1.2格林公式及应用ppt课件

1、格林公式及应用格林公式及应用第三节第三节仅对平面上对坐标的曲线积分讨论仅对平面上对坐标的曲线积分讨论 否则称否则称D D为复为复( (多多) )连通区域连通区域复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、单连通区域与多连通区域一、单连通区域与多连通区域设设D D是一平面区域，是一平面区域， 如果如果D D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成 的部分都属于的部分都属于D D， 则称则称D D为为( (平面平面) )单连通区域，单连通区域，设有空间区域设有空间区域G G，如果，如果G G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成类似地，类似地，否则称否则称G G为复为复( (多多) )连通区域连通区

2、域围成的区域全属于围成的区域全属于G G，则称，则称G G是是( (空间空间) )单连通区域，单连通区域，二、格林公式二、格林公式设平面闭区域设平面闭区域 由分段光滑曲线由分段光滑曲线 所围成，所围成， DL则有则有 )1()( LDQdyPdxdxdyyPxQ其中其中 是是 的边界取正向，的边界取正向，LD公式公式(1) (1) 称为格林公式称为格林公式 边界曲线边界曲线L L 的正向：的正向：2LD1L2L1LD单单连连通通区区域域多多连连通通区区域域定理定理 当观察者沿区域当观察者沿区域D的边界的边界L行走时，行走时，L 所围区域所围区域D总在他的左侧总在他的左侧，上具有一阶连续偏导数上

3、具有一阶连续偏导数在在及及函数函数DyxQyxP),(),(证明证明 (1)(1)yxo a b D)(1xy )(2xy AB. )()(21xyxbxaD ，：那那么么dyyPdxdxdyyPxxbaD )()(21 .)(,()(,(12 badxxxPxxP LdxyxP),(又又 BnAAmBdxyxPdxyxP),(),(mn badxxxP)(,(1 abdxxxP)(,(2 badxxxPxxP)(,()(,(21 . DdxdyyP同理可得同理可得 .),( DLdxdyxQdyyxQ证明证明 (2) (2)1L2L3LLD1D2D3D DdxdyyPxQ)(则则 321)(

4、DDDdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx.故故(1)式成立式成立. )1()( LDQdyPdxdxdyyPxQ证明证明 (3) (3)若若区区域域为为多多连连通通区区域域如如图图 )1()( LDQdyPdxdxdyyPxQ由二条闭曲线由二条闭曲线其边界曲线其边界曲线 L所构成所构成，21LL1L2L.21DDCEAB，将积分区域分成将积分区域分成，作线段作线段ABCE1D2D.21ll ，设其边界分别设其边界分别 DdxdyyPxQ)(则则 21)()(DDdxdyyP

5、xQdxdyyPxQ 21llQdyPdxQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx. LQdyPdx从而格林公式成立从而格林公式成立 函数函数 在在 上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数， ),(),(yxQyxP及及D则有则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(其中其中 是是 的边界取正向的边界取正向LD格林公式格林公式:格林公式的实质格林公式的实质 设平面闭区域设平面闭区域 由分段光滑曲线由分段光滑曲线 所围成，所围成， DL三、格林公式的简单应用三、格林公式的简单应用1. 简化曲线积分的计算简化曲线积分的计算例例1 1沿沿正正向向所所围围区区域域的的边边界界与与为为曲曲线线

6、其其中中，计计算算)( 2332xyxyLdyyydxxL 解法解法1 1 利用格林公式利用格林公式，这这里里32yQyxP ，02 xQxyP DLdxdyyPxQdyyydxx)( 32 Ddxdyx2dyxdxxx 32210.441 解法解法2 2 直接用曲线积分公式计算直接用曲线积分公式计算 ( (略略).).例例2 2的上半圆周的上半圆周到点到点上从点上从点为圆为圆其中其中，计算计算)0 , 0()0 , 2(2 )sin()( 2222OAxyxLdyyxdxyxL A解解则由格林公式则由格林公式 dyyxdxyxL)sin()( 22 DdxdyyPxQ)( Ddxdy2， d

