计算机逻辑电路第4章

1、第4章 正弦稳态电路分析第第4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 4.1 正弦信号的基本概念正弦信号的基本概念 4.2 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示4.3 基本元件基本元件VAR和基尔霍夫定律的相量形式和基尔霍夫定律的相量形式4.4 复阻抗与复导纳型复阻抗与复导纳型4.5 相量法分析相量法分析4.6 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7 谐振电路谐振电路4.8 三相电路三相电路第4章 正弦稳态电路分析4.1 正弦信号的基本概念正弦信号的基本概念 4.1.1 正弦信号的三要素正弦信号的三要素 正弦信号的大小与方向都是随时间作周期性变化的，信号在正弦信号的大小与方向都是随时间作周

2、期性变化的，信号在任一时刻的值，称为瞬时值。在指定的参考方向下，正弦电流、任一时刻的值，称为瞬时值。在指定的参考方向下，正弦电流、电压的瞬时值可表示为电压的瞬时值可表示为 i(t)=Imsin(t+i) (41) u(t)=Umsin (t+u) (42) 现以现以i(t)为例，说明正弦信号的三要素。为例，说明正弦信号的三要素。 随时间按正弦规律变化的电流、电压称为正弦信号，或下随时间按正弦规律变化的电流、电压称为正弦信号，或下弦交流电。弦交流电。 正弦交流电容易产生、便于控制和变换，能远距离传输。正弦交流电容易产生、便于控制和变换，能远距离传输。第4章 正弦稳态电路分析 式式(41)中，中，

3、Im是正弦信号在整个变化过程中可能达到的最是正弦信号在整个变化过程中可能达到的最大幅值，称为大幅值，称为振幅或最大值振幅或最大值。(t+i)是正弦信号的是正弦信号的相位相位，t=0时的时的相位相位i称为称为初相位，简称初相初相位，简称初相，单位是弧度，单位是弧度(rad)或度或度()。通常。通常规定初相在规定初相在|i|范围内取值范围内取值。一个正弦信号，若与时间轴原点间。一个正弦信号，若与时间轴原点间隔最近的正向隔最近的正向(信号值由负到正信号值由负到正)过零点位于原点左侧时，过零点位于原点左侧时，i0；否则，否则，i0。=d(t+i)/dt称为称为角速度或角频率角速度或角频率，单位是弧度，

4、单位是弧度/秒秒(rad/s),它表示正弦信号变化的快慢程度。它表示正弦信号变化的快慢程度。图图4.1 正弦电流的波形正弦电流的波形 第4章 正弦稳态电路分析 式式(41)表明，若知道了正弦信号的振幅、角频率和初相，就能完全表明，若知道了正弦信号的振幅、角频率和初相，就能完全确定它随时间变化的全过程，所以常称确定它随时间变化的全过程，所以常称振幅、角频率和初相振幅、角频率和初相为正弦信号为正弦信号的三要素。的三要素。 由于正弦信号变化一周，其相位变化由于正弦信号变化一周，其相位变化2弧度，因此，角频率弧度，因此，角频率也可表也可表示为示为22fT(43) 式中式中T为正弦信号的为正弦信号的周期

5、，单位是秒周期，单位是秒(s)。f为频率，单位是赫为频率，单位是赫兹兹(Hz)。当频率很高时，常用千赫兹。当频率很高时，常用千赫兹(kHz)或兆赫兹或兆赫兹(MHz)作单位，作单位，其转换关系是其转换关系是 1MHz=103kHz=106Hz 正弦电流正弦电流i(t)的波形图如图的波形图如图4.1所示。图所示。图4.1(a)中横坐标变量是时中横坐标变量是时间间t;图图4.1(b)中横坐标变量是中横坐标变量是t。第4章 正弦稳态电路分析 4.1.2 相位差相位差两个两个同频率正弦信号同频率正弦信号在任一时刻的相位之差称为相位差。假设同频在任一时刻的相位之差称为相位差。假设同频率的正弦电流和电压为

6、率的正弦电流和电压为 i(t)=Imsin(t+i) u(t)=Umsin(t+u) 则其相位差则其相位差 =(t+i)-(t+u)=i-u 如果如果=i-u0，如图，如图4.2(a)所示，则表示随着所示，则表示随着t的增加，电流的增加，电流i要比电压要比电压u先到达最大值或最小值。这种关系称先到达最大值或最小值。这种关系称i超前超前于于u或或u滞后滞后于于i,其超前或滞后的角度都是其超前或滞后的角度都是；如果；如果0,如图如图4.2(b)所示，则结所示，则结论恰好与上面情况相反。论恰好与上面情况相反。第4章 正弦稳态电路分析 图图4.2 相位差相位差 如果如果0,如图如图4.2(b)所示，则

7、结论恰好与上面情况相反。所示，则结论恰好与上面情况相反。 如果如果=0，则称，则称i与与u同相同相。如图。如图4.2(c)所示，表示所示，表示i与与u同时达到同时达到最小值、零值与最大值。最小值、零值与最大值。 如果如果=，则称，则称i与与u反相反相。此时，如图。此时，如图4.1(d)所示，当所示，当i达到达到最大值时，最大值时，u却为最小值，反之亦然。却为最小值，反之亦然。第4章 正弦稳态电路分析 例例1 已知正弦电流已知正弦电流i1、i2和正弦电压和正弦电压u3分别为分别为 i1(t)=5sin(t+30)A i2(t)=-10sin(t+45)A U3(t)=15cos(t+60)V 试

8、比较试比较i1与与i2、i1与与u3间的相位关系。间的相位关系。 解解 比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率或角比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数，以及瞬时表频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数，以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于达式前面负号对相位的影响。由于 i2(t)=-10sin(t+45)=10sin (t-135) u3(t)=15cos(t+60)=15sin (t+150) 所以，所以，i1与与i2间的相位差为间的相位差为 12=30-(-135)=165 i1与与u3间的相位差为间的相位差为 1

9、3=30-150=-120 第4章 正弦稳态电路分析 4.1.3 有效值有效值设有两个相同的电阻，分别通以周期电流和直流电流。如果在一周设有两个相同的电阻，分别通以周期电流和直流电流。如果在一周期内，两个电阻消耗的能量相同，就称该直流电流值为周期电流期内，两个电阻消耗的能量相同，就称该直流电流值为周期电流的有效值。的有效值。 当周期电流当周期电流i通过电阻通过电阻R时，一周期内电阻消耗的电能为时，一周期内电阻消耗的电能为200( )( )TTiWp t dtRi t dt 式中式中T为周期信号的周期。为周期信号的周期。 当直流电流当直流电流I通过电阻通过电阻R时，在相同时间时，在相同时间T内，

10、电阻消耗的电能内，电阻消耗的电能为为 WI=RI2T 然后，令然后，令Wi=WI,则有则有于是，周期电流于是，周期电流i的有效值为的有效值为 201( )TIit dtT(44) 第4章 正弦稳态电路分析 因为正弦电流是周期电流，所以可直接应用式因为正弦电流是周期电流，所以可直接应用式(44)求出它的求出它的有效值。设正弦电流有效值。设正弦电流 i(t)=Imsin(t+i) 将它代入式将它代入式(44),得得220201sin ()1cos2()20.7072TmiTmimmIItdtTItdtTII(45) 20.70722mmmUUUUU第4章 正弦稳态电路分析 同样地，可求得正弦电压u

11、=Umsin(t+u)的有效值表达式为( )2 sin()( )2sin()iui tItu tUt 在电工技术中，通常用有效值表示交流电的大小。例如交流电压220V、交流电流50A，其电流电压值都是有效值。各种交流电气设备铭牌上标出的额定值及交流仪表的指示值也都是有效值。第4章 正弦稳态电路分析 例2 已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为/6弧度，由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。 解 因为 ,所以50,6fHzrad2250314/22220311mfrad sUUV电源电压瞬时值表达式为( )sin()311sin(314)6mu

12、u tUttV第4章 正弦稳态电路分析4.2 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示 4.2.1 复数及其运算 在数学中，一个复数A可以表示成代数型、指数型或极型，即 A=a1+ja2 (代数型) =aej (指数型) =a (极型) (47)第4章 正弦稳态电路分析 式中 为复数单位；a1和a2分别为复数A的实部和虚部；a和分别是A的模和辐角。复数A也可以表示为复平面上的一个点或由原点指向该点的有向线段(矢量)，如图4.3所示。由图可知，复数代数型与指数型(或极型)之间的转换关系为1j 221221arctanaaaaa(48) 和 12Re cos sinaAaaFm Aa(49) 第4章

13、正弦稳态电路分析 两个复数相等时，其实部和虚部分别相等，或模和辐角分别相等。 两个复数相加(减)等于把它们的实部和虚部分别相加(减)。例如，若A=a1+ja2,B=b1+jb2,则 AB=(a1+ja2)(b1+jb2) =(a1b1)+j(a2b2) (410) 两个复数相乘(除)等于将它们的模相乘(除)、辐角相加(减)。例如，若 ,ABjjABAaeaBbeb()()ABABjABjABA BabeabAaaeBbb(411) 第4章 正弦稳态电路分析 4.2.2 正弦信号的相量表示 我们知道，正弦信号由振幅、角频率和初相三个要素确定。由于在正弦稳态电路中，各处的电流和电压都是正弦信号，并

14、且它们的角频率与正弦电源的角频率相同，因此，在进行正弦稳态电路分析时，对于正弦电流、电压的振幅和初相，是我们最为关心的两个要素。为了简化分析，现在以电流为例，介绍正弦信号的相量表示。 根据欧拉公式，可将复指数函数 表示为()ijtmI e()cos()sin()ijtmmimiI eItjIt第4章 正弦稳态电路分析 注意上式中的虚部即为正弦电流的表达式，于是有注意上式中的虚部即为正弦电流的表达式，于是有()( )sin()iimijtjj tmmj ti tItfm I efm I eefm I e(412)式中式中ijmmmiII eI(413) 式式(413)中复数中复数 的模和辐角恰好

15、分别对应正弦电流的振的模和辐角恰好分别对应正弦电流的振幅和初相。在此基础上，再考虑已知的角频率，就能完全表示一幅和初相。在此基础上，再考虑已知的角频率，就能完全表示一个正弦电流。像这样能用来表示正弦信号的特定复数称为相量，个正弦电流。像这样能用来表示正弦信号的特定复数称为相量，并在符号上方标记圆点并在符号上方标记圆点“”，以与一般复数相区别。，以与一般复数相区别。 称为电称为电流相量，把它表示在复平面上，称为相量图，如图上所示。流相量，把它表示在复平面上，称为相量图，如图上所示。mImI第4章 正弦稳态电路分析 同样地，正弦电压可表示为同样地，正弦电压可表示为( )sin()umujmmmuu

