第3章(隔震机理)

1、第三章第三章 隔震机理隔震机理第第1节节 概述概述 如果按照振动过程中的某一物理量随时间而变化如果按照振动过程中的某一物理量随时间而变化的规律，可以分为周期振动和非周期振动。的规律，可以分为周期振动和非周期振动。 是指任一瞬时的振动量经过一段时间是指任一瞬时的振动量经过一段时间T T后又具有同样的值，满足：后又具有同样的值，满足： f(t+T)=f(t)振动过程中只要有一个物理量不满足上式的振动称为振动过程中只要有一个物理量不满足上式的振动称为非周期振动非周期振动。0 引言引言第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理第第1节节 概述概述0 引言引言 将正在振动的系统称为将正在振动的系统称为，并视

2、，并视振动系统的复杂程度，可以分为振动系统的复杂程度，可以分为， 单自由度和多自由度系统是将振动系统单自由度和多自由度系统是将振动系统进行离散化后所得的进行离散化后所得的离散系统离散系统，无限自由度，无限自由度系统是连续系统。系统是连续系统。 第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理第第1节节 概述概述振动的分类振动的分类 若周期振动的物理量随时间按照正弦或者若周期振动的物理量随时间按照正弦或者余弦规律变化，称为余弦规律变化，称为。 各类振动系统中，按照运动微分方程的形式分各类振动系统中，按照运动微分方程的形式分类为：类为：振动系统具有齐次性，线性叠加原理成振动系统具有齐次性，线性叠加原理成立，

3、描述运动的微分方程是线性微分方程；立，描述运动的微分方程是线性微分方程；：描述运动基本规律的微分方程是非线描述运动基本规律的微分方程是非线性微分方程，叠加原理不再成立。性微分方程，叠加原理不再成立。第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理 按照振动系统是否受到激励和激励的类型分类，按照振动系统是否受到激励和激励的类型分类，有下列几种类型的振动：有下列几种类型的振动： 系统无激励时的所有可能运动，固有振动仅仅系统无激励时的所有可能运动，固有振动仅仅反映系统的固有特性，振动过程的特性仅仅由系统反映系统的固有特性，振动过程的特性仅仅由系统的特性决定；的特性决定； 弹性系统偏离平衡位置后，不再受到外界激

4、励，弹性系统偏离平衡位置后，不再受到外界激励，而只受到恢复力的作用系统所作的振动；而只受到恢复力的作用系统所作的振动； 系统在外界激励下的振动，振动过程不仅仅由系统在外界激励下的振动，振动过程不仅仅由系统的特性决定，而在很大程度上依赖于外部激励，系统的特性决定，而在很大程度上依赖于外部激励，振动的能量由外部激励提供；振动的能量由外部激励提供；第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理 物理参数具有随机性质的系统所产生的振动，或者系统物理参数具有随机性质的系统所产生的振动，或者系统在随机激励下的振动；在随机激励下的振动； 系统没有受到外力激励，而是由其自身运动诱发出来的系统没有受到外力激励，而是由其

5、自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动，振动特性取决于系统，系统激励作用而产生和维持的振动，振动特性取决于系统，系统本身包含有补充能量的能源；从根本上说，自激振动系统是本身包含有补充能量的能源；从根本上说，自激振动系统是非线性系统；非线性系统； 区别于强迫振动的是激励因素，强迫振动是在外界激励区别于强迫振动的是激励因素，强迫振动是在外界激励下，系统参数保持恒定的振动，而参数振动则是以系统的某下，系统参数保持恒定的振动，而参数振动则是以系统的某个物理参数随时间变化所产生的振动。个物理参数随时间变化所产生的振动。 动荷载的分类动荷载的分类典型的周期荷载是典型的周期荷载是简谐荷载。机器转简谐荷

6、载。机器转动部分引起的荷载动部分引起的荷载属于简谐荷载属于简谐荷载第一类第一类周期荷载：周期荷载：荷载随时间作周期性的变化荷载随时间作周期性的变化。tP( )F tPFt简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示非简谐性的周期荷载非简谐性的周期荷载第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理动荷载的分类动荷载的分类第一类第一类周期荷载：周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。荷载随时间作周期性的变化。n简谐荷载是工程中常用的荷载n简谐荷载与地震荷载的区别n振幅几乎不变振幅几乎不变n周期不变周期不变n持续作用次数大持续作用次数大n现场实际荷载与简谐荷载的差别n非周期性非周期性n峰值可

7、能不同峰值可能不同n荷载总是动静荷载的组合荷载总是动静荷载的组合第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理各种爆炸荷载属于这一类各种爆炸荷载属于这一类tPFtrP( )F ttPFtd第二类第二类冲击荷载：冲击荷载：荷载在很短的时间内荷载在很短的时间内急剧增大或减小。急剧增大或减小。第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子第三类第三类随机荷载：随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定无法事先确定。某次地震波时程某次地震波时程第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理 各种振动现象各具特色，产生各种振动

