高校(理工类)数学第4节罗伦级数教学(课堂讲义)

1、4.4 罗伦罗伦/洛朗级数洛朗级数1、问题的引入2、罗伦级数的概念3、函数的罗伦展开式 4、典型例题5、小结与思考一、问题的引入一、问题的引入问题问题: . , )( 00的的幂幂级级数数是是否否能能表表示示为为不不解解析析在在如如果果zzzzf nnnzzc)(. 10 双边幂级数双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 问题的引入问题的引入nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz

2、收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR R问题的引入问题的引入结论结论:的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201RzzR 圆环域圆环域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z问题的引入问题的引入:10 内内在圆环域在圆环域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解

3、析的内都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2、问题：问题：在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数? ?,111zz 问题的引入问题的引入所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z内可以展开成级数内可以展开成级数.内内，在在圆圆环环域域110 z也可以展开成级数：也可以展开成级数：)1(1)(zzzf 1211(1)1 (1)(1)( 1)(1).nnzzzz 211 (1)(1)( ) (1)1nnzzzz 111(1)zzz 二、罗伦级数的概念二、罗伦级数的概念 讨论下列形式的级数： （4.

4、4.1）其中，z0和cn(n=0,1,2,)都是常数。把级数(4.4.1)分成两部分来考虑，即正幂项（包括常数项）部分： （4.4.2）与负幂项部分 （4.4.3）罗伦级数罗伦级数级数(4.4.2)是一个通常的幂级数，它的收敛范围是一个圆域。设它的收敛半径为R2，那么当|zz0|R2时，级数发散。 罗伦级数罗伦级数级数(4.4.3)是一个新型的级数。如果令=(zz0)-1，那么就得到 （4.4.4）对变数来说，级数(4.4.4)是一个通常的幂级数。设它的收敛半径为R，那么当|R时，级数发散。因此，如果我们要判定级数(4.4.3)的收敛范围，只需把用(zz0)-1代回去就可以了，如果令1/R=R

5、1，那么当且仅当|R1；当且仅当|R时，|zz0|R1时收敛；当|zz0|R2（如图(a)），级数(4.4.2)与(4.4.3)没有公共的收敛范围。所以，级数(4.4.1)处处发散；罗伦级数罗伦级数当R1R2时（如图(b)），级数(4.4.2)与(4.4.3)的共公收敛范围是圆环R1|zz0|R2。所以，级数(4.4.1)在这圆环内收敛，在这圆环外发散。在圆环的边界|zz0|=R1及|zz0|=R2上可能有些点收敛，有些点发散。这就是说，级数(4.4.1)的收敛区域是圆环：R1|zz0|R2。在特殊情形，圆环的内半径R1可能等于零，外半径R2可能是无穷大。罗伦级数罗伦级数幂级数在收敛圆内具有的

6、许多性质，级数(4.4.1)在收敛圆环内也具有。例如，可以证明，级数(4.4.1)在收敛圆环内其和函数是解析的，而且可以逐项积分和逐项求导。由上节可知，在以为中心的圆域内解析的函数可用泰勒级数来表示。如果函数在以为中心的圆环内解析，那末它是否能用级数来表示呢？罗伦级数罗伦级数试先看下例。函数f(z)=1/(z(1z)在z=0及z=1都不解析，但在圆环0|z|1及0|z1|1内都是处处解析的。先研究在圆环：0|z|1内的情形。我们有f(z)=1/(z(1z)=1/z+1/(1z)上节例4-2-1中的，当|z|1时，有所以由此可见，f(z)在0|z|1内是可以展开为级数的。罗伦级数罗伦级数其次，在

7、圆环：0|z1|1内也可以展开为级数：从以上的讨论看来，函数f(z)=1/(z(1z)是可以展开为级数的，不过这时的级数，含有负幂的项罢了。据此推想起来，在圆环域R1|zz0|R2内处处解析的函数f(z)，可能展开形如(4.4.1)的级数。罗伦级数罗伦级数定理4-4-1 设f(z)在圆环域R1|zz0|R2内处处解析，那么其中，这里C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。 ,)()(0nnnzzczf cn为洛朗系数。为洛朗系数。定理定理4-4-1 证明 设z为圆环域内的任一点，在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2，K2的半径R大于K1的半径r，且使z在K1与K2之间（ 如图）由

8、柯西积分公式（第3章习题18）得对于上式右端第一个积分来说，积分变量取在圆周K2上，点z在K2的内部，所以 。定理定理4-4-1 又由于|f()|在K2上连续，因此存在一个常数M，使得|f()|M。跟第3节中泰勒展开式的证明完全一祥，可以推得：应当指出， 并不等于f(n)(z0)/n!，因为这时函数f(z)在K2内不是处处解析的。定理定理4-4-1 再来考虑第2个积分 。由于积分变量取在K1上，点z在K1的外部，所以 。因此就有定理定理4-4-1 所以其中，定理定理4-4-1 现在我们要证明 在K1外部成立。令显然q是与积分变量无关的量，而且0q1，因为z在K1的外部，由于|f()|在K1上连

9、续，因此存在一个常数M1，使得|f()|M，于是有：定理定理4-4-1 因为 ，所以 ，从而有综上所述，我们有其中，（4.4.5）（4.4.7）（4.4.6）定理定理4-4-1 级数(4.4.5)的系数由不同的式子(4.4.6)与(4.4.7)表出。如果在圆环域内取绕z0的任何一条简单的闭曲线C，那末根据闭路变形定理，这两个式子可用一个式子来表示： （4.4.8）证毕定理定理4-4-1说明说明函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正