16、 tUtUU eU称为电压相量。称为电压相量。 分别称为电流、电压的分别称为电流、电压的有效值相量有效值相量，相应地，将，相应地，将 和和 分别称为电流和电压的分别称为电流和电压的振幅相量振幅相量。显然，振。显然，振幅相量是有效值相量的幅相量是有效值相量的 倍。倍。 相应的相应的 iijijuIIeIUUeU(416)mImU2第4章 正弦稳态电路分析 必须指出，正弦信号是代数量，并非矢量或复数必须指出，正弦信号是代数量，并非矢量或复数量，所以，相量不等于正弦信号。但是，它们之间有量，所以，相量不等于正弦信号。但是，它们之间有相互对应关系，即相互对应关系，即sin()sin()iujmmimi

17、jmmummuiItI eIuUtUU eU(417) 或 2 sin()2sin()iujiijuuiItIIeIuUtUUeU(418) 第4章 正弦稳态电路分析 例3 已知电压u1=4sin(t+60)V, u2=6sin(t+135)V和u3=8sin(t-60)V。 试写出各电压的振幅相量，并画出相量图。 解 设正弦电压u1、u2和u3的振幅相量分别为 123mmmUUU、,则 1234 606 135860omomomUVUVUV第4章 正弦稳态电路分析 例例4 部分电路如图部分电路如图4.7(a)所示，已知所示，已知 125 2sin(36.9 ) ,10 2sin(53.1 )

18、ooitAitA试求电流试求电流i=i1+i2。 解解 由已知条件可得由已知条件可得1122536.910 53.1ooiIAiIA12536.910 53.1(43)(68)10511.18 26.6oooIIIjjjA 因此，正弦电流因此，正弦电流i的表达式为的表达式为11.18 2sin(26.6 )oitA第4章 正弦稳态电路分析4.3 基本元件基本元件VAR和基尔霍夫定律和基尔霍夫定律的相量形式的相量形式 4.3.1 基本元件基本元件VAR的相量形式的相量形式 1.电阻元件电阻元件 如图如图4.8(a)所示，设电阻所示，设电阻R的端电压与电流采用关联参考方向。的端电压与电流采用关联参

19、考方向。当正弦电流当正弦电流( )2 sin()ii tIt由欧姆定律可知电阻元件的端电压为由欧姆定律可知电阻元件的端电压为 ( )( )2sin()2sin()iiu tRi tRItUt(424) 比较以上两式比较以上两式:U=RI或或Um=Rim 可见：可见：电阻元件的电流、电压是同频率的正弦量，而初相是相同的，电阻元件的电流、电压是同频率的正弦量，而初相是相同的，即电流与电压同相位即电流与电压同相位。第4章 正弦稳态电路分析图图4.8 电阻元件的电阻元件的i-u关系关系 设正弦电流设正弦电流i和电压和电压U对对应的有效值相量分别为应的有效值相量分别为 和和 ，即即 , ，则对应，则对应

20、的相量表达式为的相量表达式为IUiIuUURI(425) 该式表明了电阻该式表明了电阻R的电流、电压相量关系，称为电的电流、电压相量关系，称为电阻元件阻元件VAR的相量形式。的相量形式。第4章 正弦稳态电路分析 按照复数相等定义，上式等号两边复数的模及幅角分别相等，按照复数相等定义，上式等号两边复数的模及幅角分别相等，即即 uiURI(426) 它以相量形式的伏安关系描述电阻元件特性，故称为相量模型。电它以相量形式的伏安关系描述电阻元件特性，故称为相量模型。电阻元件电流、电压相量图如图上所示。阻元件电流、电压相量图如图上所示。 第4章 正弦稳态电路分析 2. 电感元件 设电感L的端电压与电流采

21、用关联参考方向，如图4.10(a)所示。当正弦电流( )2 sin()ii tIt通过电感时，其端电压为 ( )( )2cos()2sin(90 )2sin()ioiudi tu tLLItdtLItUt(427) 第4章 正弦稳态电路分析 式中式中U和和u分别为电感电压的有效值和初相。由式分别为电感电压的有效值和初相。由式(427)可可知知电感电压和电流是同频率的正弦量电感电压和电流是同频率的正弦量，其波形如图，其波形如图4.10(b)所示。所示。 若设电感电流、电压与有效值相量的对应关系为若设电感电流、电压与有效值相量的对应关系为Uj LI比较两表达式：比较两表达式：U=LI或或Um=LI

22、mu=i+90其相量表达式为：其相量表达式为：XL=L=2fL，叫感抗，叫感抗，表明电感受对交流电路的表明电感受对交流电路的阻碍作用随频率改变。阻碍作用随频率改变。第4章 正弦稳态电路分析图图4.11 电感元件的电感元件的 关系关系 I U由图可见，由图可见，电压超前电流电压超前电流90第4章 正弦稳态电路分析例例4-10 已知一电感元件已知一电感元件L=3H，接在，接在的电源上，求（的电源上，求（1）感抗的大小；（）感抗的大小；（2）电感元件电流）电感元件电流i的表达式。的表达式。V)60314sin(2220tu9423314LXL22060UVA15023. 0A9094260220Lj

23、XUIA)150314sin(223. 0ti解：解：第4章 正弦稳态电路分析 3. 电容元件 设电容元件C，其电压、电流采用关联参考方向，如图4.12(a)所示。当电容端电压为u(t)= Usin(t+u)时，通过C的电流为2( )2cos()2sin(90 )2 sin()uouudui tCCUtdtCUtIt(431) 第4章 正弦稳态电路分析 式中I和i分别是电容电流的有效值和初相。式(431)表明，电容电压、电流是同频率的正弦量，其波形图如图4.12(b)所示。 图4.12 电容元件的i-u关系第4章 正弦稳态电路分析11Ij CUUIjIj CC 比较上两式比较上两式:1ICUU

24、IC90oui相量式：相量式：其中：其中：1LXC叫容抗，反映电容对电流的阻碍作用。单位叫容抗，反映电容对电流的阻碍作用。单位。 对于给定的电容对于给定的电容C，当，当U一定时，一定时，愈高，电容进行充放电的速率愈快，愈高，电容进行充放电的速率愈快，单位时间内移动的电荷量愈大。反单位时间内移动的电荷量愈大。反之，之，愈低，电流将愈不容易通过。愈低，电流将愈不容易通过。在直流情况下，在直流情况下，=0,I=0，电容相当，电容相当于开路，所以，电容元件具有隔直于开路，所以，电容元件具有隔直流的作用。流的作用。电容电压的相位滞后电电容电压的相位滞后电流流90。电容中电流、电压的相量。电容中电流、电压

25、的相量图如图所示。图如图所示。第4章 正弦稳态电路分析例例4-11 已知已知2F电容两端的电压有效值为电容两端的电压有效值为10V，初相为，初相为60o，角频率为，角频率为1000rad/s。试求流过电容的电流，写出其瞬时值解析式。试求流过电容的电流，写出其瞬时值解析式。V6010UC61150010002 10XC A1500.02905006010CjXUIA)1501000sin(202. 0ti解：解： 电压的相量形式为：电压的相量形式为： 电容的容抗为：电容的容抗为： 得得电流的瞬时值解析式为电流的瞬时值解析式为第4章 正弦稳态电路分析 4.3.2 KCL、KVL的相量形式 KCL指

26、出：对于集总参数电路中的任意节点，在任一时刻，流出(或流入)该节点的所有支路电流的代数和恒为零。在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示为11sin()0nnkkmkikkiIt(436) 对应的相量关系表示为 1100nnkmkkkII或 (437) 第4章 正弦稳态电路分析 这就是KCL的相量形式。它表明，在正弦稳态电路中，对任一节点，各支路电流相量的代数和恒为零。 同理，对于正弦稳态电路中的任一回路，KVL的相量形式为1100nnkmkkkUU(4)或 第4章 正弦稳态电路分析例例4-12 在图在图4.14（a）电路中，已知电流）电路中，已知电流

27、，R=100，L=50mH，C=10F，试用相量法求，试用相量法求iR、iL、uS、及、及i并画出相量图，并求导纳并画出相量图，并求导纳Y。 C2sin1000 Ait第4章 正弦稳态电路分析解：解： 画出电路的相量模型如图所示。写出电流画出电路的相量模型如图所示。写出电流iC的相量形式的相量形式根据各元件电压、电流的相量关系式可得根据各元件电压、电流的相量关系式可得C10 AI C6111001000 10 10XC3L1000501050XLSCC100 1 010090 VUjX Ij SLL100902180 A50UIjXj SR10090190 A100UIR 第4章 正弦稳态电路

28、分析由基尔霍夫电流定律的相量形式得由基尔霍夫电流定律的相量形式得 即：即： RLC1902180102135 AIIII S100 2 sin(100090 )VutL22 sin(1000180 )AitR2 sin(100090 )Ait2sin(1000135 )AitY=0.01-j0.01(s)第4章 正弦稳态电路分析例例4-13 如图4.15所示各电路中，已知电流表A1、A2、A3的读数都是10 A，求电路中电流表A的读数。 A+ I i1 R i2 Lu A1 A2- A+ i i1 i2 i3 R L CU A1 A2 A3-解：解： 设端电压设端电压 V0UU（a）图：）图：

29、 选定电流的参考方向如图所示，根据选定电流的参考方向如图所示，根据R、L、C元件电压电元件电压电流的相位关系有流的相位关系有 A9010 A 01021IIA45210901001021III电流表电流表A的读数为的读数为A。注意：这与直流电路是不同的注意：这与直流电路是不同的, 总电流并不是总电流并不是20A。 210（b）图：电流表）图：电流表A的读数为的读数为10A。第4章 正弦稳态电路分析 例5 电路如图4.14(a)所示。已知R=5，L=5mH,C=100F，Uab(t)= sin103tV。求电压源电压us(t)，并画出各元件电流、电压的相量图。10 2图4.14 例5用图 第4章

30、 正弦稳态电路分析 解解 电压电压Uab的有效值相量为的有效值相量为 333610 0105 105111010100 10oabUVLC 根据根据R、C元件元件VAR的相量形式，得的相量形式，得 10 02510 01(1/)10oabRoabCUIARUIj AjCj 由由KCL得得 212.24 26.6oLRCIIIjA第4章 正弦稳态电路分析由电感元件由电感元件VAR相量形式，求得相量形式，求得 11.2 116.610 0( 5.0110.01)104.9910.0111.18 63.5oosLaboUUUjjV 52.24 26.611.2 116.6ooLLUj LIjV根据根