8、过程各种振动现象各具特色，产生各种振动过程的物理本质也不相同，但是，不同的振动现象的的物理本质也不相同，但是，不同的振动现象的基本数学和力学规律是相同的，可以用统一的动基本数学和力学规律是相同的，可以用统一的动力学理论进行研究。力学理论进行研究。 地震是一种随机振动地震是一种随机振动，研究地震的动力问题研究地震的动力问题的目的就是为了了解地震时结构的基本力学规律，的目的就是为了了解地震时结构的基本力学规律，达到达到减轻或控制减轻或控制地震灾害的目的。地震灾害的目的。 第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理地震作用地震作用 地震释放的能量，以地震地震释放的能量，以地震波的形式到达地面后引起地面波

9、的形式到达地面后引起地面水平和竖向运动，使地面原来水平和竖向运动，使地面原来处于静止的建筑物受到动力作处于静止的建筑物受到动力作用而产生强烈振动。用而产生强烈振动。 建筑的加速度与质量的乘建筑的加速度与质量的乘积通常称为地震荷载。它不同积通常称为地震荷载。它不同于直接作用在结构上的荷载，于直接作用在结构上的荷载，是一种是一种间接作用间接作用，故称为，故称为地震地震作用作用。第三章第三章 隔震减震原理隔震减震原理2. 2. 地震作用的危害地震作用的危害 考虑地震作用后，若结构构件的考虑地震作用后，若结构构件的承载力不够承载力不够，或，或在地震作用下结构的在地震作用下结构的侧移侧移超过允许值，建筑

10、物就将超过允许值，建筑物就将遭到破坏，以至倒塌。遭到破坏，以至倒塌。1995年阪神淡路地震年阪神淡路地震5层倒塌层倒塌1995年阪神淡路地震中间层倒塌年阪神淡路地震中间层倒塌3. 3. 地震作用的特点地震作用的特点 地震作用是一种随机脉冲作用，地震作用是一种随机脉冲作用， 影响因素：影响因素：烈度烈度大小、大小、震中距震中距、场地场地条件及条件及结构的动力特性（如结构的结构的动力特性（如结构的自振周期自振周期，阻尼阻尼等）等）有关，还与有关，还与持时持时有关。有关。目前多采用目前多采用弹性反应谱弹性反应谱法和法和非线性动力时程分析非线性动力时程分析法来确定。法来确定。第第2节节 单质点弹性体系

11、的水平地震反应单质点弹性体系的水平地震反应一一. . 单质点弹性体系单质点弹性体系 水塔、单层厂房、渡槽等水塔、单层厂房、渡槽等。所谓单质点弹性体系，是指可以将结构参与振动所谓单质点弹性体系，是指可以将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无质量的弹性直杆支的全部质量集中于一点，用无质量的弹性直杆支承于地面上的体系，其计算简图如下：承于地面上的体系，其计算简图如下：a( )(b二二. . 运动方程的建立运动方程的建立 )a(CP (t)mK x (t)b( )KC x (t)m x (t)P (t)取质点取质点m m为隔离体，为隔离体，作用在它上面的力有：作用在它上面的力有：)()(tKxtS弹

12、性恢复力弹性恢复力 阻尼力阻尼力 )()(txctR惯性力惯性力 )()()()(txmtxtxmtIg 根据达朗伯原理，瞬间平衡时各力平衡，从而有：根据达朗伯原理，瞬间平衡时各力平衡，从而有：0)()()()(tKxtxctxtxmg 即：即：)()()()(txmtKxtxctxmg ( (.3).3)三三. . 运动方程的解运动方程的解 （.3.3）式两边同除以）式两边同除以m m，并设，并设 ， 得得 mK2mcKmc22)()()(2)(2txtxtxtxg 常系数二阶非齐次微分方程，常系数二阶非齐次微分方程，全解全解= =齐次解齐次解+ +特解。特解。MK结构体系的圆频率结构体系的

13、圆频率mcKmc22结构体系的阻尼比结构体系的阻尼比三三. . 运动方程的解运动方程的解 )()()(2)(2txtxtxtxg 1. 1. 奇次微分方程的解（自由振动）奇次微分方程的解（自由振动）0)()(2)(2txtxtx 根据微分方程理论，通解为根据微分方程理论，通解为 (.5)sincos()(tBtAetxt21 式中式中 为有阻尼的自振圆频率为有阻尼的自振圆频率 A、B待定常数，由运动初始状态确定。待定常数，由运动初始状态确定。 三三. . 运动方程的解运动方程的解 若若t =0时，体系初始位移为时，体系初始位移为x(0)，初始速度为，初始速度为代入式（代入式（5.55.5）得）

14、得)0(x )0(xA )0()0(xxB将将A A，B B代入式（代入式（5.55.5）中得：）中得： （5.65.6）sin)0()0(cos)0()(txxtxetxt对无阻尼体系，式（对无阻尼体系，式（5.65.6）变为）变为 （5.75.7）sin)0(cos)0()(txtxtx无阻尼自由振动位移无阻尼自由振动位移可设有阻尼的自由振动可设有阻尼的自由振动0mxcxkx2( )tx tCe220 xxx2220设其解为设其解为21自由振动下阻尼对振动的影响自由振动下阻尼对振动的影响( )( )则ttx tCex tCe 12tx tCC t e这两种情况下的动位移这两种情况下的动位移