7、yyxdxyxL)sin()( 22 202dxx .38 ，作作有有向向线线段段 OAdyyxdxyxOA)sin()(22 dyyxdxyxOA)sin()(22 NoImageNoImage解解滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为逆时针方向滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为逆时针方向 NoImagex y o LD由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022，所所围围闭闭区区域域为为设设DLLNoImage1Drly x o 02222 lLyxydxxdyyxydxxdy lLyxydxxdyyxydxxdy2222 2022222sincosdrrr.2 格林公式的条件不满足格林

8、公式的条件不满足 2. 计算平面区域的面积计算平面区域的面积 NoImage LDxdyydxdxdy2.21 LxdyydxA. LxdyA. LydxA得得，若取若取xQP 0得得，若若取取0 QyP的面积为的面积为所围区域所围区域所以所以DLNoImage解解 LxdyA)sin(cos20tbdta dttab 202cosdttab 20)2cos1(2. ba 四、平面曲线积分与路径无关的条件四、平面曲线积分与路径无关的条件为为平平面面区区域域，设设GBAG、内内任任意意两两点点如如果果对对于于，与与的的曲曲线线到到内内任任意意两两条条从从及及21LLBAGGy x o 1LQdy

9、Pdx均有均有NoImage 2LQdyPdx1L2LBA二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积内内与与路路径径无无关关，在在G否否则则称称与与路路径径有有关关函数函数),(),(yxQyxP及及定理定理 G在在 上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数， 则下面四个断语等价：则下面四个断语等价：内处处成立；内处处成立；在在GxQyP )1(内任一闭曲线；内任一闭曲线；为为，其中，其中GLQdyPdxL 0)2(内与路径无关；内与路径无关；在在GQdyPdxL )3(的全微分，的全微分，内某一函数内某一函数为为),()4(yxuGQdyPdx ，使使得得即即存存在在函函数数GyxQdyPd

10、xduyxu ),(),(注意注意 G为单连通区域为单连通区域 为平面单连通区域，为平面单连通区域，设设G 内内处处处处成成立立在在GxQyP)1(内任一闭曲线内任一闭曲线为为，其中，其中GLQdyPdxL 0)2(为为单单连连通通区区域域，G，内内任任一一闭闭曲曲线线故故对对LG，上上恒恒有有又又在在xQyPG GDL.xQyPD 上上也也有有从从而而在在则由格林公式则由格林公式 .0)( dxdyyPxQQdyPdxLD，其其所所围围区区域域GD 证证 内内任任一一闭闭曲曲线线为为，其其中中GLQdyPdxL0)2(内内与与路路径径无无关关在在GQdyPdxL )3(G设设 A A、B B

11、 是区域是区域G G 内任意两点，内任意两点，AB1L2L是是G G内任意两条从内任意两条从A A到到B B 的曲线，的曲线，21LL 与与得得由条件由条件)2(，021 LLQdyPdxQdyPdx.021 LLQdyPdxQdyPdx即即.21 LLQdyPdxQdyPdx从从而而曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关. . 内与路径无关内与路径无关在在GQdyPdxL)3(的的全全微微分分，内内某某一一函函数数为为),()4(yxuGQdyPdx .),(),(GyxQdyPdxduyxu ，使得使得即存在函数即存在函数内与路径无关，内与路径无关，在在GQdyPd

12、xL ，内内任任取取点点在在),(),(00yxByxAG到到内内任任一一从从则则),(00yxAG上的积分值相等上的积分值相等的曲线的曲线 LyxB),(，故故记记作作 ),(),(00yxyxLQdyPdxQdyPdxxyoG，令令 ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu),(00yxA ),(yxB 上上可可微微，在在可可以以证证明明Gyxu),(.QdyPdxdu 且且的全微分，的全微分，内某一函数内某一函数为为),()4(yxuGQdyPdx .),(),(GyxQdyPdxduyxu ，使使得得即即存存在在函函数数内内处处处处成成立立在在GxQyP )1(的的全全微微分分

13、，内内某某一一函函数数为为),(yxuGQdyPdx ，即即有有QdyPdxdu ，QyuPxu .22xyuxQyxuyP ，从从而而内连续，内连续，在区域在区域，又又GxQyP 内处处成立内处处成立在区域在区域 GxQyP 定理证毕定理证毕 的的全全微微分分，为为如如果果),(yxuQdyPdx ，即即有有QdyPdxdu 的的为为则称则称QdyPdxyxu ),(一个原函数一个原函数 与一元函数类似，如果与一元函数类似，如果u(x,y)是是Pdx+Qdy 的一个原函数，则其原函数的全体为的一个原函数，则其原函数的全体为 u(x,y)+C 由前面的讨论可知，此时由前面的讨论可知，此时 ,)