31、据KVL，可得电压源电压，可得电压源电压 所以所以 3( )11.18 2sin(1063.5 )osu ttV各元件电流、电压相量图如图各元件电流、电压相量图如图4.14(b)所示。所示。补充例补充例9第4章 正弦稳态电路分析4.4 复阻抗和复导纳复阻抗和复导纳 4.4.1 阻抗与复导纳阻抗与复导纳 由上节讨论可知，在电流、电压采用关联参考方由上节讨论可知，在电流、电压采用关联参考方向的条件下，三种基本元件向的条件下，三种基本元件VAR的相量形式是的相量形式是1,UR IUj LIUIj C(439)如用振幅相量表示，则为1,mmmmmmURIUj LIUIj C(440) 上式与电阻电路中

32、的欧姆定律相似，故称为欧姆定律的相量形式。上式与电阻电路中的欧姆定律相似，故称为欧姆定律的相量形式。第4章 正弦稳态电路分析(1) (1) 阻抗阻抗正弦激励下正弦激励下IZU+- -无源无源线性线性IU+- -ZIUZ | 定义阻抗定义阻抗iu 单位：单位： IUZ 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角欧姆定律的欧姆定律的相量形式相量形式第4章 正弦稳态电路分析阻抗阻抗Z还可表示成代数式形式还可表示成代数式形式 Z=R+jX式中式中R是是Z的的实部实部，称为，称为阻抗的电阻分量阻抗的电阻分量，X是是Z的的虚部虚部，称为，称为阻抗的阻抗的电抗分量电抗分量，它们与阻抗模和阻抗角之间有如下关系，它们与阻抗模和阻

33、抗角之间有如下关系 ZcosRZZsinXZ22ZRXZarctanXR当电路中电抗当电路中电抗X0时，时，0，二端网络端口电压二端网络端口电压u在相位在相位上超前电流上超前电流i，此时电路的，此时电路的阻抗性质是电感性的；当阻抗性质是电感性的；当X0时，时，0，电压，电压u在相位在相位上滞后电流上滞后电流i，此时电路的，此时电路的阻抗性质是电容性的；当阻抗性质是电容性的；当X=0时，时，=0，电压，电压u与电流与电流i同相，此时电路是电阻性的。同相，此时电路是电阻性的。 RXXL阻抗三角形阻抗三角形第4章 正弦稳态电路分析(2) (2) 导纳导纳正弦激励下正弦激励下IYU+- -无源无源线性

34、线性IU+- -YUIY | 定义导纳定义导纳ui 单位：单位：SUIY 导纳模导纳模导纳角导纳角第4章 正弦稳态电路分析 基本元件基本元件R、L和和C的阻抗分别为的阻抗分别为其中其中XL称为感抗；称为感抗；XC称为容抗；单称为容抗；单位为位为。11RLLCCZRZj LjXZjjXj CC 111RLLCCYGRYjjBj LLYj CjB 基本元件基本元件R、L和和C的导纳分别为的导纳分别为:其中其中BL称为感纳；称为感纳；BC称为容纳；称为容纳；G叫电导。单位为叫电导。单位为S。第4章 正弦稳态电路分析 4.4.4 阻抗和导纳的串、并联 下面给出阻抗和导纳串、并联的有关结论，其证明方法与

35、电阻电路相似，这里不再重复。设阻抗Z1=R1+jX1,Z2=R2+jX2;导纳Y1=G1+jB1,Y2=G2+jB2。则当两个阻抗Z1和Z2串联时，其等效阻抗Z为 Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2) (454) 分压公式为12121212ZZUUUUZZZZ(455) 第4章 正弦稳态电路分析当两个导纳当两个导纳Y1和和Y2并联时，其等效导纳并联时，其等效导纳Y为为 Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2) (456) 分流公式为分流公式为12121212YYIIIIYYYY(457) 式中式中 为通过并联导纳的总电流相量。为通过并联导纳的总电流相量。 当两个阻抗当两个阻

36、抗Z1、Z2相并联时，它的等效阻抗相并联时，它的等效阻抗Z为为I1212Z ZZZZ其分流公式为其分流公式为 21121212ZZIIIIZZZZ(459) 第4章 正弦稳态电路分析导纳等效转换为阻抗时，有导纳等效转换为阻抗时，有 222211GBZjRjXYGjBGBGB式中 2222GBRXGBGB(461) 第4章 正弦稳态电路分析例例2 2 解解 Acos)(ttiS2SIRU1A01SI电路如图电路如图, ,已知已知R R=3=3 ，L L=2H=2H， =2rad/s。求。求u1(t) 、u2(t) 、u (t)。+ + u- -+ + u1 - -iSL+ +u2- -R=3 j

37、L= j4R=3- 1U-2U-USI相量模型相量模型电流相量：电流相量：由由RL元件元件VCR相量关系式得：相量关系式得：V03013SILjU2V9044j21UUU由由KVL：V. 153543j014j第4章 正弦稳态电路分析写出写出u1(t) 、u2(t) 、u (t)表达式为表达式为：V cos)(ttu2231)V90 cos()(ttu2242)V.5 cos()(13225ttu画相量图画相量图SI +1+j 2U 1U USI 1U 2U U13.513.5第4章 正弦稳态电路分析例例3 3 解解( )10 2sin VSuttRUIS1V010SU电路如图电路如图, ,已

38、知已知R R=4=4 ，C C=0.1F=0.1F， =5rad/s。求。求i1(t) 、i2(t) 、i (t)。 1I2I-SUI相量模型相量模型电压相量：电压相量：由由RC元件元件VCR得：得：A.524010CjUIS/12A9055j21III由由KCL：A.463595552j2010jii1+ +uS- -R=4C=0.1Fi2R=421jCj 第4章 正弦稳态电路分析写出写出i1(t) 、i2(t) 、i (t)表达式为表达式为：A 5sin25 . 2)(1ttiSU)A90 5sin(25)(2tti)A4 . 36 5sin(259. 5)(tti画相量图画相量图 +1+