15、具有衰减的性质具有衰减的性质,不具有波动的性质不具有波动的性质.(2)1临界阻尼临界阻尼(1)1高阻尼高阻尼 1212ttx tC eC e21,210 阻尼过大阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量均用于由于外界干扰积聚的能量均用于消耗阻尼消耗阻尼,没有多余的能量再引起的振动没有多余的能量再引起的振动r2ccm临界阻尼临界阻尼自由振动下阻尼对振动的影响自由振动下阻尼对振动的影响(3)1低阻尼低阻尼sintxeat200200200tan xxxaxvx21影响小影响小,可以忽略可以忽略阻尼对自振特性的影响阻尼对自振特性的影响自由振动下阻尼对振动的影响自由振动下阻尼对振动的影响 000cossint

16、xxx textt仍采用式（仍采用式（5.6）的解）的解单自由度体系单自由度体系有阻尼有阻尼自由振动位移自由振动位移 000 cossinsin()ttxxx textteat当无阻尼即当无阻尼即 =0无阻尼自由振动位移无阻尼自由振动位移 txtxtx sin0cos0 =00.050.2x t x 0 t单自由度体系自由振动曲线单自由度体系自由振动曲线a. 无阻尼无阻尼 振幅始终不变振幅始终不变b. 有阻尼有阻尼 振动逐渐衰减振动逐渐衰减0.05 越大振幅衰减越快越大振幅衰减越快0.21lnlnlnlnkktkTktTkkx txeeTxx tTe阻尼越大阻尼越大,衰减速度越快衰减速度越快1

17、1ln2kkxx振幅的对数衰减率振幅的对数衰减率1ln2kknxnx或或通过实测振幅通过实测振幅,可以测定阻尼比可以测定阻尼比阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响自由振动下阻尼对振动的影响自由振动下阻尼对振动的影响结构自振特性结构自振特性（2 2）有阻尼有阻尼 周期周期 T = 2 圆频率圆频率21 比较比较 TkmT 22 （1）无阻尼无阻尼 周期周期频率频率 f f =1 1 T T圆频率圆频率 =2 T =2 f f（3）阻尼比）阻尼比 =0时，时， = ，结构永远振动下去，结构永远振动下去 临界阻尼比：临界阻尼比： =1时，时， = 0，结构不发生振动，结构不发生振动 临界阻尼系数：临界阻

18、尼系数：kmmccr22（4）在实际结构中在实际结构中， =0.010.1， =0.05可近似取可近似取 = 即忽略阻尼的影响。即忽略阻尼的影响。 自振周期自振周期kmT 2 自振周期与结构自身的质量和刚度有关：自振周期与结构自身的质量和刚度有关：m，T； k，T。阻尼比：结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比阻尼比：结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比 =c/2 m= c/cr结构自振特性结构自振特性例题例题m解解011ln0.03552xx010.5lnln0.2230.4xx2022203224298 101.511182N40.5F xkFTmxT 在横梁处加在横梁处加F=98kN的水平力，

19、横梁发生侧移的水平力，横梁发生侧移x0=0.5cm。突然释放。测得周期突然释放。测得周期Tr=1.5s，一个周期后，横梁的侧移为，一个周期后，横梁的侧移为y1=0.4cm。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。自由振动下阻尼对振动的影响自由振动下阻尼对振动的影响频率对频率对振动的影响将振动微分方程写成将振动微分方程写成 2sinFx tx ttmP( )sinF tFt二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程 12sincosx tCtCt齐次通解齐次通解将特解代入方程将特解代入方程,得得22()FAm非齐次特解非齐次特解 *sinxtAt1) 1) 简谐

20、荷载简谐荷载全解为全解为 1222*sincossinFx tx txtCtCttm代入初始条件代入初始条件 2122000;00 FxCxCm 2222sinsin FFx tttmm瞬态振动瞬态振动由于阻尼的存在很快消失由于阻尼的存在很快消失稳态振动稳态振动特解特解简谐荷载简谐荷载下频率对振动的影响下频率对振动的影响考虑稳态振动考虑稳态振动stsinxt 22sinsinFx tAttm222sin(1)Ftm221sin1FtkstAx2211简谐荷载下频率对振动的影响简谐荷载下频率对振动的影响动荷载幅值当作静载动荷载幅值当作静载作用时质体的位移作用时质体的位移st2FFxFmk2st2

21、11Ax动力系数动力系数动力系数的讨论动力系数的讨论1 1 1 增加增加增加增加0共振共振 增加增加降低降低简谐荷载下频率对振动的影响简谐荷载下频率对振动的影响1（刚性方案）（刚性方案）1（柔性方案）（柔性方案）2km2FAkm2km2FAmk增大刚度增大刚度减小刚度减小刚度减小振幅的方法减小振幅的方法简谐荷载下频率对振动的影响简谐荷载下频率对振动的影响 P2Isinsinsinsin Ftx tAtF tmx tmFtFtFt三者同时达到最大值。三者同时达到最大值。 为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反。为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反。惯性力与位移总是同向。惯性力与位移总是同向。动

22、荷载、动位移、惯性力三者的关系动荷载、动位移、惯性力三者的关系讨论简谐荷载下，即讨论简谐荷载下，即P P22sinFxxxtm1r2r(cossin)sincostxeCtCtAtBt瞬态振动，很快消失瞬态振动，很快消失稳态振动稳态振动sincosxAtBt只考虑稳态振动只考虑稳态振动22222222222222244FFABmm 简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响的讨论sinFt22aAB222224)1 (1mFstx22tan2(1)写成单项式写成单项式sin()xat振幅振幅相位差相位差动力系数动力系数简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响的讨论（1

23、） / 对对的影响的影响 / 1时，时， 0， 做极做极微小的振动，动位移微小的振动，动位移 0 。 / =1的附近，阻尼对的附近，阻尼对 影影响明显。响明显。 大、大、 小小。0.75 / 1.3共振区共振区0.25 / 2.25以外不考虑阻以外不考虑阻尼的影响，按无阻尼计算。尼的影响，按无阻尼计算。简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响的讨论22221(1)42210得dd 的最大值并不发生在的最大值并不发生在 / =1处。处。max1(1)2 2max42111 24421 实际中实际中简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响的讨论（2） / 对对的影响的影

24、响2212tan2220101022220120122201012简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响的讨论00很 小 位移与动荷载同步。位移与动荷载同步。 最大位移处，动荷载与弹性最大位移处，动荷载与弹性 力平衡。力平衡。动荷载动荷载动位移动位移弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力2sinsinsincossinFtatkatcatm at讨论三个典型情况讨论三个典型情况 与弹性力相比与弹性力相比,阻尼力和惯性阻尼力和惯性 力都很小。力都很小。动荷载的作用相当于静载动荷载的作用相当于静载 动荷载振动很慢。动荷载振动很慢。简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响

25、的讨论sin()xat2212tan12 位移滞后动荷载位移滞后动荷载900。 阻尼力显著增加，动荷载阻尼力显著增加，动荷载和阻尼力同步，动荷载最大值和阻尼力同步，动荷载最大值时阻尼力最大。时阻尼力最大。共振时共振时,增大阻尼增大阻尼,可以明显降低位移可以明显降低位移动荷载动荷载动位移动位移弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力2sincoscossincosFtatkatcatm at简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响的讨论sin()xat2212tan 很 大 位移与动荷载反向位移与动荷载反向,滞后滞后1800。 与惯性力相比与惯性力相比,弹性力与阻尼弹性力与阻尼 力很小

26、。力很小。 动荷载振动很快。动荷载振动很快。动荷载动荷载动位移动位移弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力2sinsinsincossinFtatkatcatm at 动荷载与惯性力平衡。动荷载与惯性力平衡。简谐简谐荷载下阻尼对振动影响的讨论荷载下阻尼对振动影响的讨论sin()xat2212tan 2sinFtx tx tm非齐次特解非齐次特解 22*sinsin()FxtAttm代入方程，得代入方程，得1202Faam 故故分母为零失效分母为零失效令非齐次特解令非齐次特解 12*(sincos)xtt atat *cos2 Ftxttm共振时动力位移会突然增大吗共振时动力位移会突然增大吗?调谐

27、质量阻尼器调谐质量阻尼器(TMD)主动质量驱动器主动质量驱动器(AMD)调谐质量阻尼器调谐质量阻尼器主动质量驱动器主动质量驱动器调谐质量调谐质量阻尼器阻尼器阻尼器阻尼器阻尼器阻尼器桥梁桥梁超高层建筑超高层建筑阻尼器阻尼器预应力钢丝束预应力钢丝束预应力钢丝束预应力钢丝束步行桥步行桥 了望塔了望塔例题解解3st32.490.056 10m0.056mm134000Axst63000 9.83m0.022mm134 109.8134000Fxk2222262/602800/608320.83( /)(134 109.8/156000)9849nk m222222222112.4983283214 0

28、.2(1)498499849 已知已知: :机器的转速为机器的转速为n=800转转/ /分分, ,扰力幅值扰力幅值F=3T,地基基地基基础刚度础刚度k=134000T/m,机器和基础的重量为机器和基础的重量为Q=156T,阻尼比为阻尼比为0.2. 试求：机器的振幅。试求：机器的振幅。 自由振动运动方程的解自由振动运动方程的解 若若t =0时，体系初始位移为时，体系初始位移为x(0)，初始速度为，初始速度为)0(x sin)0()0(cos)0()(txxtxetxt地震波作用下运动方程的解地震波作用下运动方程的解 )()()(2)(2txtxtxtxg 地震荷载下的强迫振动解地震荷载下的强迫振

29、动解P t Pdttx t t（a） 瞬时冲量及其引起的自由振动瞬时冲量及其引起的自由振动td x t tt- （b） 地震作用下的质点位移分析地震作用下的质点位移分析 txg (1) 瞬时冲量及其引起的自由振动瞬时冲量及其引起的自由振动瞬时冲量：质点上荷载瞬时冲量：质点上荷载P 作用时间作用时间dt若假设体系初始处于静止状态，若假设体系初始处于静止状态，v0=0，则，则v=Pdt / m把把x 0 =0和和 代入自由振动位移式代入自由振动位移式 mPdtx/0 tmPdtetxt sin)( txxtxetxt sin00cos0P t Pdttx t t由动量定理：冲量等于动量的增量由动量

30、定理：冲量等于动量的增量 Pdt=mv mv02、地震荷载下的强迫振动、地震荷载下的强迫振动(2)杜哈梅积分杜哈梅积分冲量为冲量为Pdt ， tt- gmxd P t Pdttx t ttd x t tt- txg tmPdtetxt sin)(瞬时冲量引起的自瞬时冲量引起的自由振动由振动设质点质量设质点质量m则惯性力为则惯性力为 gmx(2)杜哈梅积分杜哈梅积分 dtxetdxgt)(sin)()()( Pdt ， tt- gmxd P t Pdttx t ttd x t tt- txg tmPdtetxt sin)(则由瞬时冲量引起则由瞬时冲量引起的自由振动的自由振动3. 3. 地震作用下

31、运动方程的特解地震作用下运动方程的特解体系在微分脉冲作用前处于静止状态，其位移、速度均为零。由体系在微分脉冲作用前处于静止状态，其位移、速度均为零。由于微分脉冲作用时间极短，体系的位移不会发生变化，故初位移于微分脉冲作用时间极短，体系的位移不会发生变化，故初位移应为零，而速度有变化。在微分脉冲作用后设为应为零，而速度有变化。在微分脉冲作用后设为 。 于是质于是质点动量变化就是点动量变化就是 。)(x )(xm由动量定理：由动量定理： dxmxmg)()( dxxg)()( b( )t-gx（）td (a)tgx（）gx（ ）tt求：求：初位移初位移初速度初速度3. 3. 地震作用下运动方程的特

32、解地震作用下运动方程的特解由动量定理：由动量定理： dxmxmg)()( dxxg)()( 位移为：位移为： 2)(2)(2)(0)(dxddxdvxgg 因时间因时间d dt非常小，其平方更小，故可认为位移为非常小，其平方更小，故可认为位移为0，将以上初始位，将以上初始位移和初始速度代入移和初始速度代入（3.73.7）得得： dtxetdxgt)(sin)()()( txxtxetxt sin00cos0b( )t-gx（）td (a)tgx（）gx（ ）tt2. 2. 地震作用下运动方程的特解地震作用下运动方程的特解将所有组成扰力的微分脉冲叠加，即是对上式进行积分，得：将所有组成扰力的微分

33、脉冲叠加，即是对上式进行积分，得： ttgdtextx0)()(sin)(1)( 通常该式又称为杜哈梅（通常该式又称为杜哈梅（Duhamel）积分，它与齐次方）积分，它与齐次方程的通解式（程的通解式（.7.7）之和构成了运动方程的解，由于阻尼）之和构成了运动方程的解，由于阻尼作用通常自由振动很快衰减，故忽略作用通常自由振动很快衰减，故忽略 和和 的区别，的区别，上式即为方程的解。上式即为方程的解。 b( )t-gx（）td (a)tgx（）gx（ ）ttn由由DuhamelDuhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为tttextx0)(gd

34、)( sin)(1)( max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大位最大位移反应移反应质点相对于地面的速度为质点相对于地面的速度为ttgttdtextexdtdxtx0)(0)(g)( sin)(d)( cos)()( 2. 2. 地震作用下运动方程的特解地震作用下运动方程的特解n质点的绝对加速度为质点的绝对加速度为xxxxg22 ()g022()02( )cos()d2( )sin()ttttgxetxetd 2()g0( )sin()dttxet2. 2. 地震作用下运动方程的特解地震作用下运动方程的特解求求质点速度和加速度反应的最大值质点速度和加速度反应的最大值在

35、求最大值的过程中，作如下的三点简化在求最大值的过程中，作如下的三点简化（1 1）由于阻尼比）由于阻尼比 很小，因此可以忽略上式中很小，因此可以忽略上式中 和和 2 2项；项；（2 2） 与与 很相近，所以可以取很相近，所以可以取 ；（3 3）用）用sinsin (t-(t- ) )取代取代coscos (t-(t- ) )，作这样的处理不影响上述，作这样的处理不影响上述两式的最大值，只是相位上相差两式的最大值，只是相位上相差 /2/2。质点相对于地面的最大速度反应为质点相对于地面的最大速度反应为()gmax0max( )( )sin()dttvSx txet质点相对于地面的最大加速度反应为质点

36、相对于地面的最大加速度反应为max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 加速度反应谱法加速度反应谱法一一. . 水平地震作用的基本公式水平地震作用的基本公式 作用在质点作用在质点m m上的惯性力等于质量上的惯性力等于质量m m乘以它的绝对加速度，方向与乘以它的绝对加速度，方向与绝对加速度方向相反，即：绝对加速度方向相反，即：kxxctxtxmtFg )()()(一般结构阻尼力远小于恢复力，故可忽略阻尼力的影响，有一般结构阻尼力远小于恢复力，故可忽略阻尼力的影响，有kxtF)()(1)(tFktFxttgdtexmtF0)()(sin)()( 上式右边为惯性力产生的位移，左边

37、为地震作用产生的位移，因上式右边为惯性力产生的位移，左边为地震作用产生的位移，因此可以将惯性力理解为能反应地震影响的等效地震作用。引入此可以将惯性力理解为能反应地震影响的等效地震作用。引入 得得2mk 该值随时间大小和方向都在变化，我们设计时取最大值，即：该值随时间大小和方向都在变化，我们设计时取最大值，即：max0)()(sin)(ttgdtexmF 一一. . 水平地震作用的基本公式水平地震作用的基本公式 amSF 令：gkxSagamax 得：GGkgkmmSFFaaaEKak二二. . 地震系数地震系数ka gxkgamax 表示地面运动加速度的最大值与重力加速度的比值。与表示地面运动