10、、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .罗伦级数罗伦级数在许多应用中，往往需要把在某点z0不解析但在z0的邻域内解析的函数f(z)展开成级数，那末就利用罗伦级数来展开。象泰勒级数一样，罗伦级数在它的收敛圆环域内可逐项求导或积分。另外，一个在某一圆环内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的罗伦级数。级数(4.4.5)叫做函数f(z)在z0以为中心的圆环：R1|zz0

11、|R2内的罗伦（laurent）级数。罗伦级数罗伦级数事实上，假定f(z)在圆环域R1|zz0|R2内不论用何种方法已展成了由正、负幂项组成的级数： ，并设C为圆环域内任何一条正向简单闭曲线，为C上任一点，那末 以(z0)-p-1去乘上式两边，这里p为任一整数，并沿C的正向积分，得罗伦级数罗伦级数从而这就是(4.4.8)。三、函数的罗伦级数展开式三、函数的罗伦级数展开式罗伦展开式的系数cn用公式去计算是很繁重的。根据含正、负幂项级数的唯一性，我们可以用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法去展开，这样往往比较便利。常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1、直接

12、展开法、直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦.2、间接展开法、间接展开法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项求导；在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分；在收敛圆环域内的罗伦级数的和函数是解析函数。级数展开举例级数展开举例 例4-4-1 函数

13、f(z)=1/(z1)(z2)在圆环域（1）0|z|1；（2）1|z|2；（3）2|z|内是处处解析的。试把f(z)在这些域内展开成罗伦级数。解 先把f(z)用部分分式来表示f(z)=1/(1z)+1/(2z)然后利用第2节例4-2-1的结果：例例4-4-1 （1）在0|z|1内（如图(a），由于|z|1，从而|z/2|1。所以 （4.4.9） （4.4.10）例例4-4-1 因此，我们有结果中不含有z的负幂项，原因在于f(z)=1/(z1)(z2)在z=0处是解析的。例例4-4-1 （2）在1|z|1，所以(4.4.9)不成立，但此时|1/z|1，因此把1/(1z)另行展开如下 （4.4.1

14、1）并由于此时|z|2，从而|z/2|1。所以(4.4.10)仍然有效。因此我们有例例4-4-1 （3）在2|z|2，所以(4.4.10)不成立，但此时|2/z|1，因此把1/(2z)另行展开如下并因此时|1/z|2/z|1，所以(4.4.11)仍然有效。因此，我们有：级数展开举例级数展开举例例4-4-2 把函数 在0|z|内展开成罗伦级数。解函数 在0|z|内是处处解析的。我们知道，ez在复平面被的展开式是而1/z在0|z|解析，所以把上式中的z代换成1/z，两边同时乘z3以，即得到所求的罗伦展开式 例例4-4-2 级数展开举例级数展开举例例4-4-3 求积分 的值。解 函数1/z(z+1)

15、(z+4)在1|z|4内处处解析，把它在圆环域内展开成罗伦级数：例例4-4-3 所以)c1=1/12。由于z=3在圆环域1|z|4内，根据（4.3.5）有罗伦级数罗伦级数应当注意，给定了函数f(z)与平面内一点z0以后，由于这个函数可以在以z0为中心的（由奇点隔开）不同圆环域内解析，因而在各个不同的圆环域中有不同的罗伦展开式（包括泰勒展开式作为它的特例）。但不要把这种情形与罗伦展开式的唯一性相混淆。我们知道，所谓罗伦展开式的唯一性，是指函数在某一个给定的圆环域内的罗伦展开水展开式是唯一的。另外，在展开式的收敛圆环域的内圆周上有f(z)的奇点，外圆周上也有f(z)的奇点，或者外圆周的半径为无穷大

16、。罗伦级数罗伦级数例如函数有两个奇点z=0与z=i，分别在以i为中心的圆周：|zi|=1与|zi|=2上（如图）。因此，f(z)在以i为中心的展开式有3个： （1）在|zi|1中的泰勒展开式； （2）在1|zi|2中的罗伦展开式； （3）在2|zi|中的罗伦展开式。四、典型例题四、典型例题 例例11, 0 内内在在 z. )( 2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzC 例例1 3 ,n 当时0 nc3 ,znez在圆环域内解析故由柯西故由柯西古萨

17、基本定理知古萨基本定理知: 3 ,n 当时由高阶导数公式知由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 Cnneic例例1另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇既是各负幂项的奇点点,. 2的奇点的奇点也是函数也是函数zez典型例题典型例题 例例2 2 : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解

18、析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1内内在在 z例例2oxy1,1 z由于由于 nzzzz2111则则2112121zz )( zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z从而从而 nnzzz22212122例例2 , 21 )2内内在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122例例2)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121

19、zzzzznn, 2 )3内内在在 z2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 例例2 24211zzz, 121 zz此时此时仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz例例2注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项, 而且而且0z又是这些又是这些项的奇点项的奇

20、点, 但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是例例22. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛典型例题典型例题解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3. 0 sin 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成在在将函数将函数 zzz )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn典型例题典型例题例例4 4. 2 )2( 01展开成洛朗级数展开成洛朗级数的去心邻域内的去心邻域内在在将函数将函数 zzz解解 , 220 内内在在 z ) 2(1)(zzzf 22112121zz 011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz典型例题典型例