39、j 2I 1II SU 1I 2I I43.643.6第4章 正弦稳态电路分析例例7 如图如图4.22(a)电路，已知电路，已知r=10，L=50mH,R=50，C=20F,电源电源 us(t)=100 sin(103t)V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流相量图。电流相量图。 解解 电压源相量和电压源相量和jXL、jXC分别为分别为236100 01000 50 101501150100020 10osLCUVjXj LjjXjjjC 第4章 正弦稳态电路分析 电路的相量模型如图(b)所示。 设R、L串联支路的阻抗为ZrL,R、C并联电路的阻

40、抗为ZRC,可得105050(50)35.364525255050rLLoCRCCZrjXjR jXjZjRjXj电路总阻抗Z为(1050)(2525)352543 35.4oeLRCZZZjjj第4章 正弦稳态电路分析 电路总电流 100 02.3335.443 35.4osooUIAZ由并联电路分流公式，求得R、C支路电流 502.3335.41.6580.45050502.3335.41.65 9.65050ooCRCooCCjXjIIARjXjRIIARjXj第4章 正弦稳态电路分析例例4-15 两个负载两个负载Z1=5+j5和和Z2=6-j8相串联，接在的电源上。试求相串联，接在的电

41、源上。试求等效阻抗等效阻抗Z和电路电流和电路电流i。 解：解： 等效阻抗等效阻抗12(5j5)(6j8)(11j3)11.415.3ZZZ 电压电压u的相量形式为的相量形式为 220 30 VU 电流相量为：电流相量为：00220 30A19.3 45.3 A11.415.3UIZ电流的表达式为：电流的表达式为： 19.3 2sin(31445.3 )Ait第4章 正弦稳态电路分析4.5 正弦交流电路的相量法分析正弦交流电路的相量法分析 在简单的交流电路中，欧姆定律、基尔霍夫定律都可以在简单的交流电路中，欧姆定律、基尔霍夫定律都可以应用，因此支路电流法、节点电压法、叠加原理、戴维南定应用，因此

42、支路电流法、节点电压法、叠加原理、戴维南定理都可以应用。理都可以应用。(1) (1) 画电路的相量模型画电路的相量模型(2) (2) 根据根据KCLKCL、KVLKVL和元件和元件VCRVCR的相量形的相量形式，求解得到电压电流的相量式，求解得到电压电流的相量表达式；表达式；(3) (3) 根据计算得到的电压、电流相量，写根据计算得到的电压、电流相量，写出相应的瞬时值表达式。出相应的瞬时值表达式。各正弦电压、电流用相量表示，各正弦电压、电流用相量表示，R R、L L、C C元件用相应的阻抗或导纳表示。元件用相应的阻抗或导纳表示。第4章 正弦稳态电路分析例例4-19 在图在图4.25所示的正弦稳

43、态电路中，已知所示的正弦稳态电路中，已知Z1=1+j2，Z2=0.8+j2.8，Z3=40+j30，US1=US2=220V， 滞后滞后 20角，试用支路电流法求各支路电流。角，试用支路电流法求各支路电流。1SU2SU解：解： 设设 为参考相量，则为参考相量，则 1SUS12200 VU S222020 VU 根据根据KCL、KVL的相量形式列出电路方程的相量形式列出电路方程1231 133S12233S20IIIZ IZ IUZ IZ IU第4章 正弦稳态电路分析代入已知数据得代入已知数据得12313230(12)(4030)2200(0.82.8)(4030)22020IIIjIjIjIj

44、I 解方程得解方程得116.33.9 AI 214.1 17.1 AI34.1846.1 AI 第4章 正弦稳态电路分析例例4-19 在图在图4.25所示的正弦稳态电路中，已知所示的正弦稳态电路中，已知Z1=1+j2，Z2=0.8+j2.8，Z3=40+j30，US1=US2=220V， 滞后滞后 20角，试用节点电路法求各支路电流。角，试用节点电路法求各支路电流。2SU解：解： 选择参考节点、设节点电压为，选择参考节点、设节点电压为，如图如图4.26所示。列节点电压方程为所示。列节点电压方程为 1SU 代入已知数据：代入已知数据：S1S212312111UUUZZZZZ11122002202

45、0120.82.84030120.82.8Ujjjjj 2099.3 VU 解得：解得：第4章 正弦稳态电路分析S11122002099.316.3 3.9 A12UUIZj S2222099.32202014.1 17.1 A0.82.8UUIZj332099.34.1846.1 A4030UIZj 各支路电流为各支路电流为思考题：用戴维南定理求解此题？思考题：用戴维南定理求解此题？第4章 正弦稳态电路分析4.6 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率 对于电阻、电容、电感组成的无源二端网络，都可以等对于电阻、电容、电感组成的无源二端网络，都可以等效为复阻抗效为复阻抗Z=R+jX，也就是等效为

46、一个电阻与一个电抗，也就是等效为一个电阻与一个电抗串联的电路。一般的可分为设：串联的电路。一般的可分为设：( )2 sin()( )2sin()i tItu tUt式中式中是端口电压与电流的相位差。在任一时刻是端口电压与电流的相位差。在任一时刻t,电路电路N的吸收功率的吸收功率第4章 正弦稳态电路分析 p(t)=u(t)i(t)=2UIsin(t)sin(t+) =UIcos-UIcos(2t+) 称为瞬时功率称为瞬时功率 随电流随电流i和电压和电压u的变化，瞬时功率的变化，瞬时功率p(t)有时为正，有时为有时为正，有时为负。当负。当u0,i0或或u0,i0时，时，p(t)0,说明在此时电说明