38、加速度的最大值与重力加速度的比值。与地震烈度有关，可查规范地震烈度有关，可查规范称为地震影响系数称为地震影响系数三、地震反应谱三、地震反应谱加速度反应谱加速度反应谱速度反应谱速度反应谱位移反应谱位移反应谱地震反应谱：单自由度弹性体系地震反应与其地震反应谱：单自由度弹性体系地震反应与其自振周期的关系曲线。自振周期的关系曲线。地震工程领域内的核心概念地震工程领域内的核心概念“反应谱反应谱”？n地震反应谱：主要反映地面运动的特性地震反应谱：主要反映地面运动的特性max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大相对位移最大相对位移最大最大相对速度相对速度max0)(gmaxd)(si

39、n)()(ttvtextxS 最大加速度最大加速度max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大反应之间的关系最大反应之间的关系dvaSSS2在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。三、地震反应谱三、地震反应谱T1TiSyT反应谱？反应谱？ 单自由度体系在给定地震动作用下某种反应单自由度体系在给定地震动作用下某种反应量的最大值与体系自振周期之间的关系曲线量的最大值与体系自振周期之间的关系曲线三、地震反应谱三、地震反应谱2计算计算a t 3确定确定Sa= a t max4绘制坐标点绘制坐标点 Sa Tn，

40、0 ，Tn 5设定新的设定新的Tn值，重复步骤值，重复步骤24。， 0，Tn gx 1给定给定Sa与与T 的关系曲线称加速度反应谱。的关系曲线称加速度反应谱。计算流程：计算流程：地震反应谱(response spectrum)加速度反应谱计算示意图加速度反应谱计算示意图由上图可见由上图可见(1) 谱值随阻尼比增加减小谱值随阻尼比增加减小(2) 谱值随周期增加先急剧增加，后逐渐减小谱值随周期增加先急剧增加，后逐渐减小El Centro地震Sa反应谱曲线012301234T(s)Sa(g)=0 0.050.10n位移反应谱位移反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)

41、(ms2)(smax0)(gd)(sin)(1ttdtexS Sd与与T 的关系曲线的关系曲线相对速度反应谱相对速度反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS Sv与与T 的关系曲线的关系曲线相对位移反应谱绝对加速度反应谱绝对加速度反应谱相对速度反应谱地震反应谱的特点地震反应谱的特点1.1.阻尼比对反应谱影响很大阻尼比对反应谱影响很大2.2.对于加速度反应谱，当结构周期小于对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。个值

42、时，快速下降。3.3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。值时幅值随周期增大，随后趋于常数。4.4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。对于位移反应谱，幅值随周期增大。四四. . 动力系数动力系数 )(maxtxSga ttTggdtTexTtx0)(2maxmax)(2sin)(2)(1 ttggdtextx0)(maxmax)(sin)()( 由此可见，动力系数与地面加速度最大值、自振周期及阻尼比有关。由此可见，动力系数与地面加速度最大值、自振周期及阻尼比有关。用动力系数作为纵坐标，以体系的自振周期作为横坐标，可以绘制用动力系数

43、作为纵坐标，以体系的自振周期作为横坐标，可以绘制出一条出一条 曲线，称为动力系数反应谱曲线。如课本图曲线，称为动力系数反应谱曲线。如课本图3.63.6。在在T TTgTg时，动力放大系数最大。时，动力放大系数最大。据统计，据统计，b最大值与烈度、场地类别及震中距关系不大，基本为一最大值与烈度、场地类别及震中距关系不大，基本为一定值，我国规范取定值，我国规范取2.25。 T它反映了单质点弹性体系在地震作用下，最大反应加速度与地面它反映了单质点弹性体系在地震作用下，最大反应加速度与地面最大加速度的比值。最大加速度的比值。定义：对大量地震反应谱曲线进行分析、统计求出的具有代定义：对大量地震反应谱曲线

44、进行分析、统计求出的具有代表性的平均反应谱曲线，来作为设计的依据。表性的平均反应谱曲线，来作为设计的依据。形状：取决于场地条件、震级、震中距等。形状：取决于场地条件、震级、震中距等。一般，场地越软，震中距越远，曲线的峰值越向右移，即偏一般，场地越软，震中距越远，曲线的峰值越向右移，即偏于长周期。于长周期。软土软土硬土硬土岩石岩石M-M-里氏里氏震级震级R-R-震中距震中距（a）场地条件的影响场地条件的影响（b）震中距的影响震中距的影响 各种因素对反应谱的影响各种因素对反应谱的影响 32101234T(s)24Sa(m/s2)01234T(s)M=7.75 R=80kmM=6.75 R=30km

45、M=5.75 R=16km五、标准反应谱五、标准反应谱n震级震级n震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越后移震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越后移n震中距震中距n震中距越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越后移震中距越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越后移n场地场地n场地越软，反应谱峰点周期越后移场地越软，反应谱峰点周期越后移加速度反应谱的性质（地震动方面）加速度反应谱的性质（地震动方面）由于地震动是一个非常复杂的随机过程，不能用确定性的由于地震动是一个非常复杂的随机过程，不能用确定性的函数表示，因此在计算反应谱时，通常对运动方程直接积函数表示，因此在计算反应谱时，通常对