14、,(),(),(00 yxyxQdyPdxyxu),(00yxA Loxy),(yxB 内内与与路路径径无无关关，在在GQdyPdxL ),(0yxC 若取积分路径为折线段若取积分路径为折线段ACB，dxyxPyxuxx),(),(00 若取积分路径为折线段若取积分路径为折线段ADB，.),(),(),(000dxyxPdyyxQyxuxxyy ),(0yxD.),(0dyyxQyy 解解因而，积分在因而，积分在 xoy 面内与路径无关面内与路径无关 Lyydyyxedxxe)2()(例例5 5 验证验证 与路径无关，与路径无关， 的的积积分分值值到到并并计计算算其其从从点点)2 , 1()0

15、 , 0(x1o12y ，这这里里yxeyxQxeyxPyy2),(),( 面内处处成立，面内处处成立，在在 xoyxQeyPy 若取积分路径：若取积分路径：L1 + L2.1L2L. 10 0 1 ：，：xyL.20 1 2 ：，：yxLdxx 10)1(原式原式dyyey 20)2(202102)()1(21yexy 14232 e.272 eNoImage解解.1523 oxy11L为由点为由点 到点到点 的曲线弧的曲线弧 )0, 0(O)1, 1(B2sinxy ，这这里里4222yxQxyxP ，xQxyP 2取积分路径如图所示：取积分路径如图所示：1L2L. 10 0 1 ：，：x

16、yL.10 1 2 ：，：yxL 101042)1(dyydxx则则原原式式解解，xyxyyyP2)(2 ，)()(xyxyxxQ ，2),(xyyxP ，)(),(xyyxQ 10100ydydx.21 Ldyxydxxy有有连连续续与与路路径径无无关关，其其中中设设 )(2)1989()(0)0()1 , 1()0,0(2计计算算，且且的的导导数数，dyxydxxy 例例7，又因为积分与路径无关又因为积分与路径无关，所以所以xQyP ，故有故有xyxy2)( ，解解得得Cxx 2)( ，又由又由0)0( ，得得0 C2)(xx dyxydxxy)()1 , 1()0,0(2 故故面面是是验

17、验证证xoydyyyxdxxyx)2cos()sin3(32 并并求求这这样样一一个个函函数数上上某某个个函函数数的的全全微微分分，例例8 解法一解法一，这这里里yyxQxyxP2cossin332 面上处处成立，面上处处成立，在在 xoyxQyxyP cos32面面上上是是故故xoydyyyxdxxyx)2cos()sin3(32 上某个函数的全微分，上某个函数的全微分， ),()0,0(32)2cos()sin3(),(yxdyyyxdxxyxyxu取取 xydyyyxxdx003)2cos(232sin21yyxx 解法二解法二，yyxQxyxP2cossin332 面面上上处处处处成成

18、立立，在在 xoyxQyxyP cos32面面上上是是故故xoydyyyxdxxyx)2cos()sin3(32 函数的全微分，函数的全微分，上某个上某个),(yxu，即有即有QdyPdxdu ，yyxyuxyxxu2cossin332 从而从而 dyyyxdyyuu)2cos(3，)(sin23xyyx )(sin32xyxxu xyx sin32，xx )( .21)(2Cxx 故所求函数的全体为故所求函数的全体为 .sin21),(232Cyyxxyxu 绕绕原原点点的的任任意意分分段段具具有有连连续续的的导导数数，在在围围设设)(y 的的值值恒恒为为同同一一常常数数上上，光光滑滑闭闭曲曲线线 LyxxydydxyL4222)( 例例9 解解 (1)，内内任任一一分分段段光光滑滑闭闭曲曲线线证证明明：对对右右半半平平面面Cx0)1( )2005()()2(022)(42 Cyyxxydydxy的的表表达达式式求求；有有 lCxyO，21llC 分分解解为为连连接接点点将将 C1l2l相相接接，围围绕绕原原点点且且与与作作曲曲线线Cl Cyxxydydxy4222)( 从从而而 llyxxydy