47、在此时电路路N从外电路吸收功率；当从外电路吸收功率；当u0,i0或或u0,i0时，时，p(t)0,此时电路此时电路N向外电路发出功率。向外电路发出功率。 p u，i p i t u i+u-N第4章 正弦稳态电路分析 1.平均功率平均功率P电路的平均功率也称有功功率，它是瞬时功率在一周期内的平均值，电路的平均功率也称有功功率，它是瞬时功率在一周期内的平均值，即即01( )cosTPp t dtUIT 平均功率代表电路所消耗的功率，所以在正弦稳态电路中通常平均功率代表电路所消耗的功率，所以在正弦稳态电路中通常所说的功率是指平均功率。平均功率的单位是瓦所说的功率是指平均功率。平均功率的单位是瓦(W

48、)。 在在RLC串联电路中，电路中的有功功率即电阻上的功率。即：串联电路中，电路中的有功功率即电阻上的功率。即： P=I2R 此结论可推广到任意交流电路中：此结论可推广到任意交流电路中：RPP平均功率不仅与电压、电流有关，还与电压、电流的相位差、平均功率不仅与电压、电流有关，还与电压、电流的相位差、即电路的阻抗角有关，定义：即电路的阻抗角有关，定义： =cos 称为电路的功率因数称为电路的功率因数第4章 正弦稳态电路分析 2. 无功功率无功功率Q 为了描述交流电路电源与外电路的能量交换规模，定义为了描述交流电路电源与外电路的能量交换规模，定义 为无功功率，代表二端网络与外电路交换能量的最大值。

49、为无功功率，代表二端网络与外电路交换能量的最大值。sinQUI无功功率的单位是乏无功功率的单位是乏(Var)。 显然，对于电阻性电路显然，对于电阻性电路N，=0,Q=0,表示表示N与外电与外电路没有发生能量互换现象，流入路没有发生能量互换现象，流入N的能量全部被电阻的能量全部被电阻消耗；消耗；N为电感性电路时，为电感性电路时，0,Q0;N为电容性电路为电容性电路时，时， 0,Q0。后两种情况中，。后两种情况中，Q0，表示电路，表示电路N与与外电路之间存在能量互换现象，而不是消耗能量。外电路之间存在能量互换现象，而不是消耗能量。 第4章 正弦稳态电路分析0Q 22CCCCCUQU IIXX 22

50、LLLLLLUQU II XX因此单一因此单一R、L、C元件的无功功率为：元件的无功功率为：电阻元件：电阻元件： 电容元件：电容元件： 电感元件：电感元件： 第4章 正弦稳态电路分析3. 视在功率视在功率S 在一般交流电路中，称在一般交流电路中，称P=UI为视在功率。为视在功率。 单位单位VA（伏安）。（伏安）。 实际用电设备的功率以视在功率表示。实际用电设备的功率以视在功率表示。 22coscossinsinPUISQUISSPQUI视在功率、有功功率和无功功率的关系如下视在功率、有功功率和无功功率的关系如下 S Q P功率三角形功率三角形第4章 正弦稳态电路分析4. 复功率复功率 在工程上

51、为了计算方便，取有功功率在工程上为了计算方便，取有功功率P作为实部、无功功率作为实部、无功功率Q作为虚作为虚部组成复数，该复数被定义为复功率，用部组成复数，该复数被定义为复功率，用 表示：表示：SSPjQ 复功率的模为视在功率复功率的模为视在功率S，辐角为功率因数角，辐角为功率因数角。22SSPQarctanQP uiui()*cossinjjjjSUIjUIUIeUIeUeIeUI 是 电流的共轭复数*II第4章 正弦稳态电路分析 例例4-23 电路如图电路如图4.31所示，已知所示，已知U=100V，试求该电路的，试求该电路的P、Q、S、 和和。 S解：解： 设端口电压相量为：设端口电压相

52、量为： 1000 VU 电路的等效阻抗为电路的等效阻抗为16( 16)14861036.91616jZjjj 端口电流为端口电流为100010 36.9 A1036.9UIZ *10001036.9100036.9800600VASUIj 1000VASSRe 800WPSIm 600VarQScoscos( 36.9 )0.8 则则 第4章 正弦稳态电路分析 功率因数介于功率因数介于0和和1之间，反映电源在额定容量之间，反映电源在额定容量S下向下向负载输送多少有功功率。负载输送多少有功功率。P=UIcos，例如容量为，例如容量为105的发的发电机，当电机，当cos=0.6时，对外提供有功功率

53、为时，对外提供有功功率为60000kW，若，若cos=0.9时，则它对外提供时，则它对外提供90000kW的有功功率。的有功功率。 另外输电线上的电流另外输电线上的电流I=P/Ucos，当，当P和和U一定时，功一定时，功率因数越大，线路上功率损耗越小。有利于节能，提高率因数越大，线路上功率损耗越小。有利于节能，提高供电质量。供电质量。提高功率因数的方法是在感性负载两端并联提高功率因数的方法是在感性负载两端并联电容器。电容器。第4章 正弦稳态电路分析4.7 谐振电路谐振电路 4.7.1 串联谐振电路串联谐振电路 RLC串联电路如图串联电路如图4.32(a)所示，设图中正弦电压源所示，设图中正弦电