46、运动方程直接积分得到！分得到！目前应用的抗震设计方法是目前应用的抗震设计方法是基于力的抗震设计基于力的抗震设计，加速度反，加速度反应谱是基于力的抗震设计的基础，因此后面将主要介绍加应谱是基于力的抗震设计的基础，因此后面将主要介绍加速度反应谱。速度反应谱。在代表未来抗震设计理论发展方向的抗震理论在代表未来抗震设计理论发展方向的抗震理论基于性基于性态的抗震设计理论（态的抗震设计理论（Performance-based seismic design）中，中，速度和位移反应谱速度和位移反应谱将起到至关重要的作用！将起到至关重要的作用！几个说明几个说明场地的特征周期场地的特征周期Tg：对应于反应谱曲线峰

47、值的周期：对应于反应谱曲线峰值的周期地面振动的卓越周期：即自振周期，与地面振动的卓越周期：即自振周期，与Tg相符相符当结构的自振周期与场地的卓越周期相等或接近时，产生类当结构的自振周期与场地的卓越周期相等或接近时，产生类共振现象。共振现象。2.0T(s)1.51.00.5Tg1.02.03.04.0 反应谱曲线反应谱曲线六六. . 地震影响系数地震影响系数 gSgxxSkaggaamaxmax 它反映了单质点弹性体系在地震作用下，最大反应加速度与地它反映了单质点弹性体系在地震作用下，最大反应加速度与地面重力加速度的比值，是一无量纲量。面重力加速度的比值，是一无量纲量。a与与b之间仅差一常系数之

48、间仅差一常系数ka，故两者曲线相同。我国给出了曲线故两者曲线相同。我国给出了曲线形状。如图所示。图中水平地震影响系数的最大值按表形状。如图所示。图中水平地震影响系数的最大值按表3.2采采用用表表3.2 水平地震影响系数最大值水平地震影响系数最大值地震影响地震影响6度度7度度8度度9度度多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.40四四. . 地震影响系数地震影响系数 抗震规范抗震规范采用采用Sa/g与体系自振周期与体系自振周期T之间的关之间的关系作为设计反应谱。系作为设计反应谱。四四. . 地震影响系数地

49、震影响系数 1. 1. 建筑结构的阻尼比取建筑结构的阻尼比取0.050.05时，地震影响系数曲线的阻尼时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数应按调整系数应按1.01.0采用，形状参数应符合下列规定：采用，形状参数应符合下列规定：（1 1）直线上升段，周期小于）直线上升段，周期小于0.1s0.1s的区段；的区段；（2 2）水平段，周期）水平段，周期0.10.1自自T Tg g至特征周期的区段，地震影响至特征周期的区段，地震影响系数应取最大值；系数应取最大值；（3 3）曲线下降断，自特征周期至）曲线下降断，自特征周期至5 5倍特征周期区段，衰减倍特征周期区段，衰减指数应取指数应取0.90.9。（4 4

50、）直线下降段，自）直线下降段，自5 5倍特征周期至倍特征周期至6s6s区段，下降斜率调区段，下降斜率调整系数应取整系数应取0.020.02。2当建筑结构的阻尼比不等于当建筑结构的阻尼比不等于0.05时，地震影响系数曲线的时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定：阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定：（1）曲线下降段的衰减指数应按下式确定：）曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 式中式中 曲线下降断的衰减指数；曲线下降断的衰减指数； 阻尼比。阻尼比。（2）直线下降断的下降斜率调整系数应按下式确定：）直线下降断的下降斜率调整系数应按下式确定： 式中式中 直线下降段的下降斜率调整系数

51、，小于直线下降段的下降斜率调整系数，小于0时取时取0。（3）阻尼调整系数应按下式确定：）阻尼调整系数应按下式确定： 式中式中 阻尼调整系数，当小于阻尼调整系数，当小于0.55时，应取时，应取0.55。0.050.90.3610.050.02432120 .0 510 .0 81 .623抗震设计应用抗震设计应用（1）计算结构自振周期）计算结构自振周期T T（2）根据场地类别与设计地震分组确定）根据场地类别与设计地震分组确定特征周期特征周期T Tg g（3）由烈度确定）由烈度确定水平地震影响系数水平地震影响系数 （4）计算地震作用）计算地震作用 FEK= G重力荷载代表值的确定重力荷载代表值的确

52、定 结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值GkGk加加上各可变荷载组合值。上各可变荷载组合值。niikQikQGG1ikQ-第第i i个可变荷载标准值个可变荷载标准值；Qi-第第i i个可变荷载的组合值系数个可变荷载的组合值系数； 不考虑不考虑 软钩吊车软钩吊车 0.3 硬钩吊车硬钩吊车 0.5 其它民用建筑其它民用建筑 0.8 藏书库、档案库藏书库、档案库 1.0按实际情况考虑的楼面活荷载按实际情况考虑的楼面活荷载 不考虑不考虑 屋面活荷载屋面活荷载 0.5屋面积灰荷载屋面积灰荷载 0.5 雪荷载雪荷载组合值系数组合值系数可变荷载种类可变

