(t)在RadonWigner域对u的一维卷积产生在时频平面的二维卷积。,tWtWRuDuDgtfguf5.4 Randon-Wigner变换的性质(5)遮隔特性 用于对交叉项的掩模。一个RadonWigner变换与一个掩模函数的积在模糊平面产生一个径向卷积。,ffuDum uAMMFm u 5.5 Randon-Wigner变换的应用

24、5.5.1 信号综合 所谓信号综合，就是利用某已知时频表示求原信号。通常，修正后的RadonWigner表示并不具备一个合适的RadonWigner变换应有的特性，也就说反变换有可能不存在。于是,我们就希望找到一个g(t)使其RadonWigner变换在最小L2范数意义下最优逼近给定的D(u,),即:2( )argmin( , )( , )ggg tD uD u5.5.1 信号综合先做T对于t0的Fourier变换,然后除以使用过的复LFM信号以产生投影,最后做Fourier反变换.示意见右图.5.5.1 信号综合 利用带通滤波器进行信号分析与综合的过程.滤波的作用使频率缓慢升高的LFM信号变

25、成了正弦波,在频域为一冲击函数. 下方四幅图说明了带通滤波器抑制噪声的作用.当两个LFM信号彼此靠近时,虽然可以抑制噪声,但是两个信号却不能分离.5.5.2 多分量LFM信号的自适应时频滤波 自适应时频滤波利用信号项、交叉项和噪声性质的先验知识,以提高时频平面的信噪比并抑制交叉项. 右图(a)是两个信号各自的RW变换.(b)是交叉项的RW变换.(c)是用角度做变量,画出该切片极大值的分布,还画出了交叉项加大十倍幅值.5.5.2 多分量LFM信号的自适应时频滤波 右图是移变平滑滤波的结果. 左图是未做平滑滤波的情况,中间画出了三种卷积窗函数参数取不同值得情况,最右边是平滑滤波得到的结果. 可以看

26、出信号峰基本保留了原来的尖锐度,低幅震荡则明显被平滑.5.5.3 LFM信号检测 上式揭示了阈值的作用.也说明RW变换既有可能改善信噪比,也有可能使信噪比恶化,取决于输入信噪比的大小. 信噪比门限:信噪比改善和恶化的转折点. 解线调具有线性相干积累作用,其增益为N,但是RW变换还要对它做取模平方的非线性变换.若积累后的信噪比仍小于1,则取模平方的非线性变换中的大压小的作用会使信噪比变坏.44223222()2(1)INOUTnINN AN SNRSNRN ANSNR5.5.3 LFM信号检测 右图是两个观测序列的处理结果. 序列1由四个LFM信号与较信号低3dB的高斯白噪声组成. 序列2由两个交叉的LFM信号与较信号低1.6dB的高斯白噪声组成. 可以看出,WV分布存在严重的交叉项,CW分布的交叉项明显减小.二者时频局域性都不好.RW变换具有较好的时频局域性.5.5.4 逆合成孔径雷达成像 逆合成孔径雷达(ISAR)能从固定或运动平台对飞机、导弹、舰船等运动目标进行全天候、全天时的远距离成像，是近年来得到广泛重视的一种雷达新技术.它与合成孔径雷达(SAR)的主要区别在于:ISAR.一般固定在地面上，目标运动，而(SAR)则装载在飞机、卫星等运动平台上。所谓(ISAR)成像，就是根据目标的散射点模型，由雷