54、压源 的角频率为的角频率为。串联电路的等效阻抗为。串联电路的等效阻抗为0osUU11()ZRj LRjLj CC 在正弦电源激励下的在正弦电源激励下的RLC串联电路，通过改变元件参数或调节串联电路，通过改变元件参数或调节电源频率，可使电路端电压与流入的电流同相，此时称电路发生了电源频率，可使电路端电压与流入的电流同相，此时称电路发生了谐振。谐振。第4章 正弦稳态电路分析电路中电流电路中电流 sUIZ若使电压与电流同相位，则应有若使电压与电流同相位，则应有Z=0。即：。即：我们称电路发生了串联谐振。上式是电路发生串联谐振的条件。我们称电路发生了串联谐振。上式是电路发生串联谐振的条件。 根据谐振条

55、件，可得谐振频率为：根据谐振条件，可得谐振频率为：0010XLC00112fLCLC图图4.33 |Z|、X及及I随随的变化曲线的变化曲线第4章 正弦稳态电路分析 在上面讨论中，我们保持电路参数不变，即在上面讨论中，我们保持电路参数不变，即0一一定，通过改变电源角频率定，通过改变电源角频率，使之与，使之与0相等，电路产相等，电路产生谐振。实际上，若固定电源角频率生谐振。实际上，若固定电源角频率，调节电路参，调节电路参数数L或或C，0发生变化，使发生变化，使0=,则电路也会发生谐振。则电路也会发生谐振。串联谐振电路具有以下特点：串联谐振电路具有以下特点： (1) 谐振时，电抗谐振时，电抗X=0,

56、故电路阻抗故电路阻抗0ZRjXR电路呈电阻性。电路呈电阻性。阻抗模阻抗模 达最小达最小。 220ZRXR (2) 谐振时电路电流谐振时电路电流00ssUUIZR达到最大。达到最大。第4章 正弦稳态电路分析(3)谐振时电路元件上电压谐振时电路元件上电压000000000011sRsLsCsUURIRURLUjLIjURUIjUjCCR 串联谐振时，串联谐振时，电感和电容上的电压远大于电阻上的电压，电感和电容上的电压远大于电阻上的电压，因此串联谐振又叫因此串联谐振又叫电压谐振电压谐振。谐振时谐振时UL0=UC0 Q称为品质因数，它表示谐振时电容或电感上的电压上电源称为品质因数，它表示谐振时电容或电

57、感上的电压上电源电压的电压的Q倍。出表示电路选择性强弱。倍。出表示电路选择性强弱。001CLLULUCQUURCRR第4章 正弦稳态电路分析 在电子技术中，常用串联谐振电路选择特定频率的信号并输在电子技术中，常用串联谐振电路选择特定频率的信号并输出较高的电压。例如，收音机的天线输入回路就是一个由线圈出较高的电压。例如，收音机的天线输入回路就是一个由线圈(其其电感为电感为L，电阻为，电阻为R)与可调电容与可调电容C组成的串联等效电路，如图组成的串联等效电路，如图4.34所示。所示。图图4.34 收音机的输入电路收音机的输入电路 在电力工程中，串联谐振时电抗元在电力工程中，串联谐振时电抗元件上过高

58、的电压，可能会导致电感件上过高的电压，可能会导致电感或电容元件的绝缘材料击穿。应避或电容元件的绝缘材料击穿。应避免。免。第4章 正弦稳态电路分析例例4-25 将电感线圈与电容器串联，接在电压有效值为将电感线圈与电容器串联，接在电压有效值为U=0.5V的电源的电源上，线圈的电阻上，线圈的电阻R=20，电感，电感L=4mH，调节电容为，调节电容为250pF时电路发生时电路发生串联谐振。试求：（串联谐振。试求：（1）电路的谐振频率及品质因数）电路的谐振频率及品质因数Q；（；（2）电路中）电路中的电流及电容电压的电流及电容电压o31211159kHz22 3.14 4 10250 10fLC33oo2

59、23.14 159 104 1020020Lf LQRR解：解： （1）电路的谐振频率）电路的谐振频率f0及品质因数及品质因数Q为为0.525mA20UIRC2000.5100VUQU（2）谐振电流）谐振电流I及电容电压及电容电压UC为为第4章 正弦稳态电路分析 4.7.2 并联谐振电路并联谐振电路 RLC并联电路如图并联电路如图4.36(a)所示。图中正弦电流源所示。图中正弦电流源的角频率为的角频率为，设其电流相量的初相为零。，设其电流相量的初相为零。 图4.36 并联谐振电路 第4章 正弦稳态电路分析 并联电路的等效导纳为1()YGjBGjCL(497)式中 11,GBCRL 当电纳B=0

60、时，电路端电压 与电流源电流 同相，称电路发生并联谐振。满足B=0的角频率称为并联谐振电路的谐振角频率，记为0。根据B=0，可得UI0010CL(498) 第4章 正弦稳态电路分析 该式称为并联电路的谐振条件。从谐振条件可得该式称为并联电路的谐振条件。从谐振条件可得并联谐振电路的谐振角频率为并联谐振电路的谐振角频率为00112fLCLC或或 (499) RLC并联电路谐振时有以下特点：并联电路谐振时有以下特点：(1)由式由式(497)可见，谐振时并联电路导纳可见，谐振时并联电路导纳01YGR(4100) 其值最小，且为纯电导。其值最小，且为纯电导。阻抗最大阻抗最大，即，即0011ZRYG(41