53、荷载种类按等效均布荷载考虑按等效均布荷载考虑的楼面活荷载的楼面活荷载吊车悬吊物重力吊车悬吊物重力组合值系数组合值系数隔震的机理隔震的机理绝对加速度反应谱绝对加速度反应谱相对位移反应谱相对位移反应谱ABABAB加速度反应降低加速度反应降低位移反应增大位移反应增大水平地震作用减小水平地震作用减小上部结构内力减小上部结构内力减小例题例题1. 加速度与位移的控制加速度与位移的控制 结构质量为结构质量为m=1000吨，刚度吨，刚度k=1577.5kN/cm，阻尼比，阻尼比=5，设防烈度为设防烈度为8度，度，Tg=0.4s。21000220.5s1577.5 10mTK当=0.05时( 反应谱)，0.92

54、max0.40.160.13090.5gTT 所以, 结构的加速度反应为0.1309g解解：结构的自振周期：结构的自振周期 (1)求结构的加速度和位移反应。求结构的加速度和位移反应。0.9, 2=1 结构受到的地震作用结构受到的地震作用F= mg=0.130910 6101309kN 结构的位移结构的位移d=F/k=1309/1577.5=0.83cm 解：令解：令 =0.1309/3=0.04362maxgTT 110.92max0.4(0.0436/0.16)1.696sgTT (2)如果想要把加速度反应降低为原来的如果想要把加速度反应降低为原来的1/3，需把刚度降低到，需把刚度降低到多少

55、？并求此时的位移。多少？并求此时的位移。 例题例题1例题例题1 k=(2/T)2 m=(23.14/1.696)2 1000103 =137.1 kN/cm d=F/k=1309/3/137.1=3.18cm(3)如想要把加速度降低为原来的如想要把加速度降低为原来的1/3以下，同时把位以下，同时把位移控制在移控制在2.5cm以内，需把阻尼比增加到多少？以内，需把阻尼比增加到多少？ 解：令=30% ( 反应谱)0.050.050.30.90.90.7810.360.360.320.050.050.3110.5540.55,0.081.60.081.60.3 0.7812max(0.4/1.696

56、)0.554 0.160.0287gTT 结构受到的地震作用结构受到的地震作用 F= mg=0.028710 610287kN d=F/k=287/137.1=2.09cm1.4TgT11.4Tg0.550.08T1-0.02表表3.4 顶部附加地震作用系顶部附加地震作用系数数5. 鞭梢效应鞭梢效应采用底部剪力法进行计算时，突出屋面的屋顶间、女采用底部剪力法进行计算时，突出屋面的屋顶间、女儿墙和烟囱等，由于刚度突变和质量突变，突出部分儿墙和烟囱等，由于刚度突变和质量突变，突出部分结构的地震反应增大，即所谓的结构的地震反应增大，即所谓的“鞭梢效应鞭梢效应”，规范，规范规定：规定： （1 1）其地

57、震作用的效应宜乘以增大系数）其地震作用的效应宜乘以增大系数3 3 （2 2）增大部分不应往下传递）增大部分不应往下传递例例1 1：试用底部剪力法计算图示：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期知结构的基本周期T1=0.467s ,T1=0.467s ,抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度度,类场地类场地, ,设计地震分组为第二组。设计地震分组为第二组。解：解： （1 1）计算结构等效总重力荷载代表值）计算结构等效总重力荷载代表值8.9)180270270(85.085.0nikkeqGGkN6.5997tm2701tm2702tm1803

58、MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K10.5m7.0m3.5m（2 2）计算水平地震影响系数）计算水平地震影响系数查表得查表得16.0maxn1.40n0.90(1.20)n0.50(0.72)n-n罕遇地震罕遇地震n0.32n0.16(0.24)n0.08(0.12)n0.04n多遇地震多遇地震n 9n 8n 7n 6地震影响地震影响烈度烈度地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）（2 2）计算水平地震影响系数）计算水平地震影响系数16.0maxs4.0gT地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）n0.90n 0.

59、65n 0.45n0.35n第三组第三组n0.75n 0.55n 0.40n0.30n第二组第二组n0.65n 0.45n 0.35n 0.25n第一组第一组n n n n n场地类别场地类别ggTTT51max21)(TTg139.0)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT （3 3）计算结构总的水平地震作用标准值）计算结构总的水平地震作用标准值eqEKGF1kN7.8336.5997139.0（4 4）顶部附加水平地震作用）顶部附加水平地震作用EKnnFFgTT4 . 11gTT4 . 11)(sTg35.055.0

60、35.055.007. 008. 01T01. 008. 01T02. 008. 01T000顶部附加地震作用系数顶部附加地震作用系数56.04 .1gTgTT4.110n（5 5）计算各层的水平地震作）计算各层的水平地震作用标准值用标准值)1(1nEKnkkkiiiFGHGHF解：解：kN6.5997eqGtm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K10.5m7.0m3.5m16.0maxs4.0gT139.01kN7.833EKF0n（5 5）计算各层的水平地震作用标准值）计算各层的水平地震作用标准值)1 (1nEKnkkkiiiFGHGHF7