第五积分概念与性质

1、第五章定积分 积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的近似计算定积分的近似计算定积分的概念及性质 第五五章 四、四、 定积分的性质定积分的性质一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxan

2、n1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步

3、骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 个小段过的路程为3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限Oabx二、定积分定义二、定积分定义 (P225 ),)(上定义在设函数bax

4、f的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(定积分的几何意义定积

5、分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AOO1 xyni可积的充分条件可积的充分条件:nix1,nii取),2, 1(ni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略)例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32niiinixf)(1niin1231

6、) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn注注注 O1 xyni2xy 注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值xx d102注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积

7、分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni三、定积分的近似计三、定积分的近似计算算, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: Oabxyix1ix1. 左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn21例12. 右矩形公式baxxfd)

8、(xyyii211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12 ixix222 ixmx20 xbaxxfd)(imiimimyyyymab21112120246推导推导3. 梯形公式4. 抛物线法公式抛物线法公式的推导抛物线法公式的推导baxxfd)(等分，分成将mnba2,xyyyiii2)4(6121222)4(621222iiiyyymab上作抛物线(如图)4(6212221iiimiyyymabimiimimyyyymab21112120246,222iixx在ayObx12 ixix222 ixmx20 x则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：

9、例例3. 用梯形公式和抛物线法公式xxId14102解解: :计算yi(见右表)的近似值.13993. 3I14159. 3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为1204d3.14159261Ixx计算定积分四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10

10、d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abcabc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxf

11、d)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(6. 若在 a , b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba

12、)(ba 例例4. 试证:.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 O

13、xbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn例例5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01TOtgv vTt221TgS 内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式OxO1xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx思考思考:如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnn